九年级数学上册 122 配方法湘教版.docx

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九年级数学上册122配方法湘教版

1.2.2配方法

（1）

教学目标

1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

重点难点

重点：

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

难点：

用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。

教学过程

（一）复习引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用两种方法解方程（x+3）2-5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢?

（二）创设情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：

反过来把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。

2、怎样把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式呢？

让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：

当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。

（四）讲解例题

例1（课本P.11，例5）

[解]

（1）x2+2x-3（观察二次项系数是否为“l”）

这个数，使它与原式相等）

=（x+1）2-4。

（使含未知数的项在一个完全平方式里）

用同样的方法讲解

（2），让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。

例2引导学生完成P．11~P．12例6的填空。

（五）应用新知

1、课本P.12，练习。

2、学生相互交流解题经验。

（六）课堂小结

1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？

（七）思考与拓展

解方程：

（1）x2-6x+10=0；

（2）x2+x+=0；（3）x2-x-1=0。

说一说一元二次方程解的情况。

[解]

（1）将方程的左边配方，得（x-3）2+1=0，移项，得（x-3）2=-1，所以原方程无解。

（2）用配方法可解得x1=x2=-。

（3）用配方法可解得x1=，x2=

一元二次方程解的情况有三种：

无实数解，如方程

（1）；有两个相等的实数解，如方程

（2）；有两个不相等的实数解，如方程（3）。

课后作业课本习题

教学后记：

1.2.2配方法

（2）

教学目标

1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3、进一步体会化归的思想方法。

重点难点

重点：

会用配方法解一元二次方程．

难点：

使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。

教学过程

（一）复习引入

1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做”．

2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?

（二）创设情境

现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?

怎样解这类方程：

2x2-4x-6=0

（三）探究新知

让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：

对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。

让学生进一步体会化归的思想。

（四）讲解例题

1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。

2、引导学生完成课本P．14例9的填空。

3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：

首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。

（五）应用新知

课本P．15，练习。

（六）课堂小结

1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?

2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。

3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。

4、按图1—l的框图小结前面所学解

一元二次方程的算法。

（七）思考与拓展

不解方程，只通过配方判定下列方程解的

情况。

（1）4x2+4x+1=0；

（2）x2-2x-5=0；

（3）–x2+2x-5=0；

[解]把各方程分别配方得

（1）（x+）2=0；

（2）（x-1）2=6；

（3）（x-1）2=-4

由此可得方程

（1）有两个相等的实数根，方程

（2）有两个不相等的实数根，方程（3）没有实数根。

点评：

通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。

布置作业

1.2.2配方法（3）

教学内容

间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

教学目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重难点关键

1．重点：

用配方法解一元二次方程的步骤．

2．难点与关键：

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

学习过程

一、复习反思

直接写出下列方程的根：

（1）3x2-1=5

（2）4（x-1）2-9=0（3）4x2+16x+16=9

二、自主学习，解读目标

针对目标自学教材31—34页内容，自学后要求能讲清问题2方程的建立过程，会用例1解决问题的方法解一元二次方程，并通过演练34页练习题检查自己是否达到自学要求，然后在小组交流。

三、总结反思，巩固提高

总结自己学习新知情况，解决疑难问题后，强化训练，巩固提高：

巩固训练：

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．

A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1

C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

3.方程x2+4x-5=0的解是________

4.解下列关于x的方程

（1）x2+2x-35=0

（2）2x2-4x-1=0

5.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？

应用拓展

6.代数式的值为0，则x的值为________．

7．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．

8.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

9．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．

1.2.2配方法（4）

教学任务分析

教

学

目

标

1、会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程。

2、能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。

教学过程

问题与情景

师生活动

设计意图

一、知识回顾：

1、求出或表示出下列各数的平方根。

（1）25

（2）0.04（3）0（4）7（5）（6）121

2、求出下列各式中的x.

