活动记录12.docx
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活动记录12
晓澳中心小学乡村学校少年宫
趣味数学组活动记录
活动时间
12.3
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
辅导员
主题
归一问题与归总问题
（一）
活动内容
在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。
用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。
所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。
例1一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？
（损耗忽略不计）
分析：
以一根钢轨的重量为单一量。
（1）一根钢轨重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根钢轨？
95000÷475＝200（根）。
解：
95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：
可以制造200根钢轨。
例2王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
分析：
以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。
（1）1头奶牛1天产奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
18×8×15＝2160（千克）。
解：
（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：
可产牛奶2160千克。
例3三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：
以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
25600÷320÷8=10（时）。
综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
练习题
1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。
问：
48秒钟可以放映多少张片子？
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趣味数学组活动记录
活动时间
12.4
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
辅导员
主题
归一问题与归总问题
（二）
活动内容
例44辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。
现在有沙土420吨，要求5趟运完。
问：
需要增加同样的卡车多少辆？
分析与解：
以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？
336÷4÷7=12（吨）。
（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？
420÷12÷5＝7（辆）。
（3）需要增加多少辆卡车？
7-4＝3（辆）。
综合列式为
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。
与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。
所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
例5一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：
（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
120÷12＝10（时）。
解：
15×8÷12＝10（时）。
答：
12人需10时完成。
例6一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。
若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
分析：
从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。
（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4时到达，每小时需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：
（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：
每小时需要多行15千米。
例7修一条公路，原计划60人工作，80天完成。
现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：
（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。
（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？
4800-60×20=3600（劳动日）。
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：
（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：
再用40天可以完成。
练习题：
1．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
2．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。
由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。
问：
每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。
结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。
问：
鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。
供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。
问：
这些煤共可以供暖多少天？
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趣味数学组活动记录
活动时间
12.5
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
辅导员
主题
年龄问题
（一）
活动内容
年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点是：
二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。
根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。
例1儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？
分析与解：
儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是
30＋5=35（岁）。
例2今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？
分析与解：
今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。
当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是
（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。
由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。
例3兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。
问：
兄、弟二人今年各多少岁？
分析与解：
根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。
由此得到
弟今年6＋4＝10（岁），
兄今年10＋5＝15（岁）。
例4今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？
分析与解：
在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。
又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。
由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为
55÷（3+2）×3=33（岁）。
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趣味数学组活动记录
活动时间
12.6
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
辅导员
主题
年龄问题
（二）
活动内容
例5哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
分析与解：
由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。
由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。
由“和差问题”解得，
兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），
妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。
例61994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。
2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。
问：
父亲出生在哪一年？
分析与解：
如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。
父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。
由 1段＋12岁=2段＋3岁，
推知1段是9岁。
所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于
1994——36＝1958（年）。
例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。
问：
父子今年各多少岁？
解法一：
假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。
这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。
事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），
父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。
解法二：
如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。
20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。
由
1段＋20=2段＋10，
求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。
例8今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。
问：
几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
分析：
今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。
每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。
因而只需求出12里面有几个2即可。
解：
[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：
6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
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趣味数学组活动记录
活动时间
12.10
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
辅导员
主题
年龄问题练习题（三）
活动内容
练习：
1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？
2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。
问：
他们二人各几岁？
3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。
问：
父女两人现在各多少岁？
5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。
问：
三人各是多少岁？
6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。
问：
祖孙三人各多少岁？
8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：
“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。
”你能算出刘老师有多少岁吗？
晓澳中心小学乡村学校少年宫
趣味数学组活动记录
活动时间
12.11
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
辅导员
主题
鸡兔同笼问题与假设法
（一）
活动内容
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。
许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。
问：
小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：
假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。
如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。
因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：
有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）。
答：
有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。
我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。
因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），
有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。
因此这类问题也叫置换问题。
例2100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。
问：
大、小和尚各有多少人？
分析与解：
本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。
如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。
现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。
问：
两种文化用品各买了多少套？
分析与解：
我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。
这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品24÷8=3（套），
买彩色文化用品16－3＝13（套）。
例4鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。
问：
鸡、兔各多少只？
分析：
假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。
这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：
有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），
有鸡100——30=70（只）。
答：
有鸡70只，兔30只。
晓澳中心小学乡村学校少年宫
趣味数学组活动记录
活动时间
12.12
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
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主题
鸡兔同笼问题与假设法
（二）
活动内容
例5现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。
问：
大、小瓶各有多少个？
分析：
本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。
解：
小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），
大瓶有50-30＝20（个）。
答：
有大瓶20个，小瓶30个。
例6一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。
已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：
要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。
根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。
这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。
由此可求出这批钢材有多少吨。
解：
4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：
这批钢材有720吨。
例7乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。
问：
搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：
假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。
实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。
搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。
因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：
（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：
共打破3只花瓶。
例8小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。
已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：
利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。
练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。
问：
象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。
活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。
问：
买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。
问：
龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。
贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。
问：
贺年卡、明信片各买了几张？
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活动时间
12.13
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
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主题
盈亏问题与比较法
（一）
活动内容
人们在分东西的时候，经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈或亏所编成的应用题叫做盈亏问题。
例1小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。
问：
有多少个小朋友分多少粒糖？
分析：
由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。
比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。
相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。
每人相差1粒，多少人相差15粒呢？
由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为
4×15＋9＝69（粒）。
解：
（9＋6）÷（5-4）＝15（人），
4×15＋9＝69（粒）。
答：
有15个小朋友，分69粒糖。
例2小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。
问：
有多少个小朋友？
多少粒糖果？
分析：
本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。
例1中，两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。
仿照例1的解法即可。
解：
（6＋2）÷（4——2）＝4（人），
3×4＋2＝14（粒）。
答：
有4个小朋友，14粒糖果。
由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东西的总数量。
解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：
分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。
需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。
例3小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。
问：
有多少粒糖果？
分析与解：
第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16——10＝6（粒）。
由盈亏问题的公式得
有小朋友（0＋16×3）÷（16——10）＝8（人），
有糖10×8＝80（粒）。
下面的几道例题是购物中的盈亏问题。
例4一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。
问：
有多少个小朋友？
东西的价格是多少？
分析与解：
两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元），两次分配数之差是10——7＝3（元）。
由公式得到
小朋友的人数（8＋4）÷（10——7）＝4（人），
东西的价格是10×4——8＝32（元）。
晓澳中心小学乡村学校少年宫
趣味数学组活动记录
活动时间
12.17
参加人数
24
活动地点
三年一班教室
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主题
盈亏问题与比较法
（二）
活动内容
例5顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元。
这本书的单价是多少？
顾老师共带了多少元钱？
分析与解：
买5本多3元，买7本少1.8元。
盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7——5＝2（本）书，因此每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱
2.4×5＋3＝15（元）。
例6王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。
问：
儿童小提琴多少钱一把？
王老师带了多少钱？
分析：
本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元。
从买7把变成买5把，少买了7——5=2（把）提琴，而钱的差额减少了110——30＝80（元），即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。
解：
（110——30）÷（7——5）＝40（元），
40×7——110＝170（元）。
答：
小提琴40元一把，王老师带了170元钱。
练习
1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。
问：
有多少个小朋友？
多少粒糖？
2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。
问：
这个汽车队有多少辆汽车？
要运的货物有多少千克？
3．学校买来一批图书。
若每人
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