修复电力系统的问题.docx
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修复电力系统的问题
修复电力系统的问题
摘要
本文所要解决的问题是如何确定紧急电力修复系统的修复计划，根据风暴修复需求表分析，得出此问题可以归结为一个多目标决策问题.我们利用层次分析法解决，首先画出其层次结构图，此结构图中分三个层次：
目标层、标准层和决策方案层,为了使各个标准，或在某一标准下各个方案两两比较以求得其相对权重，我们引入了相对重要性的标度，然后得出两两比较矩阵，将矩阵按照每一列向量归一化、按行求和、和归一化三步计算出权系数
，用MATLAB计算机软件求出两两比较矩阵的最大特征根
，通过对两两比较矩阵的一致性检验，说明所有两两比较矩阵都满足一致性要求，于是通过下列公式
排序权系数=5/6*（“单位重要性”权系数）+1/6（“影响人数”权系数）
求得每种单位的排序的权系数，最后并按照此权系数的大小顺序来安排修理与指派工人,即一旦申请报告提出了，将按此权系数把申请单位排到待修队伍中，还未排队的单位不修理，当有工人可指派时，权系数大的单位先修复，当有多个工人可指派时，应使总路途最短.
模型改进中我们还引入了图论的方法，对此问题做了深入全面的分析，使模型更加完整.
最后，我们根据模型求解的结果给HECO电力公司提出了几点建议：
作为对公众不满的回答，建议在决策中费用不要考虑太多；为决定优先计划安排系统，应该采取一个更随机的模型。
关键词：
目标决策层次分析法权系数图论
修复电力系统的问题
一、问题重述
引言：
沿海地区由于经常受风暴袭击，电力公司必须有相应的修复系统.过去电力公司（HECO）由于缺少优先排序受到媒介批评，故欲请顾问提出合理修复计划.风暴修复申请报告如表二所列，表上提供了报告时间（即修复申请提出时间）、申请单位类型、估计修复所需时间以及申请单位位置.在多个目标的约束下，要提出合理修复计划，建立客观准则和安排工作计划，做出比较合理的决策，目前前人还没有一个比较完整规范的模型，本文运用层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策；引入了相对重要性的标度，计算出权系数,然后得出两两比较矩阵,通过对两两比较矩阵的一致性检验，把定性和定理方法结合起来，增加了决策的有效性；结合风暴修复需求和工程队的情况，合理排序并合理指派工人，计算简便，所得结果简单明确，容易被决策者了解掌握.
问题重述：
为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。
这样的系统需要由估计的修复时间和费用与由客观准则判定的停电的“价值”构成的数据输入，
HECO电力公司具有一个实时处理的，通常包含报修时间；需求者类型；估计受害人数；地点（X,Y）四个信息的服务电话的计算机数据库，现有两个工程队调度所，分别位于（0,0）和（40,40），其中x,y以英里为单位。
HECO的服务区域在-65＜x＜65和-50＜y＜50之内。
该地区完全都市化，道路网络极好。
工程队只是在上班和下班时必须回调度所。
公司的政策是：
若停电的设施是铁路或医院，只要有工程队可派就立即处理，其他情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。
过去HECO电力公司由于缺少优先排序受媒介批评，故欲聘请顾问提出合理修复计划.根据表1所列的维修能力和表2所列的暴风雨修复需求建立客观准则和安排工作计划。
并且HECO出自自身的目的需要一份技术报告和一份用外行术语写就的“执行简要”来提交新闻媒介。
他们希望有对将来的建议。
为决定优先计划安排系统，你还需作一些附加的假设，并详述这些假设。
将来你可能希望有附加的数据，如果有，详述这些需要的信息。
表1：
工程队情况
表2：
风暴修复需求
二、问题分析
要提出合理修复计划，建立客观准则和安排工作计划，关键是要结合风暴修复需求和工程队的情况，合理排序并合理指派工人，修复工作的组织应根据以下目标进行：
（1）紧要停电（铁路和医院）要立即修复；
（2）作为一个节省费用的策略，要使加班时间最少；
（3）作为节省费用和时间的策略，要使作业点之间路途时间最小；
（4）要使从提出时间算起的设施等待修复时间最短；
（5）无论何时都要使等待修复的人数最少.