（1）x2=49

（2）9x2=16（3）x2=6（4）x2=－9

第一题为口答题，复习平方根，旨在引出第二题，培养学生探究的兴趣。

对与第2题要结合平方根的意义，看能否求取x.的值

二、自主学习：

自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：

1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？

2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？

有几个根？

它们都符合问题的实际意义吗？

为什么？

3、请你总结一下问题1解方程的过程。

4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？

结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。

5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？

6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为；

进行降次（开平方）得；方程的两根x1=x2=。

7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？

老师点评：

1、同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。

2、在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。

3、形如x2=a（a≥0）得x=即直接开平方法。

4、师生共同交流教材归纳中x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）为什么p≥0。

由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．

学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

三、例题学习：

例：

解下列方程

（1）（1+x）2-2=0

（2）（2x+3）2+3=0

（3）4x2-4x+1=0（4）9（x-1）2-4=0

教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。

在直接开平方时注意符号，这是易错之处。

牢牢把握通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．

四、课堂练习：

1、（教材Ｐ31练习）解下列方程：

（1）2x2-8=0

（2）9x2-5=3

（3）（x+6）2-9=0（4）3（x-1）2-6=0（5）x2-4x+4=5（6）9x2+6x+1=4

（让学生分组板演，教师点评）

通过练习加深学生对直接开平方法解一元二次方程的方法。

五、布置作业

1、教材P42习题22.2第1题

六、总结反思：

（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。

1、用直接开平方解一元二次方程。

2、理解“降次”思想。

3、理解x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）为什么p≥0。

4、对照目标，自查完成情况。

1.2.2配方法（5）

教学任务分析

教

学

目

标

1、能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。

2、会用配方法解数字系数的一元二次方程。

教学过程

问题与情景

师生活动

设计意图

一、温故知新：

1、填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。

（1）x2+6x+=（x+3）2

（2）x2+8x+=（x+）2

（3）x2-12x+=（x-）2（4）x2-+=（x-）2

（5）a2+2ab+=（a+）2（6）a2-2ab+=（a-）2

2、用直接开平方法解方程：

x2+6x+9=2

第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。

二、自主学习：

自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：

1、仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？

2、怎样解方程x2+6x-16=0？

看教材框图，能理解框图中的每一步吗？

（同学之间可以交流、师生间也可交流。

）

3、讨论：

在框图中第二步为什么方程两边加9？

加其它数行吗？

4、什么叫配方法？

配方法的目的是什么？

5、配方的关键是什么？

交流与点拨：

重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。

利用ａ2±2ab+b2=（a±b）2。

注意9=（）2，而6是方程一次项系数。

所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。

学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想

三、例题学习：

例（教材P33例1）解下列方程：

（1）x2-8x+1=0

（2）2x2+1=-3x

（3）3x2-6x+4=0

教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。

交流与点拨：

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）

（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。

（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。

（4）原方程变为（x+k）2=a的形式。

（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。

牢牢把握通过配方将原方程变为（x+k）2=a的形式方法。

四、课堂练习：

1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）

2、教材Ｐ34练习2

对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评。

通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。

五、布置作业

1、教材P42习题22.2第3题

六、总结反思：

（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。

1、理解配方法解方程的含义。

2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，

3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。

4、配方法解一元二次方程的解题思想：

“降次”由二次降为一次。

1.2.2配方法（6）

一、教学目标：

（一）使学生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，）可以转化为适合于直接开平方法的形式（x+m）2=n;

（二）记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”；

（三）在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。

二、教学重点和难点

　　重点：

掌握用配方法配一元二次方程。

　　难点：

凑配成完全平方的方法与技巧。

三、教学指导：

1.从逆向思维启发学生，关键在于把方程左边构造出一个完全平方式.

   2.通过练习加深学生对“添一次项系数一半的平方”这句话的认识和理解.

四、教学过程：

（一）复习

　　1.一元二次方程的一般形式是什么样的?

（注意a≠0）

　　2.对于一元二次方程ax2=0（a≠0）和ax2+c=0（a≠0）,我们已经学会了它们的解法。

　　例如解方程：

（x-3）2=4 （让学生说出过程）。

　　解：

方程两边开方，得 x-3=±2，移项，得 x=3±2。

　　所以 x1=5,x2=1.     （并代回原方程检验，是不是根）

　　3.其实（x-3）2=4展开、整理为一元二次方程。

（把这个展开过程写在黑板上）

　　　　　（x-3）2=4,　   　①

　x2-6x+9=4,  　　②

　　　　　x2-6x+5=0.　　  ③

（二）新课

　　1.逆向思维

　　我们把上述由方程①→方程②→方程③的变形逆转过来，可以发现，对于一个的一元二次方程，不妨试试把它转化为（x+m）2=n的形式。

这个转化的关键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式（x+m）2。

  2.通过观察，发现规律

　问：

在x2+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方（x+?

）2。

  （添一项+1）

 即  （x2+2x+1）=（x+1）2.

3.练习：

填空：

x2+4x+（）=（x+ ）2;    y2+6y+（ ）=（y+ ）2.

算得 x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。

总结规律：

对于x2+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知数的一个次式的完全平方式。

即.④

（让学生对④式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项）

  　总结：

左边的常数项是一次项系数一半的平方。

    问：

如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么取?

