DVD租赁数学建模论文.docx

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DVD租赁数学建模论文

数学建模论文

DVD

租

赁

问

题

DVD在线租赁

摘要

本问题是一个DVD在线租赁中，网站方如何对于市场进行市场需求预测、如何对DVD进行分配才能最好的实现其经济效益，同时实现最好的社会效益。

第一问中，基于预测基础上的DVD购买方案设计中，为了简化问题，我们只考虑二次租赁会员的租赁周期T。

一般的，影响某一数量指标的的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不大，根据大数定理，这个指标可以近似认为服从正态分布，因此DVD的租赁周期T对应的会员人数近似服从正态分布。

为了保证希望看到某种DVD的会员中，有50%以上在一个月内能看到该DVD，我们运用概率计算出了各种DVD的购买量至少为：

5022，2511,1255,628,302。

在计算三个月内95%以上的会员能够看到，我们采用了裂项求和的方法，分别化简了第二个月及第三个月DVD的租赁总次数。

同样通过概率计算，我们得到了这个条件下各种DVD的购买量至少为：

4547,2274,1137,568,272。

对于第二问，对于当前订单的分配方案确定。

我们建立了0-1规划模型，求得最大满意度为22717，我们给出了最优分配方案。

第三问，是一个多目标规划问题，既要考虑使得会员的满意度尽量大，还要使得网站所购买的总的DVD数目最少。

求解双目标规划模型的求解要分两个步骤进行，先求第一个目标函数即最大满意度，然后将该满意度最大值作为约束条件加入到模型中求解DVD数量最小值。

关键词：

DVD；0-1规划；最优化分析；全局最优化

一、问题重述

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑当下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：

1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？

如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？

2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例下表2,具体数据请从http:

//下载），何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？

请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？

请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

二、背景介绍

DVD在线租赁业务是一项近年来在网络技术高度发展的基础上出现的新业务。

1998年成立于美国的Nexfix是目前炙手可热的DVD在线租赁商。

该公司有多种DVD出租业务。

其中，典型的是一种这样的：

顾客每月缴纳19.9美元成为会员。

定购DVD租赁服务。

顾客对哪些DVD感兴趣，只须在线提交订单，网站收到顾客的订单之后，会根据手头现有的DVD数量和会员的订单尽可能将DVD以快递的方式投递给会员。

一般情况下，在一天之内，网站即可将会员所需的DVD送到会员手中，会员每次最多得到3张DVD。

每个月订购的次数是有的，顾客拿到这些DVD之后可以无期的保留这些DVD，前提是在这段期内，他仍然是该网站的会员。

果会员想拿进行下一次租赁，则它必须首先将手上的DVD放进网站提供的信封里寄回。

之后，即可进行下一次租赁。

三、问题分析

本问题是一个在DVD租赁业务中，网站方如何进行DVD需求预测、如何购置新DVD、如何将手头的DVD分配给会员，从而可以保证会员满意而同时又使自己收到良好的经济效益的问题。

第一问中，1000个会员的调查表即是10万个会员的需求预测。

由于现实情况中每个会员租赁的时间不一样长，因此我们设DVD的租赁周期为T，这显然是一个线性规划问题。

第二问中，网站给出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的再现订单。

要求我们给出一个使得会员总的满意度最大的分配方案。

显然这是一个大规模的0—1规划问题。

第三问中综合考虑一个月内DVD的购买分配方案，这其实是一个多目标规划的问题。

从网站的经济效益角度考虑看，在保证所有会员中95%以上的会员一个月内看到自己想看的DVD的情况下，希望购买的DVD尽量少，但是从其社会效应来看，则要尽可能地考虑让所有会员的总的满意度最大。

