如果换成有底的团筒，情况又如何？
21、
如图一个半径为R、重为G的匀质半球体，放在地面上，其重心位置在球心O下的C点，OC=3R/8，现在半球体上表面的平面上放一重为G/8的小物体P，已知小物体与半球体平面间的滑动摩擦系数μ=0.2，则要保证半球体倾斜后小物体P不滑下，P的位置离开半球体球心O的最大距离是多少？
22、如图，一块均匀的细长木板以倾角θ静止地放在两根水平的固定平行细木棒A和B之间，若两棒相距为d，两棒和木板间的摩擦因数均为μ，试求木板重心C与木棒A之间的距离x应满足的条件？
参考答案
1、略
2、F=
，T=
=
3、B
4、C
5、F=
6、F只能指向OB右侧，并位于AB上方
7、
（1）不会；
（2）Vm=
8、
（1）T=
=10N，
（2）f=T=10N
9、
（1）F=2.5×102N，
（2）f=4.3×102N
10、棒长为
11、柔绳中的张力为
12、连线与竖直方向夹角θ为
13、
14、略
15、绳中张力
16、D
17、C
18、B
19、
，x=L/2
20、略
21、0.3R
22、
高一物理竞赛讲义
一、一般情况下物体的平衡
【概念与规律】
2.共点力作用下物体的平衡条件
若几个力交于一点或几个力的作用线交于一点，则这几个力叫做共点力。
在共点力作用下物体的平衡条件是这些力的合力为零。
即
2.有固定转动轴物体的平衡条件
在有固定转动轴的物体上，如果所有正力矩之和等于所有负力矩之和，或者说，作用在物体上的各力的力矩的代数和等于零，则该物体处于平衡状态，即∑M＝0。
3.物体的一般平衡条件为
应用物体的一般平衡条件时要注意：
（1）此条件成立的前提是物体所受外力均在一个平面内.
（2）方程∑Mi＝0对任意一个转动轴均成立
（3）取不同的转动轴建立方程时，要注意分析每个力对该轴的力臂以及使物体转动的方向；同一个力对于不同的转动轴，产生的力矩的正负和力臂的大小均可能不同。
（4）依次取不同的转动轴可以列出多个方程，对处于平衡的物体而言，独立的方程一共只有三个，只能解出三个未知数。
【例题与习题】
1、
如图所示，重为G的一根均匀硬棒AB，杆的A端被细绳吊起，在杆的另一端B作用一水平力F，把杆拉向右边，整个系统平衡后，细线、棒与竖直方向的夹角分别为α、β。
求证：
tanβ=2tanα。
解析：
硬棒受到三个力作用平衡，则三个力的作用线必交于一点，如图所示。
AB为一根质量均匀的硬棒，所以O为AB的中点，则由几何关系可得C为BD的中点，而
tanβ=
，tanα=
，
所以tanβ=2tanα。
2、有一条重为G的绳子，它的两端挂在同一高度的两个挂钩上，绳两端和水平线夹角为θ。
求：
（1）绳的一端对挂钩的作用力F为多大？
（2）绳的最低点的张力T为多大？
解答
（1）对绳子受力分析，受重力和两个拉力，如图所示：
根据平简条件，有：
T=
=
；
（2）对左半边绳子受力分析，受重力、拉力和右半边绳子的拉力，如图所示：
由平衡条件可得：
F=
。
3、
如图所示为四种悬挂镜框的方案，设墙壁光滑，镜框重心位置在镜框的正中间，指出图中可能实现的方案是（）
解析：
A中以绳子与镜框的接触为支点、BC中以镜框与墙壁接触点为支点、D以重心为支点，分别分析除支点外受力情况，确定各力的力矩方向，判断能否平衡.镜框受到两个力（除接触点外），这两个力的力矩方向相反才可能平衡.
试题解析：
A、C以绳子与镜框的接触为支点，除支点外，镜框受到重力和墙壁的作用力两个力，相对支点而言，重力和墙壁的作用力的力矩都是逆时针方向，镜框将以支点为轴逆时针转动，不可能平衡.故A错误.
B、以镜框与墙壁接触点为支点，除支点外，镜框受到重力和绳子的拉力，重力力矩是顺时针方向，墙壁的作用力力矩沿逆时针方向，可能平衡.故B正确.
D、以重心为支点，镜框受到墙壁的作用力，其力矩方向沿逆时针方向，则镜框将绕重心逆时针转动.故D错误.