算理是什么?

4.巩固练习（填空配方）

    x2-bx+（ ）=（x- ）2;           x2-（m+n）x+（ ）=（x- ）2.

 5.用配方法解一元二次方程（先将左边化为（x±）2形式）

 　 例1解方程：

x2-8x-9=0.      

    解：

移项，得  x2-8x=9,

    两边都加一次项系数一半的平方，

                    x2-8x+42=q+42,

    配方，得             （x-4）2=25,

    解这个方程，得       x-4=±5，

    移项，得             x=4±5.

    即     x1=9,x2=-1.     

    例2   解方程：

x2-8x-8=0.

    解：

原方程移项，像x2-8x=8，方程左边配方添一次项系数一半的平方，方程右边也添一次项系数一半的平方

                       x2-8x+（x-4）2=8+（-4）2,

                           （x-4）2=24,

                           x-4=±26，

    所以x1=4+26,x2=4-26.

    例3   解方程：

x2-8x+18=0.

        解：

移项，得 x2-8x=-18.   

    方程两边都加（-4）2,得

             x2-8x+（-4）2=-18+（-4）2,

              （x-4）2=-2.

   因为平方不能是负数，x-4不存在，所以x不存在，即原方程无解.

 　　例4  解方程x2+2mx+2=0，并指出m2取什么值时，这个方程有解.

     分析：

由例3可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的值是负数，此方程无解.

    解：

移项，得x2+2mx=-2.

    配方，两边加m2,得

                     x2+2mx+m2=m2-2,

                     （x+m）2=m2-2,

     当m2-2≥0，即m2≥2时，

     所以m2≥2，原方程有解.

    例5  解方程：

3x2+2x-3=0.

     提问：

二次项系数不是1，怎么办?

   五、课堂练习

      1.用配方法解方程：

x2-4x-3=0.

 2.用配方法解法程：

2x2+5x-1=0.

   六、小结

      1.填空：

x2+px+（ ）=（x+ ）2.

      2.用语言说出对于x2+px添上什么，才能成为一个完全平方?

      3.用配方法解一元二次方程的步骤是：

（1）化二次项系数为1；

（2）移项，使方程左边只有二次项及一次项；

      （3）在方程两边都加上一次项系数一半的平方；

      （4）变形为（x+m2）n的形式，如果n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m-.

   七、达标检测

     用配方法解方程：

（1）x2-10x+24=0;      

（2）x2+2x-99=0;

      （3）y2+5y+2=0;     （4）3x2-1=4x;    （5）ax2+x-2=0 （a＞0）；   

1.2.2配方法（7）

教学目标

1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。

2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

重点难点

重点：

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

难点：

用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。

教学过程

（一）复习引入

1、a2±2ab+b2=?

2、用两种方法解方程（x+3）2-5=0。

如何解方程x2+6x+4=0呢?

（二）创设情境

如何解方程x2+6x+4=0呢？

（三）探究新知

1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：

反过来把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。

2、怎样把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式呢？

让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：

当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。

（四）讲解例题

例1（课本P.11，例5）

[解]

（1）x2+2x-3（观察二次项系数是否为“l”）

这个数，使它与原式相等）

=（x+1）2-4。

（使含未知数的项在一个完全平方式里）

用同样的方法讲解

（2），让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。

例2引导学生完成P．11~P．12例6的填空。

（五）应用新知

1、课本P.12，练习。

2、学生相互交流解题经验。

（六）课堂小结

1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？

2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？

（七）思考与拓展

解方程：

（1）x2-6x+10=0；

（2）x2+x+=0；（3）x2-x-1=0。

说一说一元二次方程解的情况。

[解]

（1）将方程的左边配方，得（x-3）2+1=0，移项，得（x-3）2=-1，所以原方程无解。

（2）用配方法可解得x1=x2=-。

（3）用配方法可解得x1=，x2=

一元二次方程解的情况有三种：

无实数解，如方程

（1）；有两个相等的实数解，如方程

（2）；有两个不相等的实数解，如方程（3）。

课后作业

1.2.2配方法（8）

教学目标

1能熟练地运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2在学习运用配方法解二元一次方程的过程中使学生理解配方是一种常用的数学方法，增加对一元二次方程的感性认识。

3在通过探索用配方法将一元二次方程变形的过程中使学生积极参与学习活动，增进对方程的认识，进一步体会化归思想。

重点、难点

重点：

会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

难点：

把一元二次方程配方为的形式。

教学过程

一创设情境，导入新课

1解方程：

2

把上面方