这样可以使用多种方式将多目标规划变为单目标规划，以求得一个经济效益与社会效益的综合最优。

四、符号说明

Pi：

喜欢看

的会员数占会员总数的比例。

q：

表示所有会员里每月租赁两次的会员比例

N：

会员总人数，10^5即10万。

T：

表示一个月租赁两次的会员租用DVD的周期。

X（i）：

租赁公司准备

的张数；

P（n）：

每个T对应的人数占总人数的比例；

Fval2：

租赁公司准备5种DVD的总张数；

a（ij）：

第i个会员对第j种DVD的满意度，其定义如下：

x（ij）：

第i个会员是否被分配了第j种DVD（0：

否；1：

是）；

d（j）：

第j种DVD的数量；

Z：

表示1000个会员总的满意度。

五、基本模型假设

1、网站对1000名会员的调查结果足以反映网站的10万名会员对于各种DVD的需求及喜好。

2、会员中总是有60%的会员每月租赁DVD两次，40%的会员每月租赁DVD一次

3、会员只有在需要再次租赁DVD，才会将将上次租赁的DVD归还。

4、因为60%的会员每月租赁2次DVD，40%的会员每月租赁1次DVD，所以假设每位会员每月至少会租赁1次。

假设租赁两次的会员返回周期，即DVD的租赁周期为T。

5、如果会员对某种DVD感兴趣，但是本次提交订单后，并没有得到该DVD则他的下一份订单中仍然会有兴趣观看该DVD

6、对于每一类被租赁出去的DVD总是有60%分在每个月会租赁两次DVD的会员中，40%分在每月租赁一次DVD的会员中。

六、问题分析

6.1问题分析

网站现有10万个会员，该问要求对于表1中的五种DVD，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD。

以及如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD该如何准备DVD。

对于网站的会员我们假设：

1）40%的人一个月只租赁一次，共3张，并于月末还。

2）60%的人一个月租赁两次，每次3张，第一次于月中还，第二次于月末还。

3）这里的40%，60%只具有统计意义，事先并无法知道每位会员的租赁次数。

解题流程:

首先，由调查的数据，根据数理统计学点估计知识，我们可以近似认为{DVD1,DVD2,DVD3,DVD4,DVD5}被会员希望看到的概率依次为{0.2,0.1,0.05,0.025,0.01}。

因此整理出下表：

DVD名称

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

1000个会员愿

意观看的人数

200

100

10万愿意观

看的人数

2万

1万

0.5万

0.25万

0.1万

50%

10000

5000

2500

1250

500

95%

19000

9500

4750

2475

950

50%即我们保证要满足{10000,5000,2500,1250,500}的会员能看到相应的DVD。

设张数依次为x1,x2,x3,x4,x5,我们可以猜想x1能被收回60%（在模型建立中予以论证），即一个月内它的张数为x1+0.6*x1>10000,可得

。

同理，x2=3125,x3=1563,x4=782,x5=313。

3个月保证95%的会员看到自己喜欢的DVD的模型可以根据月份进行递推。

1.2模型建立

记租赁公司准备的DVD1,DVD2,DVD3,DVD4,DVD5的张数为

由调查数据1000个会员愿意观看的人数为（200，100，50，25，10），则我们可以近似认为{DVD1,DVD2,DVD3,DVD4,DVD5}被会员希望看到的概率：

总会员人数N人

喜爱DVD1~5的人数为：

N*p=N*（0.2,0.1,0.05,0.025,0.01）’

=（20000,10000,5000,2500,1000）’

1.2.1问题

（1）

会员总人数为N，0.4N的人只租赁一次，0.6N的人租赁两次。

在以上的模型中只是简单机械的算出了所需的DVD的张数，这并算不上是优化，也不能提高DVD的利用率，所以要想大大优化的目的就要提要DVD光盘的利用率。

如果考虑实际情况，每张DVD还的时间不一样，有些DVD多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。

有必要转变考虑角度。

进而采取如果一个会员一个月租2次的话，可以简单的认为每次租赁的DVD在他手上停留15天；租一次的会员DVD在手上停留30天。

则我们在月初第一次发出DVD后，月中利用返还的DVD再出租一次，采用这种优化方案后光盘的利用率明显得到优化，进而使成本有所降低。

但是这样的模型存在很大的漏洞，DVD的租赁周期是15天，是明显不符合实际情况的，在租赁中会存在不同的租赁周期。

因此进一步改进模型，建立不同的租赁周期T，于是一个月就有了S=（30/T）次的租赁机会。

对于50%的情况而言

一次出租

（

），

二次出租

（

），

三次出租

（

）……

以此类推，（30/T）次出租

；

由上所述将对以下问题从新建立模型。

模型建立：

经过这样优化过后不同的租赁周期又会产生不同DVD张数，由于会员租赁DVD周期受到各种随机因素的影响，具有不确定的特征，符合正态分布的特性因此。

由大数定理，猜想每个会员归还DVD的周期服从正态分布。

经计算:

