高中数学专题12导数的计算试题新人教A版.docx

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高中数学专题12导数的计算试题新人教A版

2019-2020年高中数学专题1.2导数的计算试题新人教A版

1．几个常用函数的导数

几个常用函数的导数如下表：

函数

导数

（为常数）

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则；

（4）若，则；

（5）若，则

；

（6）若，则；

（7）若，则

；

（8）若，则．

3．导数运算法则

（1）

；

（2）

；

（3）

．

4．复合函数的导数

（1）复合函数的定义

一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数（positefunction），记作．

（2）复合函数的求导法则

复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．

K知识参考答案：

1．

2．

3．

4．

K—重点

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

K—难点

导数的四则运算法则、复合函数的求导法则

K—易错

求导公式及求导法则记忆错误

求函数的导数

（1）基本初等函数的求导公式是求导的基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．

（2）应用导数运算法则求函数的导数的技巧：

①求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．

②利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．

③在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．

（3）应用导数运算法则求函数的导数的原则：

结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的形式，再用运算法则求导．

求下列函数的导数：

（1）；

（2）；（3）．

【答案】

（1）；

（2）；（3）．

【解析】

（1）方法1：

．

（3）

．

【名师点睛】要注意区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．

复合函数求导

对于复合函数的求导，一般步骤为：

（1）弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；

（2）利用求导法则分层求导；

（3）最终结果要将中间变量换成自变量．

求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

【答案】见解析．

【解析】

（1）设，，

则

．

（2）设，，，

则

．

（3）设，，，

则

．

（4）设，，

则

．

【名师点睛】复合函数的求导，关键在于分清函数的复合关系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导．

导数几何意义的应用

利用导数的几何意义解题时需注意：

（1）切点既在原函数的图象上也在切线上，则切点坐标既适合原函数的解析式，也适合切线方程，常由此建立方程组求解；

（2）在切点处的导数值等于切线的斜率．

过函数的图象上一点的切线方程是

A．B．

C．或D．或

【答案】D

【解析】由易知，所给点不一定是切点，

设切点为，则切线方程为

，

已知点在切线上，所以将点的坐标代入切线方程，解得或．

当时，，则过点的切线方程为；

当时，则点是切点，切线的斜率为，

则切线方程为，即．

综上，所求切线方程为或．故选D．

【名师点睛】求切线方程时，首先应判断所给点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．

已知曲线，直线，且直线l与曲线C相切于点，求直线l的方程及切点坐标．

【答案】直线l的方程为，切点坐标为．

【解析】∵直线l过原点，∴直线l的斜率为，

又，∴

，

整理得．

∵，∴，此时，．

因此直线l的方程为，切点坐标为．

【名师点睛】求解时，注意根据题目条件舍去不合适的解，如本题需舍去．

因公式记忆不准确而致误

求函数的导数．

【错解】

．

【错因分析】，错解中因漏掉负号致误．

【正解】

．

【名师点睛】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．

1．已知，则

A．B．

C．D．

2．曲线在点处的切线方程为

A．B．

C．D．

3．若曲线在点处的切线方程是，则

A．B．

C．D．

4．已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则实数的值为

A．B．

C．D．

5．设函数的导函数为，且，则

A．B．

C．D．

6．已知函数的图象在点处的切线过点，则实数______________．

7．若曲线在处的切线与直线垂直，则实数______________．

8．求下列函数的导数：

（1）；

（2）．

9．已知抛物线，求过点且与抛物线相切的直线的方程．

10．若曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为

A．B．

C．D．

11．函数

在点处的切线的斜率的最小值为

A．B．

C．D．

12．已知点在曲线上，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的纵坐标为

A．B．

C．D．

13．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为

A．B．

C．D．

14．若直线与曲线相切于点，则实数的值为______________．

15．已知直线与曲线相切，则实数的值为______________．

16．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线的方程；

（2）求满足斜率为的曲线的切线方程；

（3）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程．

17．（xx四川）设直线l1，l2分别是函数图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是

A．B．

C．D．

18．（xx新课标全国I）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．

19．（xx新课标全国III）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________．

20．（xx天津）已知函数

，其中a为实数，为的导函数，若，则a的值为______________．

21．（xx新课标全国II）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则______________．

1．【答案】D

【解析】常函数的导数为，所以时，．故选D．

2．【答案】A

【解析】，所以，切线方程为

，故选A．

4．【答案】B

【解析】因为，，所以，解得，故选B．

5．【答案】D

【解析】因为，所以，解得，故选D．

6．【答案】

【解析】因为，所以，因为，所以，解得．

7．【答案】

【解析】由已知得，则

，所以，解得．

8．【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）因为，所以

．

（2）因为，所以．

9．【答案】或

【解析】设直线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为，

则直线的方程为，

因为，所以，

又点在切线上，所以，

解得或，则或．

所以直线的方程为或，

即或．

10．【答案】A

【解析】因为，所以，

又曲线在处的切线与直线平行，所以

，

故选A．

12．【答案】D

【解析】设，因为，所以，所以．

故点处切线的斜率，由导数的几何意义可得，即，

解得，所以．故选D．

13．【答案】A

【解析】由题意可知，，所以，

所以曲线在点处切线的斜率为．故选A．

14．【答案】3

【解析】由题意得，所以①．

因为切点为，所以②，③，由①②③解得，．

15．【答案】

【解析】设切点，则，，

又，所以，所以，所以，所以．

16．【答案】

（1）；

（2）或；（3）．

【解析】

（1）由已知得，

因为切点为，所以切线的斜率，

则切线方程为，即．

（3）设切点坐标为，

由已知得直线的斜率为，且，

则切线方程为，即

，

将代入得，，则直线的方程为，即．

17．【答案】A

【解析】设

（不妨设），则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得

切线的方程为，切线的方程为，即．分别令得

与的交点为．

，故选A．

18．【答案】

【解析】设，则，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，即．

【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：

设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

20．【答案】3

【解析】因为，所以．

21．【答案】8

【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线方程为，即．又切线与曲线相切，当时，，显然与平行，故，由，得，则，解得．