完整版变化率与导数及导数的计算doc.docx
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第十一节变化率与导数、导数的计算
一、导数的概念
1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
(1)定义:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
lim
fx+
x-fx
0
=lim
y为函数y=f(x)在x=x0
处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,
0
x→0
x
x→0
x
即f′(x0
y=lim
fx+x-fx
0
)=lim
0
xx→0
x
.
x→0
(2)几何意义:
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线
y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜
率(瞬时速度就是位移函数
s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
2.函数f(x)的导函数
称函数f′(x)=limfx+x-fx为f(x)的导函数.
x→0x
二、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f(x)=xn(n∈Q*)
f′(x)=nxn-1
f(x)=sinx
f′(x)=cos_x
f(x)=cosx
f′(x)=-sin_x
f(x)=ax
f′(x)=axln_a
f(x)=ex
f′(x)=ex
f(x)=logax
1
f′(x)=xlna
f(x)=lnx
1
f′(x)=x
三、导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
2.[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
fx′=f′xgx-fxg′x
(g(x)≠0).
3.gx
[gx]2
1.(教材习题改编)若f(x)=xex,则f′
(1)=(
)
A.0
B.e
C.2e
D.e2
解析:
选C
∵f′(x)=ex+xex,∴f′
(1)=2e.
2.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线与直线
x+ay=1垂直,则实数
a的值为()
A.2
B.-2
1
1
C.2
D.-2
解析:
选A
依题意得
|
y′=1+lnx,y′x=e=1+lne=2,所以-1×2=-1,a=2.
a
3
1
2
2
3.(教材习题改编)某质点的位移函数是s(t)=2t
-gt
(g=10m/s),则当t=2s时,它
2
的加速度是(
)
A.14m/s2
B.4m/s2
C.10m/s2
D.-4m/s2
解析:
选A
由v(t)=s′(t)=6t2-gt,a(t)=v′(t)=12t-g,得t=2时,a
(2)=v′
(2)
=12×2-10=14(m/s2).
4.(2012·东高考广)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.
解析:
∵y′=3x2-1,∴y′|x=1=3×12-1=2.
∴该切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
答案:
2x-y+1=0
5.函数y=xcosx-sinx的导数为________.
解析:
y′=(xcosx)′-(sinx)′
=x′cosx+x(cosx)′-cosx
=cosx-xsinx-cosx
=-xsinx.
答案:
-xsinx
1.函数求导的原则
对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导
法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.
2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别与
联系
(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x0)的切线,
是唯一的一条切线.
(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不
是切点,而且这样的直线可能有多条.
典题导入
[例1]用定义法求下列函数的导数.
(1)y=x2;
[自主解答]
4
(2)y=x2.
(1)因为
y=fx+x-fx
x
x
=x+x2-x2x
x2+2x·Δx+x2-x2
=
x
=2x+x,
所以y′=
x→0
y
x→0
(2x+x)=2x.
lim
x=
lim
4
4
4
x2x+x
(2)因为
y=x+
x2-x2=-
x2x+x
2
,
y=-4·
2x+x
,
x
x2x+x2
x→0
y
x→0
2x+x
8
=
-4·2
2
=-3.
所以lim
x
lim
x+x
x
x
由题悟法
根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤
(1)
求函数值的增量
y=f(x0+x)-f(x0);
(2)
求平均变化率
y=fx0+x-fx0
;
x
x
(3)
0
y
计算导数f′(x)=lim.
x→0
x
以题试法
1.一质点运动的方程为s=8-3t2.
(1)求质点在[1,1+t]这段时间内的平均速度;
(2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解).
解:
(1)∵s=8-3t2,
∴s=8-3(1+t)2-(8-3×12)=-6t-3(t)2,
s
v=t=-6-3t.
(2)法一(定义法):
质点在t=1时的瞬时速度
v=lim
s=lim
(-6-3t)=-6.
t→0
t
t→0
法二(导数公式法):
质点在t时刻的瞬时速度
v=s′(t)=(8-3t2)′=-6t.
当t=1时,v=-6×1=-6.
典题导入
[例2]求下列函数的导数.
ex+1
(1)y=x2sinx;
(2)y=ex-1;
[自主解答]
(1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.
ex+1′ex-1-ex+1ex-1′
(2)y′=
ex-12
ex
ex-1-ex+1ex-2ex
2.
=
x
-1
2
=x
-1
e
e
则y′=(lnu)′u′=
1
2
,
2x-5·2=
2x-5
即y′=
2
.