T=1:

15得出该正态分布:

由此在matlab中做出该正态函数图像

（由于0:

15内的概率和并不完全等于1所以本猜想存在一定误差）

设0:

15内的各段的面积为

所以每个T对应例是

经过matlab中输入以下代码得出各个T值对应的面积值S2以及对应的概率值S4

代码如下：

fori=0:

S1（i+1）=normcdf（i,7.5,4.476）;

%使用正态分布的概率分布累加函数计算相应面积

end

fori=1:

S2（i）=S1（i+1）-S1（i）;

%求解各个T对应的面积

end

S3=sum（S2）;

S4=S2./S3

%求解各个T的概率值

matlab版本：

matlabr2010a

令S4=P；

根据数学模型在matlab中输入以下代码：

Pi=[200100502512]/1000;

N=10^5;

T=1;

%根据题意进行数据的初始化

forT=1:

t=fix（30/T）;

c=ones（1,5）;

A=eye（5）*（-1）*（1-0.6^t）;

b=0.2*N*Pi*（-1）;

Aeq=[];beq=[];

vlb=zeros（5,1）;

vub=[];

%模型中的数据代码化

[x,fval（T）]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）

%用线性优化函数求解各个T值对应的光盘数

End

求解的结果如下：

matlab版本：

matlabr2010a

令fval=X（i）;

因此总的目标DVD的总数等于各个T对应的DVD总数的加权平均，即：

经计算：

由此得出分析结果：

（程序

（1）附后）

matlab版本：

matlabr2010a

因此，要保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到DVD所需最少的DVD张数是9717张，每种DVD所需的最少张数依次是：

5022，2511,1255,628,302

对于95%的情况：

一次出租（u1=x），二次出租（u2=x*60%），三次出租（u3=x*60%*60%）……

以此类推，（30/T）次出租（u[30/T]）K（K=s+1）次出租（uK=us*60%+u1*0.4）……

一次类推就可以得到:

由此建立数学模型：

;

模型分析：

就K=s+1而言表示上一次租赁两次的会员归还量，即

，租赁一次会员当月归还的量，即

所以：

由此模型使用MATLAB编写程序如下:

Pi=[200100502512]/1000;

N=10^5;

T=1;

q=0.6;

%数据初始化

forT=1:

t=fix（30/T）;

c=ones（1,5）;

N1=（1-q^t）/（1-q）;

%第一个月总的租赁光盘数的求和

N2=（q^t+1）*N1-t*q^t;

%第二个月租赁的光盘数

N3=q^t*N1*（q^t+q）+N1+q^t*（（-4*t^2-4*t+5）/5）-（2*t+1）*q^（2*t）;

%第三个月租赁的光盘数

A=eye（5）*（-1）*（N1+N2+N3）;

b=0.95*N*Pi'*（-1）;

Aeq=[];beq=[];

vlb=zeros（5,1）;vub=[];

%将模型的约束条件代码化

[x,fval（T）]=linprog（c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub）

%使用线性优化函数求解各个T值对应的光盘数

end

（N1是等比数列求和得到,N2,N3是采用裂项求和的算法得到）

运行结果如下：

matlab版本：

matlabr2010a

又由于会员租赁的各个周期T对应的人数服从正态分布，因此对上述模型的运行结果进行加权平均处理，处理过程同50%的情况。

程序的运行结果如下：

matlab版本：

matlabr2010a

因此，要保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到DVD所需最少的DVD张数是8800张，每种DVD所需的最少张数依次是：

4547,2274，1137,568,272

（程序附后:

