湖南师范大学数学建模大赛是试题.docx

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湖南师范大学数学建模大赛是试题

2013年湖南师范大学数学建模竞赛

A题北斗导航

一个目标在地面的位置可以通过天上的卫星进行精确定位。

以前我国都是使用美国提供的GPS有偿服务，美国的GPS为我国前期的经济发展和社会结构作出了很大贡献。

为使我国更加的强大与独立，以免在关键的时刻被其他国家所遏制，我们必须要有独立的自主的结构体系。

北斗导航就是我国在强盛崛起的道路上不可或缺的一个独立工程。

我们知道，要确定地面的一个目标，必须要有三颗以上的卫星同时在目标上方天空。

分下列三种情形来解决如下问题：

请决定发射卫星的轨道，使得在确保地面上任何时刻在任何位置上方都有三颗以上的卫星的前提下，需要发射的卫星最少。

情形1不计成本，卫星轨道的高度不受限制；

情形2卫星轨道的高度介于2500公里到6500公里之间；

情形3考虑到无线信号随距离的平方成反比衰减，以及将来可能存在的维修，卫星轨道的高度介于200公里到1000公里之间；

进一步，如果假设确定地面的一个目标，必须要有三颗以上的卫星同时在目标上方位于地平线以上20度的天空中。

仍然分上述三种情形来解决刚才的问题。

附：

本题给了一个阅读资料，其它的资料和数据请上网查询。

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低轨道卫星-概念说明

低轨道卫星

轨道通信卫星在距地球表面不同高度、但低於地球同步卫星轨道的空间中运行．由於卫星绕地球运转快於地球自转,  地面站又只能在短距离范围内才能和卫星通信,因此在卫星绕地球一周内通信的时间很短,卫星的覆盖地区在地球表面上很快移动,当卫星离开地面站的接收范围时就无法进行通信,而克服低轨道卫星通信這一缺点的方法是增加在轨卫星数量．目前,世界各国已经启用或正在研制的低轨道卫星通信系统已有多种,其中有一种是由美国摩托罗拉公司正在研制的取名为＂铱＂的全球卫星通信系统．這项宏伟的工程之所以取名为＂铱＂,是因为在该系统中计划采用由低轨道上运行的７７颗小型通信卫星组成一个＂星系＂,恰如化学元素周期表中第７７号元素＂铱＂（Iridium—Ir）原子有７７颗电子绕核旋转一样,由它們提供连续覆盖全球的卫星通信系统．這７７颗小型卫星被分为７组,每组１１颗,分布在７条环形极轨道上,组成环绕地球等间隔的７个面．卫星环绕地球一周大约１００分钟,所有卫星都朝同一个方向运转,越过地球北极飞向南极上空,从而使整个地球表面都覆盖在内．因此,无论在地球的任何地点,任何时间内,总有一颗卫星是在短距离范围之内,联合构成空间数字通信网,可以处理语音与数据等多种信息．遍布天空的＂铱＂系统通信卫星与陆地＂蜂窝＂无线移动通信网相互协调配合,使用户通过所持的便携式无线电话机將信号直接发向最近的卫星,再经卫星之间的转发,最后把信号传送到地面电话网中的接收用户,从而完成在全球范围内的个人通信．＂铱＂系统中每颗通信卫星的体积小,直径约１米,宽２米左右,重量轻,在轨重量为３２０千克左右．由於卫星运行的轨道低,距离地球表面只有７６５公里左右,比地球同步卫星的距离近的多,因此只用小型火箭便可以发射升空,其造价和发射费用都比同步卫星低的多．

低轨道卫星-工作原理

　低轨道卫星移动通信系统的工作原理与前面介绍的＂蜂窝＂式移动通信的原理相似．尽管每颗卫星所能覆盖的地域

低轨道卫星

比同步卫星小得多,但比移动通信中基地台所覆盖的面积却大多了．实际上,一颗低轨道卫星就相当於陆地移动通信系统中的一个＂基地台＂,而形成覆盖区域的天线和无线电中继设备都安在卫星上．不同的是,這个＂基地台＂不是建立在地面上,而是被倒挂在天空中．地面站与空间卫星的联系,以及卫星与卫星间的联系是在＂K＂频带上建立的；而卫星与地面移动台如车、船和手持移动电话机的人之间的信息联系则建立在＂L＂频带之上的．

　　＂铱＂系统卫星通信计划的实施,实现了人們在地球上的任何地方,无论陆地、空中和海洋,只要拨通一个电话号码便可与远隔千山万水的亲人通话的目的． 

低轨道卫星-低轨道卫星移动通信系统星座配置的优化

低轨道卫星

对低轨道卫星通信系统组网方式和技术要求进行分析,根据在卫星轨道设计中所涉及的参数计算,提出应用最优化方法,考虑卫星移动蜂窝网络采用动态信道分配技术（DCA）,以新呼叫尝试的阻塞概率Pb1为目标函数,从最佳设置求出低轨道卫星移动通信系统星座配置方案,使Pb1达到最小.  