但并不是所有这些目标均可在一个模型中达到最优，因为这些目标有可能是互相抵触的，因此，我们所要求的模型是在一些量作为约束条件下使另一些量达到最优，也就是说，把这些约束作为准则趋规划目标，并在修复各个断电设施时均衡地单位重要性和影响人数.
在多因素影响的怎样合理排序并合理指派工人显得复杂，为此，我们建立合理排序层次结构模型用层次分析法（AHP）进行定量分析，根据问题的总目标以系统为观点，把问题分解成若干因素，对单位重要性和影响人数进行综合评价，选出最优合理排序方案，使其在多因素影响下作出一个理性而又科学的决策。
三、模型假设
1、每个派遣中心只要有需要立即有作业队可以派遣；
2、作业队必须返回他们出发时同一个派遣点，且唯一属于该派遣点；
3、决策中需要考虑的各项因素都是真实客观的；
4、在各项因素比较中都是以真实客观对比为中心的相互独立的正态分布。
四、符号说明
符号
描述
第i个因素相对于第j个因素的比较结果
下层第i个因素对上层某因素影响程度的权重
两两比较矩阵的最大特征根
五、模型建立
一、层次结构图
为解决这个问题，我们首先画出其层次结构图，此结构图中分三个层次：
目标层、标准层和决策方案层，如图1-1.
图1-1
从图1-1可知，一个合理的排序是用单位重要性、影响人数两个标准来综合衡量的.所以就必须求出两个标准的相对权重，也就是把每个标准相对于总目标合理排序的重要程序予以量化.另外，我们还需要分别用这两个标准中的单一标准对六个方案进行评估，求得每一个标准下，每个方案的相对权重.
二、标度及两两比较矩阵
为了使各个标准，或在某一标准下各方案两两比较以求得相对权重，我们引入相对重要性的标度，如表2-11所示.
表2-11
标度
定义
1
i因素与j因素相同重要
3
i因素比j因素略重要
5
i因素比j因素较重要
7
i因素比j因素非常重要
9
i因素比j因素绝对重要
2,4,6,8
为以上两判断之间的中间状态对应的标度值
倒数
若j因素与i因素比较，得到的判断值为
表2-11中的两个因素i和j分别表示两个进行比较的标准或在某一标准下比较的两个方案.由标度
为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵.
在第三层六种方案之间进行两两比较，可得到如下两两比较矩阵，如表2-12.