2x-5
由题悟法
求导时应注意:
(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量.
(2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的导数法则,减少失误.
以题试法
2.求下列函数的导数.
(1)y=ex·lnx;
(2)y=xx2+1x+x13;
解:
(1)y′=(ex·lnx)′
x
x1
x
lnx+
1
.
=elnx+e·=e
x
x
(2)∵y=x3+1+12,∴y′=3x2-23.
xx
典题导入
[例3]
(1)(2011山·东高考)曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与
y轴交点的纵坐标
是()
A.-9
B.-3
C.9
D.15
(2)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为
y=2x+1,则曲线
y=f(x)在点(1,f
(1))处切线的斜率为()
1
A.-4
B.2
1
C.4
D.-2
[自主解答]
(1)y′=3x2,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是
3,故切线方程是y-12
=3(x-1),令x=0得y=9.
(2)∵曲线y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为y=2x+1,∴g′
(1)=k=2.
又f′(x)=g′(x)+2x,
∴f′
(1)=g′
(1)+2=4,故切线的斜率为4.
[答案]
(1)C
(2)C
若例3
(1)变为:
曲线y=x3+11,求过点解:
因点P不在曲线上,设切点的坐标为
由y=x3+11,得y′=3x2,
2
∴k=y′|x=x0=3x0.
3
又∵k=y0-13,∴x0+11-13=3x02
0
-0
x0
.
x
∴x3=-1,即x=-1.
00
∴k=3,y0=10.
∴所求切线方程为y-10=3(x+1),
即3x-y+13=0.
P(0,13)且与曲线相切的直线方程.
(x0,y0),
由题悟法
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:
k=f′(x0);
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;
(3)已知切线过某点M(x1,f(x1))(不是切点)求切点,设出切点A(x0,f(x0)),利用k=
fx1-fx0=f′(x0)求解.x1-x0
以题试法
3.
(1)(2012新·课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.
(2)(2013
乌·鲁木齐诊断性测验
)直线
1
y=2x+b
与曲线
1
y=-2x+lnx相切,则
b的值为
(
)
A.-2
B.-1
1
C.-2
D.1
解析:
(1)y′=3lnx+1+3,所以曲线在点
(1,1)处的切线斜率为
4,所以切线方程为
y
-1=4(x-1),即y=4x-3.
(2)设切点的坐标为
a,-
1
,依题意,对于曲线
y=-
1
1+
1,
2a+lna
2x+lnx,有y′=-
2
x
所以-1+1=1,得a=1.又切点
1,-
1
1
1=1+b,得b=-1.
2a2
2
在直线y=2x+b上,故-22
答案:
(1)y=4x-3
(2)B
1.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为(
)
A.2(x2-a2)
B.2(x2+a2)
C.3(x2-a2)
D.3(x2+a2)
解析:
选C
f′(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).
2.已知物体的运动方程为
s=t2+3(t是时间,s是位移),则物体在时刻
t=2时的速度
t
为()
19
17
A.4
B.4
15
13
C.4
D.4
3
3
13
解析:
选D
∵s′=2t-
t2,∴s′|t=2=4-4
=4.
3.(2012哈·尔滨模拟)已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的导函数f′(x)是偶
函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为
(
)
A.y=-3xB.y=-2x
C.y=3xD.y=2x
解析:
选B∵f(x)=x3+ax2+(a-2)x,
∴f′(x)=3x2+2ax+a-2.
∵f′(x)为偶函数,∴a=0.
∴f′(x)=3x2-2.∴f′(0)=-2.
∴曲线y=f(x)在原点处的切线方程为
y=-2x.
4.设曲线y=
1+cosx
π
处的切线与直线
x-ay+1=0平行,则实数a等于(
)
在点
,1
sinx
2
1
A.-1
B.2
C.-2
D.2
解析:
选A
-sin2x-1+cosxcosx
-1-cosx
π
1
∵y′=
sin2x
=
,∴y′|x==-1.由条件知
sin2x
2
a
=-1,∴a=-1.
5.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点
P到直线y=x-2的最小距离为()
A.1
B.
2
2
C.2
D.
3
解析:
选B
设P(x0,y0)到直线y=x-2的距离最小,则
y′|x=x0=2x0-
1=1.
x
0
1
得x0=1或x0=-2(舍).
∴P点坐标(1,1).