   卫星通信是一种已经使用并且发展很快的通信方式.卫星通信具有通信距离远、覆盖面积大、不受地理条件限制、通信频带宽、传输容量大、通信质量稳定可靠,且费用与通信距离无关,既可以为固定终端,又可为车载、船载和机载移动体以及个人终端提供各种通信业务等特点,是实现未来全球个人通信的重要组成部分.

   90年代初小卫星技术（VSAT）的兴起和发展,出现了中、低轨道卫星移动通信的新思路.对于高轨道卫星（如静止轨道卫星（GEO））,由于卫星轨道高,路径损耗大,延迟时间长,要求地面站用户终端设备具有高增益、大口径的天线装置和大功率发射设备,显然不能满足全球个人移动通信终端设备体积小、重量轻、易于携带的要求.而低轨道（LEO）卫星系统,由于轨道高度低,路径损耗小,能够达到系统所要求的EIRP和G/T值,卫星终端可以做到手机化,是实现全球个人移动通信的有效手段之一.特别是将陆地蜂窝移动通信系统和低轨道移动卫星通信系统相结合作为相互补充可覆盖全球.使最终真正实现全球个人通信成为可能.

   然而,卫星轨道降低势必造成要覆盖全球卫星链的数目显著增加,空间段成本费用高和通信越区切换技术复杂,通信线路的基本参数和设计将发生变化,而星座结构是首先要考虑的问题.轨道太高,传输损耗加大和功率要求高,硬件设备技术和工艺难;太低,卫星数目增加,成本提高,技术复杂,维护难.

  目前世界上许多卫星公司提出了不同的星座组网方案,如Iridium系统的66颗6轨道系统;Globalstar的8轨道48颗卫星系统等.大部分系统尚处于研究开发阶段.常规的卫星通信系统星座轨道的选取依据频谱利用率、系统容量、传播损耗、成本估算和技术难度等因素设计.对于某些最佳性能准则问题,如频谱利用率最高、共信道干扰最小等采用传统的规划方法,这些方法的不足之处是工作量大,考虑不够全面,各项因素之间影响不能实现最佳组合.

  随着最优化理论的日趋成熟,研究与应用领域也越来越广泛,已经出现了许多计算量小、速度快、高效率的算法.运用最优化方法能全面、综合地考虑各种因素,特别适合于处理某些性能最佳准则问题.本文试图研究在低轨道卫星移动通信中应用最优化方法来设计星座配置.考虑在应用动态信道分配和碰撞型卫星移动蜂窝通信中,新呼叫尝试的阻塞概率和由于切换失败而引起的呼叫失败概率与系统星座配置中轨道高度和卫星数量及系统其它参数之间的关系,运用最优化方法,找出最佳的轨道高度和卫星数量,使得系统的阻塞概率最小.

低轨道卫星-卫星轨道参数的计算

   对于LEO圆轨道,卫星在轨道上任意位置的瞬时速度和运转周期分别由下式给出:

低轨道卫星

低轨道卫星采用近极轨道星状星座,实现全球覆盖示意如图1所示.

低轨道卫星

在极化轨道星座配置中,若采用每轨道面内卫星等距排列,每轨道面也等距排列,则最优完全覆盖地球表面所需每轨道卫星数,轨道面数分别为:

低轨道卫星

    从以上分析可以得出,卫星轨道越低,则覆盖包括极区在内的全球所需的卫星数目越多.同时,h变小使单星覆盖区域小,卫星速度增加,越区切换频繁和多卜勒频移加剧,也相对减少了传播延时.轨道高度增加,单星覆盖区增大,覆盖全球所需卫星数目减少,然而传播延时增加,卫星地面终端功率要求高,手持机硬件技术复杂.在多种因素影响下,只能选择折中方案.

低轨道卫星-星座配置的最优化设计及其结果

　  卫星移动通信系统要求卫星采用多波束天线.多波束可以是固定的,也可以是在不同地理区域上跳跃的波束.在跳跃波束系统中,M个独立波束能连续跳跃到N个不同区域,形成M×N个理想波束.点波束构成连续的六角形图形,它在地面形成若干个蜂窝状小区的网络结构,如图2所示.