单位重要性
居民
政府部门
工业
事业
区域
紧急单位
居民
1
1/6
1/6
1/4
1/3
1/9
政府部门
6
1
3
5
3
1/7
工业
6
1/3
1
6
4
1/6
事业
4
1/5
1/6
1
3
1/9
区域
3
1/3
1/4
1/3
1
1/9
紧急单位
9
7
6
9
9
1
表2-12
六、模型求解
一、求权重
下面用两两比较矩阵来求出居民点、政府部门、工业、事业、区域以及紧急单位的权重。
第一步，先求出两两比较矩阵每一列的总和如下表1-11：
表1-11
单位重要性
居民
政府部门
工业
事业
区域
紧急单位
居民
1
1/6
1/6
1/4
1/3
1/9
政府部门
6
1
3
5
3
1/7
工业
6
1/3
1
6
4
1/6
事业
4
1/5
1/6
1
3
1/9
区域
3
1/3
1/4
1/3
1
1/9
紧急单位
9
7
6
9
9
1
列总和
29
271/30
127/12
259/12
61/3
23/14
第二步，根据公式
，把两两比较矩阵的每一元素除以其相应列的总和，所得商所组成的新的矩阵称之为标准两两比较矩阵，如下表：
表1-12
单位重要性
居民
政府部门
工业
事业
区域
紧急单位
居民
1/29
5/271
2/127
3/259
1/61
14/207
政府部门
6/29
30/271
36/127
60/259
9/61
2/23
工业
6/29
10/271
12/127
72/259
12/61
7/69
事业
4/29
6/271
2/127
12/259
9/61
14/207
区域
3/29
10/271
3/127
4/259
3/61
14/207
紧急单位
9/29
210/271
72/127
108/259
27/61
14/23
第三步，根据公式
计算标准两两比较矩阵的每一行的和及平均值，这些平均值就是各个方案在单位重要性方面的权重，如下表：
表1-13
单位重要性
居民
政府部门
工业
事业
区域
紧急单位
行平均值
居民
0.034482
0.018450
0.015748
0.011583
0.016398
0.067632
0.027381
政府部门
0.206896
0.110701
0.774907
0.231660
0.147540
0.086956
0.177869
工业
0.206896
0.036900
0.094488
0.277992
0.196721
0.101449
0.152407
事业
0.137931
0.022140
0.015748
0.046332
0.147540
0.067632
0.072887
区域
0.103448
0.036900
0.023622
0.015444
0.049180
0.067632
0.049371
紧急单位
0.310344
0.774907
0.566929
0.416988
0.442622
0.608695
0.520080
表1-13
从表1-12可见标准两两比较矩阵的每列和为1.
从表1-13可见六个方案在单位重要性方面的权重分别为0.027381、0.177869、0.152407、0.072887、0.049371、0.520080，其权重之和也为1.我们称[0.027381、0.177869、0.152407、0.072887、0.049371、0.520080]T
为单位重要性的特征向量.
由此我们得到“单位重要性”的权系数为：
居民0.027381
政府部门0.177869
工业0.152407
事业0.072887
区域0.049371
紧急单位0.520080
又根据如下表1-14所列数据：
表1-14
影响人数（人）
居民点
1615
政府部门
7955
工业
1035
事业
795
区域
3100
紧急单位
75565
合计
90065
其中有重复计算，总共90065人（Excel处理），各单位所占比率即为对“影响人数”的权系数，经计算得：
居民0.017931
政府部门0.088325
工业0.011491
事业0.008826
区域0.034419
紧急单位0.839005
同理在第二层两因素之间进行两两比较，可得到如下两两比较矩阵，如表1-15.
表1-15
单位重要性
影响人数
单位重要性
1
5
影响人数
1/5
1
算出权系数
单位重要性：
5/6影响人数：
1/6
二、两两比较矩阵的一致性检验
由第三层六种方案之间进行两两比较得到的两两比较矩阵，用MATLAB计算机软件容易求得最大特征值
.所以一致性指标
查找相应的平均随机一致性指标
。
对
，Saaty给出了
的值，如下表所示：
123456789
000.580.901.121.241.321.411.45
计算一致性比例
=0.17572/1.24≈0.1
满足两两比较矩阵一致性要求，其相应求得的特征向量有效.
三、求各方案的优劣程序
在上面我们已经求出了两个标准的特征向量，以及两个标准下的六个方案的特征向量，如表3-11所示.
表3-11
两个标准特征向量
单一标准下的六个方案特征向量
单位重要性
5/6
单位重要性
影响人数
居民
0.027381
0.017931
政府部门
0.177869
0.088325
影响人数
1/6
工业
0.152407
0.011491
事业
0.072887
0.008826
区域
0.049371
0.034419
紧急单位
0.52008
0.839005
于是求得每种单位的排序的权系数，公式为：
排序权系数=5/6*（“单位重要性”权系数）+1/6（“影响人数”权系数）
经计算得：
居民0.025805
政府部门0.162944
工业0.128920
事业0.062209
区域0.046878
紧急单位0.573232
通过比较可知“紧急单位”的权重最高，“政府部门”次之，下面权重从大到小依次是“工业”、“事业”、“区域”、“居民”.