故选B
4、
如图所示，有三块完全相同且密度均匀的砖叠放在桌子边缘，砖长为L，把桌面上三块砖从上到下依次向外缓慢推出，为保持砖块不致翻倒，第一块砖最多只能推出长度为d，则d等于（）。
B、L/2B、3L/4C、11L/2D、5L/6
解析：
砖密度均匀，重心在几何中心.第一块砖放在第二块砖上面不翻倒，最大可伸出第一、二块砖放在第三块砖上，合重心在号处，所以第二块砖最大可伸出不致翻倒，这时三块砖合重心在第三块砖的处，则Lm=L1+L2+L3=
.故本题选C.
5、
两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两球.然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细绳均处于直线状态，且OB细线恰好处于坚直方向，如图，如果不考虑小球的大小，两小球均处于静止状态，则力F的大小为_______。
解析：
先以B为研究对象，根据平衡条件分析可知AB绳对小球的拉力为零；再以球A为研究对象，受到三个力作用，作出力图，根据正交分解法求出拉力F.
解：
对B分析，由于OB细线恰好处于竖直方向，B处于平衡状态，可知AB绳中张力为零；对球A分析，受到重力G，作用力和OA绳的拉力T4，受力分析如图：
根据平衡条件得：
TAcos60°-mg=0
TAsin60°-F=0联立并代入数据解得：
F=
故答案为：
F=
。
6、如下图所示，两根重杆OA和AB，由铰链连接，并用铰链悬挂在天花板上，B位于O的正下方。
若在B端沿纸平面施一个力F，使系统在纸平面内平衡，不计一切摩擦，试分析F的方向应在什么范围？
解答
【分析】因为对于两根重杆其重力矩的方向是顺时针的，所以所加的外力的方向必须逆时针才可使系统处于平衡状态。
当所加外力在BO左侧或沿BO方向时，均不可以使两杆处于平衡态，所以所加外力必须指出BO的右侧。
再隔离两杆进行分析：
取点B为轴进行分析，杆AB将施力区分为三个区域，需要在这三个区域分别进行分析：
如果所加外力在AB的下方，则其力矩也与AB重力矩的方向相同，AB杆不能平衡；若沿AB方向，则其力矩为零，由于AB杆重力矩的作用，杆不能平衡。
取两根杆整体为研究对象，并以O点为转轴。
假设力F指向OB左侧，其力矩与整体重力矩均为顺时针方向，整体不可能平衡。
假设力F沿OB方向，其力矩为零，整体也不可能平衡。
所以力F必须指向OB的右侧，产生逆时针力矩才可能与整体重力矩平衡。
取AB为研究对象，并以A点为转轴。
假设F在AB下方，其力矩与AB重力矩均为逆时针方向，AB不可能平衡。
假设F沿AB方向，其力矩为零，AB也不可能平衡。
所以力F必须指向AB上方，产生顺时针力矩才可能与AB重力矩平衡。
因此，F只能指向OB右侧，并位于AB上方。
7、在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上.已知小石块的质量为m1，气球（含球内氢气）的质量为m2，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为v.已知风对气球的作用力f=ku（式中为一已知系数，u为气球相对空气的速度）.
开始时，小石块静止在地面上，如图所示.
（1）若风速在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由.
（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速保持不变量，求气球能达到的最大速度的大小。
解答：
（1）将气球和小石块作为一个整体：
在竖直方向上，气球（包括小石块）受到重力G.浮力F和地面支持力N的作用，据平衡条件有
N=（m1+m2）ρ-ρgV①
由于式中N是与风速v无关的恒力，故气球连同小石块不会一起被吹离地面.
（2）气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达最大速度时气球在水平方向做匀速运动，有vx=v
（3）气球在竖直方向做匀速运动，有m2g+kvy=ρgV③
气球的最大速度
vm=
④
联立求解得
Vm=
9、
如图所示，均匀球重G=30N，放在倾角为α=37°的固定斜面上，球的顶端用一根水平绳子拉住，球静止。
求：
（1）绳子对球的拉力T的大小；
（2）斜面对球的摩擦力f的大小。
解析：
（1）取球为研究对象，以球与斜面接触点A为转轴，由于球处于静止状态，绳子拉力产生的顺时针力矩一定等于球重力产生的逆时针力矩，故有：
TR（1+cosα）=GRsinα，T=
=10N；
（2）取球为研究对象，以球心O为转轴，由于球处于静止状态，绳子拉力产生的顺时针力矩一定等于摩擦力产生的逆时针力矩，故有：
fR=TR，f=T=10N。
所以，绳子对球的拉力为10N，斜面对球的摩擦力为10N。
9、一个质量为m=50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度是柱体半径r的一半，如图所示（图为其横截面），柱体与台阶接触处（图中P点所示）是粗糙的，现要在图中圆柱体最上方A处施一最小的力，使圆柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚，求：
（1）所加的力的大小
（2）台阶对圆柱体的作用力的大小
解析：
解：
（1）要在A处施一最小的力，则力的方向应与AP垂直，这样力臂最大.因为r=2h，由几何关系可推知∠PAO=30°，∠POB=60°要使圆柱体刚能绕p轴上滚，即味着此时地面对圆柱体的支持力N=0，（a）
这时，拉力下和重力mg对p轴的力矩平衡，由此可得
mgrsin60°=F×2rcos30°（b）
所以F=2.5×102N
（2）设台阶对柱体的作用力为f，因为刚能开始运动时，f与重力mg及拉力F为三力平衡，所以必为共点力，由此可知力的方向是沿PA方向，即力的方向与的方向垂直，所以的大小必等于重力在AP方向上的分力.即
f=mgcos30°
f=4.3×102N（c）
10、光滑半球壳直径为a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平面成60?