低轨道卫星

 每个六边形服务小区用户总能被至少一颗卫星所覆盖,用户可随时接入系统.频率是一种有限资源.为了不同空间的网络同时使用相同的信道,定义信道再用距离D,即在网络中心间距小于D的网络中不能同时使用同样的信道.根据计算,D一般取为D=21L.L为六边形网络边长.  考虑到LEO卫星轨道高度低,卫星速度vs很高,移动用户（MS）从一个网络来到相邻的网格时,要发生切换过程.在新网格中,为避免通信中断,必须重新分配信道.由于MS的速度和地球自载速度（vE=1670km/h）或忽略不计,于是得到MS相对卫星的恒定速度约为22600km/h.由于MS的相对速度较高,对于LEO,正在进行的通话将发生几次切换.

   下面考虑卫星移动蜂窝网络层采用动态信道、分配技术（DCA）,即当有新呼叫尝试出现在卫星天线点波束覆盖区（网格）中时,地区合适的卫星就执行动态信道分配算法,卫星通过穷尽搜索法寻找最小价值的信道,并根据逐个呼叫的次序来决定分配信道.对于LEO卫星星座,必须使用星间链路（ISL）,即一颗卫星能与相邻卫星通话.假设在DCA技术中,1）可用信道的最大数为Cm;2）通话时长是随机的,并按指数分布,期望值等于Tm;3）能清除阻塞呼叫;4）在所有网格中都具有相同的到达率时,每个网格提供的通话业务量为泊松分布。

低轨道卫星

为了得到最小Pb1,根据系统可用信道最大数目设定每个通话企图平均切换次数nh的最小值,选择合适的卫星轨道高度（通过式

（1）,式（8）,式（9）,式（10）计算）,使Pb1达到最小.卫星星座配置方案则由式（3）,式（4）,式（7）计算.应用最优化方法来解决这个问题.本文属在约束条件下多变量非线性函数的最优化问题,用式子表示为:

低轨道卫星

  对于约束优化问题,有直接解法的复合形法,可行方向法,也有间接解法的乘子法,惩罚函数法等.本文采用外点惩罚函数法.

   在外点惩罚函数方法中,引入一个惩罚函数（X,γ（k））且定义于约束可行域的外面,而变量应满足定义域.该方法是通过一系列惩罚因子{γ（k）（k=0,1,2,…）}求函数（X,γ（k））的无约束极值来逼近约束问题最优解的一种方法.这一系列极值点X*（γ（k））将从约束可行域外向约束外界运动.随着惩罚因子的增加,在由求一个函数进入求另一个函数极小化中,迫使惩罚项值逐渐减小,从而使无约束极值点X*（γ（k））沿某一运动轨迹逐渐接近起作用约束的约束面上的最优点X*.这就是用外点惩罚函数法处理不等式约束化问题的实现.

   本文优化流程可用图3所示框图表示

低轨道卫星

 星座配置最优设计计算方框图

   表1为当vs=22600km/h,L=2600km,并设定nh=2,θ=10°,Pb2=0时,对应不同轨道高度时Ns,Np,NT,Pb1的计算结果.（Ns,NP,NT均取正整数）。

低轨道卫星

结　　论

   通过上述讨论研究可以看出,低轨道卫星移动通信系统的许多设计问题可以用最优化方法来解决.特别是在多种因素需同时考虑只能选择一种折中方案的情况下,应用最优化方法来解决这类问题,可实现各种因素的最佳组合.本文所提出的方法可推广至移动卫星通信系统的其它参数设计与应用中.