按照此权系数的大小顺序来安排修理与指派工人，即一旦申请报告提出了，将按此权系数把申请单位排到待修队伍中，还未排队的单位不修理，当有工人可指派时，权系数大的单位先修复，当有多个工人可指派时，应使总路途最短.
对HECO的建议
作为对公众不满的回答，建议在决策中费用不要考虑太多，但费用信息必须提供，因为对于任何盈利机构来说，费用一项是必须要考虑的；如果希望今后能预测提出修复申请的数量，修复时交通繁忙的地段，排队等待修复的时间，以及在排队中等待作业的可能数量等等，那么就应该采取一个更随机的模型。
七、模型检验
模型中对两两比较矩阵一致性检验时，其值满足两两比较矩阵一致性要求，其相应求得的特征向量有效.求得每种单位的排序的权系数中，“紧急单位”的权系数最大，满足公司的政策若停电的设施是铁路或医院，只要有工程队可派就立即处理.故数据的可依赖程度是相当大的.
八、模型评价及推广
优点：
1．把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策；
2．把定性和定理方法结合起来，增加了决策的有效性；
3．计算简便，所得结果简单明确，容易被决策者了解掌握.
缺点：
1.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服；
2.指标过多时数据统计量大，且权重难以确定；
3.特征值和特征向量的精确求法比较复杂.
推广：
该模型可以运用到选拔之类的决策工作中，还可以用于大学生就业选择问题、假期旅游地点的选择、资源开发的综合判断等多目标决策问题.
九、模型改进
模型的改进余地很大，因为模型中只是考虑单位重要性和影响人数两个因素，而没有考虑到工作安排要使修复时间最短及修复费用最少两个目标因素，因此我们可考虑时间及费用优化而采用图论，因为所有作业点都有公路和其它作业点相连接，作业队在每次交换班时必需返回派遣中心，故更精确地说这是一条最小生成回路，可利用加权矩阵来求出从一点出发回到自身的最短路径，还可以把路程、时间、优先权重以及它们的组合作为权重标在图的各边上，然后就可以运用最小生成树算法使所需总时间（等待时间、费用等等）最小.
十、参考文献
[1]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南：
湖南教育出版社，1993.8
[2]韩伯堂，管理运筹学，北京：
高等教育出版社，2005.7
[3]周义仓，赫孝良，数学建模实验，西安：
西安交通大学出版社，2007.8
[4]丁润伟，朱晓慧，MATLAB基础及运用，北京：
机械工业出版社，2008.6
十一、附录
附表
》clc
>>A=[166439;1/611/31/51/37;1/6311/61/46;1/45611/39;1/334319;1/91/71/61/91/91]'
A=
1.00000.16670.16670.25000.33330.1111
6.00001.00003.00005.00003.00000.1429
6.00000.33331.00006.00004.00000.1667
4.00000.20000.16671.00003.00000.1111
3.00000.33330.25000.33331.00000.1111
9.00007.00006.00009.00009.00001.0000
>>B=[0.025805;0.162944;0.128920;0.062209;0.046878;0.573232]
B=
0.0258
0.1629
0.1289
0.0622
0.0469
0.5732
>>c=A*B
c=
0.1693
1.2381
0.9944
0.4238
0.2953
3.7014
>>clc
>>A=[11/61/61/41/31/9;613531/7;61/31641/6;41/51/6131/9;31/31/41/311/9;976991];
>>[x,y]=eig（A）;
>>eigenvalue=diag（y）;
>>lamda=eigenvalue
（1）
lamda=
6.8786
>>y_lamda=x（:
1）
y_lamda=
0.0406
0.3014
0.2323
0.0978
0.0706
0.9160
升级会员 