角靠墙静止，求棒长.
11、如图所示，一长L、质量均匀为M的柔软绳套在一表面光滑、顶角为α的圆锥上，当柔绳在圆锥面上静止时，柔绳中的张力是多少？
12、如图所示，两个重力分别为GA和GB的小圆环用细线连着套在一个竖直固定的大圆环上，如果连线对圆心的夹角为α，当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时，求连线与竖直方向夹角θ。
14、
如图，长为L的均匀木杆重Q，在木杆上离A端L/4处放有一重为Q/2的重物，平衡时，木杆与水平面的夹角α有多大？
14、滑轮支承点A和B可以把梁水平“固定”，每一滚轮作用于梁的力不能超过F0，否则滚轮将损坏，梁的质量为m，长为L，两滚轮间的水平距离为l，如图所示，问梁的一端允许悬挂的最大荷载是多少？
梁应如何放置？
15、如图所示，一轻质三足支架每边长均为l，每边与竖直方向成同一角度θ，三足置于光滑水平面上，且恒成一正三角形。
现悬挂一重G的重物，用一绳圈套在三足支架的三足上，使其不能改变与竖直线的夹角，试求绳中张力F。
16、如图所示，一物块受到一个水平力F作用静止于斜面上，F的方向与斜面平行，如果将力F撤消，下列对物块的描述正确的是（）
A.木块将沿面斜面下滑
B.木块受到的摩擦力变大
C.木块立即获得加速度
D.木块所受的摩擦力改变方向
17、如图所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽A、B的控制，该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度v1向右运动，同时用力F沿导槽方向拉动物体使其以速度v2沿匀速运动，则F的大小（）
A.等于μmg
B.大于μmg
C.小于μmg
D.不能确定
18、如图所示，两根等长直木棍AB和CD相互平行，斜靠在竖直墙壁上固定不动，一根水泥圆筒从木棍的上部匀速滑下。
若保持两木棍倾角不变，将两棍间的距离减小后固定不动，仍将水泥圆筒放在两木棍上部，则水泥圆筒在两木棍上将（）
A.仍匀速滑下
B.匀加速滑下
C.可能静止
D.一定静止
19、结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，如图所示求：
（1）梯子不滑动，梯子与水平地面夹角θ的最小值θ0；
（2）当θ=θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上运动，他运动到什么位置，梯子开始滑动？
22、
两个质量分布均匀的球，半径为r，重为P，里于两端开口的圆筒内；圆筒半径为R（r如果换成有底的团筒，情况又如何？
23、
如图一个半径为R、重为G的匀质半球体，放在地面上，其重心位置在球心O下的C点，OC=3R/8，现在半球体上表面的平面上放一重为G/8的小物体P，已知小物体与半球体平面间的滑动摩擦系数μ=0.2，则要保证半球体倾斜后小物体P不滑下，P的位置离开半球体球心O的最大距离是多少？
22、如图，一块均匀的细长木板以倾角θ静止地放在两根水平的固定平行细木棒A和B之间，若两棒相距为d，两棒和木板间的摩擦因数均为μ，试求木板重心C与木棒A之间的距离x应满足的条件？
参考答案
1、略
2、F=
，T=
=
3、B
4、C
5、F=
6、F只能指向OB右侧，并位于AB上方
7、
（1）不会；
（2）Vm=
8、
（1）T=
=10N，
（2）f=T=10N
9、
（1）F=2.5×102N，
（2）f=4.3×102N
10、棒长为
11、柔绳中的张力为
12、连线与竖直方向夹角θ为
13、
14、略
15、绳中张力
16、D
17、C
18、B
19、
，x=L/2
20、略
21、0.3R
22、
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