∴P到直线y=x-2距离为d=|1-1-2|=2.1+1
6.f(x)与
g(x)是定义在
R上的两个可导函数,若
f(x),g(x)满足
f′(x)=g′(x),则
f(x)
与g(x)满足(
)
A.f(x)=g(x)
B.f(x)=g(x)=0
C.f(x)-g(x)为常数函数
D.f(x)+g(x)为常数函数
解析:
选C由f′(x)=g′(x),得f′(x)-g′(x)=0,
即[f(x)-g(x)]′=0,所以f(x)-g(x)=C(C为常数).
7.(2013·州模拟郑)已知函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′
(1)=________.
1
解析:
∵f′(x)=-2f′(-1)x+3,
f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,
∴f′(-1)=-2,∴f′
(1)=1+4+3=8.
答案:
8
8.(2012辽·宁高考)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点
P,Q的横坐标分别为4,
-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点
A,则点A的纵坐标为________.
解析:
易知抛物线
1
y=x2上的点P(4,8),Q(-2,2),且y′=x,则过点P的切线方程为
2
y=4x-8,过点Q的切线方程为
y=-2x-2,联立两个方程解得交点
A(1,-4),所以点A
的纵坐标是-4.
答案:
-4
1
1
3
9.(2012黑·龙江哈尔滨二模
)已知函数f(x)=2x-4sinx-4cosx的图象在点A(x0,y0)
处的切线斜率为
1,则tanx0=________.
解析:
由f(x)=1x-
1sinx-
3cosx得f′(x)=
1-1cosx+
3sinx,
2
4
4
2
4
4
1
1
3
sinx0=1,
则k=f′(x0)=
-cosx0+
4
2
4
3
1
π
即2sinx0
-2cosx0=1,即sinx0-6=1.
π
π
2π
所以x0-
=2kπ+,k∈Z,解得x0=2kπ+
3
,k∈Z.
6
2
故tanx0=tan2kπ+
2π
2π
3
=tan
=-3.
3
答案:
-3
10.求下列函数的导数.
(1)y=x·tanx;
(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);
解:
(1)y′=(x·tanx)′=x′tanx+x(tanx)′
sinx
cos2x+sin2x
=tanx+x·cosx
′=tanx+x·cos2x
x
=tanx+cos2x.
(2)y′=(x+1)′(x+2)(x+3)+(x+1)[(x+2)(x+3)]′=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x
+1)(x+3)=3x2+12x+11.
11.已知函数
2
f(x)=x-x,g(x)=a(2-lnx)(a>0).若曲线
y=f(x)与曲线
y=g(x)在
x=1
处的切线斜率相同,求a的值,并判断两条切线是否为同一条直线.
解:
根据题意有
曲线
y=f(x)在
x=1处的切线斜率为
f′
(1)=3,
曲线
y=g(x)在x=1处的切线斜率为
g′
(1)=-a.
所以
f′
(1)=g′
(1),即
a=-3.
曲
y=f(x)在
x=1的切方程
y-f
(1)=3(x-1),
得:
y+1=3(x-1),即切方程
3x-y-4=0.
曲
y=g(x)在x=1的切方程
y-g
(1)=3(x-1).
得y+6=3(x-1),即切方程3x-y-9=0,所以,两条切不是同一条直.
12.函数f(x)=x3+ax2-9x-1,当曲y=f(x)斜率最小的切与直
12x+y=6平
行,求a的.
a
a2
a
解:
f′(x)=3x2+2ax-9=3x+32-9-
3
,即当x=-
3
,函数f′(x)取得最小-9
a2
12x+y=6平行,
-
3,因斜率最小的切与
即切的斜率-
12,所以-9-
a2
=-12,
3
即a2=9,即a=±3.
1.(2012
·丘二模商
)等比数列
{an}中,a1=2,a8=4,f(x)=x(x-a1)(x-a2)⋯(x-a8),f′(x)
函数
f(x)的函数,
f′(0)=(
)
A.0B.26
C.29D.212
解析:
D∵f(x)=x(x-a1)(x-a2)⋯(x-a8),
∴f′(x)=x′(x-a1)⋯(x-a8)+x[(x-a1)⋯(x-a8)]′=(x-a1)⋯(x-a8)+x[(x-a1)⋯(x-a8)]′,
∴f′(0)=(-a1)·(-a2)·⋯·(-a8)+0=a1·a2·⋯·a8=(a1·a8)4=(2×4)4=(23)4=212.
2.已知f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=f1′(x)