低轨道卫星-参考文献

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中国铁道出版社,1989.198～214 

低轨道卫星-宽带中、低轨道卫星通信系统

宽带中、低轨道卫星通信系统<1>

低轨道卫星

摘要 

face="仿宋">本文首先讨论对未来信息高速公路建设无缝隙覆盖高质量宽带多媒体业

务传输起重要使用的宽带中、低轨道卫星通信系统，包括典型系统结构和特征参数。

进而，论述窄

带和宽带中、低轨道卫星通信系统在此网络中的地位与作用。

正在研制开发的LEO／MEO／GEO窄带卫星通信系统多半为低速率全球／区域卫星移动通信

系统。

如上一讲所指出，即使借助未来MPEG-4技术的进展，亦难以直接支持宽带高质量多媒体业

务的传输，但是，瞄准这一目标的一些宽带卫星系统已初露头角，下面介绍一些典型的MEO／LEO

系统。

face="宋体">1994年初约需90亿美元投资、由840颗小卫星连接全球的Teledesic 

LEO系统的令人震惊的构想问世立即在华尔街日报等新闻界掀起了轩然大波，有些人甚至视其为

天方夜谭工的奇谈怪论；尔后，人们逐步开始对Teledesic系统的真实意图与可行性有所理解。

其

实，Teledesic系统的基本目标即期望利用卫星通信的介质优越性，在未来信息高速公路中扮演一

个重要的角色。

face="宋体">Teledesic公司诞生于1990年6月，总部在美国华盛顿州西雅图（Seattle 

Washington），创始人为世界上最大的计算机软件公司美国微软公司（Microsoft 

Corp.）总裁盖茨及世界上最大的无线通信公司美国麦考蜂窝通信公司（McCaw 

CellularCommunicationsInc.）总裁麦考。

其主要业务目标即瞄准与地面宽带光纤网络无

缝隙兼容，使之以静止卫星系统无法比拟的小的时延，适应宽带业务的应用需要与数据通信协议规

程要求，并作为地面无线网络的补充手段，对窄带低速蜂窝系统进行宽频带覆盖，构成蜂窝区间互

联及长途电信连接的宽带骨干实施，以充分满足话音与高速实时数据宽频带综合传输进必需的低时

延要求。

face="宋体">该全球电信网络系统由840个高度为700km的LEO卫星星座构成，共有21个近极轨

式圆形轨道，每一轨道平面上有40个卫星，加上10％在轨备份，共有924颗卫星在轨，以实现快速

故障修复及高备份度的优良全球覆盖。

它具有低达40ms～120ms（平均80ms）的小时延性能，卫星

星座及卫星天线旋转波束的覆盖衔接设计，使所覆盖的地面蜂窝区相对卫星而言成为静止而非移

动，从而可视为一种固定卫星业务，因此亦消除了移动通信麻烦的越区转接要求。

卫星发射质量约

795kg；卫星初期功率为11.595kW其寿命末期功率亦可为6.626kW，寿命约10年。

face="宋体">Teledesic系统的业务类型为全数字双向交换业务，可传输语音、数据、视像、

交互式多媒体及广域网络信息等各种宽带综合业务。

标准终端的连接速率为16kbit／s～

2Mbit／s，1Gbit／s线路的高容量枢纽终端连接速率高达155Mbit／s～1.2Gbit／s。

其网络拓扑

为全网状分布式控制结构，每个卫星为一个交换节点，星间链路使每一卫星连接邻近8个节点，每

一节点执行与快速分组交换ATM类似的运行模式，实施自适应网络拓扑及拥塞路由寻址，从而以低

时延及机动灵活方式构成一个自愈型网络拓扑。

每一波束形成9个小区，共有64个扫描波束使每一

卫星形成576个小区，每一小区面积为53km×53km，可携载1440个16kbit／s激活话音信道，从而

576个小区即可构成每一卫星巨大的容量能力，即576×1440=829440个话路。

face="宋体">标准终端及高速率枢纽终端利用Ka频段（20／30GHz），星际链路利用60GHz频

段，如上所述标称终端运行速率为16kbit／s～2Mbit／s，导致每一小区可支持23Mbit／s容量需

求。

枢纽终端速率高达155Mbit／s～1.2Gbit／s，即STM-1至STM-8，每一卫星可连接16个枢纽终

端站，星际链路传输速率为1.2Gbit／s，每一卫星连接8条星际链路。

由于利用了Ka频段，按国际

固定卫星业务频率分配可获得高达7GHz的有效带宽，从而可较好地解决低微波频段的频谱拥塞问

题，并使天线及终端设备小型化，相应引发的技术问题是Ka频段的大的雨衰及地面遮挡，这可由多

星座、高仰角及低轨道、低通路长度（700km～1020km）、自适应速率可变及自适应功率控制等技

术加以解决。

系统多址连接拟采用FDMA／TDMA组合方式，调制方式为QPSK，链路误码率性能设计

为10-10，可用性指标期望达到99.9％。

face="宋体">据Teledesic提供的资料预测，其单位容量成本很低，即1bit／s 

0.06美元，约为Iridium系统成本的1／111，约为Globalstar系统成本的1／46，约为GEO型

Spaceway系统成本的1／2.6。

即使对高质量16kbit／s语音，其成本亦仅为每路0.96美元。

face="宋体">虽然Teledesic系统不能说技术风险很小，而且如此庞大的星座格局导致的系统

可靠性与卫星发射处理问题还需进一步验证，实际投资需高达90亿color="#000000">～99.9亿美元，并且服务对象主要为农村及边缘地区，多长时间回收其巨额

投资等也存在疑问：

但是，由上述简要的系统描述已可理解其充当未来信息高速公路宽带多媒体业

务的无缝隙覆盖角色的技术可行性。