程序

（2））

1.2模型求解结果

表1：

当准备如下张DVD可保证一个月大于50%：

DVD名称

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

最少张数

5022

2511

125

6278

3013

表2：

当准备如下张DVD可保证三个月大于95%：

DVD名称

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

最少张数

4547

2274

1137

568

272

6.2100种DVD对于1000个会员在线订单的分配

6.2.1模型的建立

在问题2中，网站需要处理1000位会员在线订单。

网站手上现有数量有限的100种DVD进行分配，并使所有会员的满意度最高。

对表一的在线订单数据进行统计，可知100中DVD中现有的总数3007张。

接下来我们先对满意度的定义给出一个说明，因为会员满意度的数字越小，则满意度越高。

注意到0最小，但是并不表示满意。

因此，要对表中数据处理，使其能显示出满意的一致性（数字大表示满意，或相反）。

为了简化计算，我们认为偏爱程度可以代表满意程度。

我们引入

，表示第i个会员对第j中DVD的偏爱系数，其订单数字为

，可以得到满意度表达式有以下几种：

（1）

=1/

，

≠0，目标函数是取最大值，但满意度为非线性的反比函数，不符合订单数字大小的线性关系；

（2）

=11—

，

≠0，从题中所给的订单数字我们可以看到最大的订单数字是10。

当满意度为零时，则仍保持零。

这样就解决了零不能表示不满意这个问题。

为了使会员获得最大的满意度，即是所有会员的满意度之和最大，我们认为是一个全局最优化问题，为了解决此问题，需要引入决策变量

，

表示第j种DVD是否租给第i个会员。

所以，此问题的求解又是一个0-1分布的问题。

建立如下的0—1规划模型：

目标函数

总体满意度最高（租到的会员对DVD的偏爱系数和

最大）

约束条件:

（1）每个人至多租3张DVD;

（2）每种DVD租出去的量小于或等于存量；

为第j种DVD的存量

因此建立模型:

s.t

是一个1000*100的矩阵，这个最优化模型中变量的总数超过了10万个，最好的方法是用LINGO9.0来求解。

LINGO9.0提供了和Excel的接口命令@ole函数，可以方便的在Excel中读写数据；同时，LINGO9.0的二维集合变量可以直接表示分配矩阵[

]和满意度系数矩阵[

]。

用LINGO编写的程序附在后面。

在Excel里可以得到DVD的分配方案data2.xls，对得到的data2.xls进行数据处理，可以得到前30位会员获得的DVD。

会员

第一张

第二张

第三张

会员

第一张

第二张

第三张

C0001

C0016

C0002

C0017

C0003

C0018

C0004

C0019

C0005

C0020

C0006

C0021

C0007

C0022

C0008

C0023

C0009

C0024

C0010

C0025

C0011

C0026

C0012

C0027

C0013

C0028

100

C0014

C0029

C0015

C0030

6.3100种DVD对于1000个会员在线订单的分配

6.3.1模型的建立

问题3中，每种DVD的数量都是未知的，同时，和问题二中一样，表中的数字表示为会员满意度，越小，满意度越高，但是0代表并不满意。

问题3要求网站管理人员同时考虑如何购买DVD并且是顾客的满意度最大，明显这是一个多目标规划问题：

目标一：

在每种DVD价格一样的前提下，各种DVD的购买量之和最小。

目标二：

为使顾客的满意度最大，则体现在所有顾客的满意度之和最大。

数字约束条件为：

一个月内大于95%的顾客能看到想看的DVD，但是同时要求DVD数量最小，则约束应限制为有且仅有95%的顾客能看到想看的DVD，存在5%的顾客收不到任何DVD。

表示第i个客户是否借到想看的DVD，1表示借到，且借到3张DVD，0表示一张都没有借到。

表示第i个客户是否借到第j张DVD，1表示借到，0表示未借到。

表示第j种光盘要购买的个数。

模型如下：

目标函数：

；

约束条件：

对于这个多目标规划化问题，使用lingo编写程序可以很方便的解决，通过计算，我们得到了各种DVD的购买量和DVD的分配方法，下表中列出前20种DVD的购买量和前30个客户获得的DVD。

DVD

会员

第一张

第二张

第三张

会员

第一张

第二张

第三张

C0001

C0016

C0002

C0017

C0003

C0018

C0004

C0019

C0005

C0020

C0006

C0021

C0007

C0022

C0008

C0023

C0009

C0024

C0010

C0025

C0011

C0026

C0012

C0027

C0013

C0028

100

C0014

C0029

C0015

C0030

七．综合评价

在问题一中：

解题的模型中存在,为了简化问题的考虑只考虑了二次租赁会员的租赁周期，讲一次租赁会员的租赁周期假设为30天；其次，正态分布的面积模型存在误差,15个T对应的面积之和并不严格等于1，因此存在误差。

在问题二中：

有些顾客可能会收到并不期望收到的DVD，但是如果每次只发三张的话，有些顾客则会因为满意DVD数量小于三，则会产生无法收到任何DVD的情况，相比一下，在解题中使用的方法

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