第2章252离散型随机变量的方差与标准差.docx

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第2章252离散型随机变量的方差与标准差

2.5.2　离散型随机变量的方差与标准差

1．了解并掌握随机变量的方差和标准差的概念，了解方差、标准差的意义．（重点）

2．掌握服从两点分布和二项分布的方差公式，会运用方差的概念及相关公式求随机变量的方差和标准差．（难点）

[基础·初探]

教材整理　离散型随机变量的方差与标准差

阅读教材P71～P72“例2”以上部分，完成下列问题．

1．离散型随机变量的方差和标准差

若离散型随机变量X的概率分布如下表所示，

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

则（xi－μ）2（μ＝E（X））描述了xi（i＝1,2，…，n）相对于均值μ的偏离程度，故（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）2pn（其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1）刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为V（X）或σ2.即V（X）＝σ2＝（x1－μ）2p1＋（x2－μ）2p2＋…＋（xn－μ）2pn，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.方差也可用公式V（X）＝pi－μ2计算．X的方差V（X）的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.

2．超几何分布和二项分布的方差

（1）若X～01分布，则V（X）＝p（1－p）；

（2）当X～H（n，M，N）时，V（X）＝

（3）当X～B（n，p）时，V（X）＝np（1－p）．

1．下列说法正确的有________（填序号）．

①离散型随机变量ξ的期望E（ξ）反映了ξ取值的概率的平均值；

②离散型随机变量ξ的方差V（ξ）反映了ξ取值的平均水平；

③离散型随机变量ξ的期望E（ξ）反映了ξ取值的波动水平；

④离散型随机变量ξ的方差V（ξ）反映了ξ取值的波动水平．

【解析】　①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E（ξ）反映了ξ取值的平均水平．

②错误．因为离散型随机变量ξ的方差V（ξ）反映了随机变量偏离于期望的平均程度．

③错误．因为离散型随机变量的方差V（ξ）反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E（ξ）反映了ξ取值的平均水平．

④正确．由方差的意义可知正确．

【答案】　④

2．已知随机变量ξ，V（ξ）＝，则ξ的标准差为________．

【解析】　ξ的标准差＝＝.

【答案】　

3．若随机变量X服从两点分布，且成功概率P＝0.5，则V（X）＝________，E（X）＝________.

【解析】　E（X）＝0.5，V（X）＝0.5（1－0.5）＝0.25.

【答案】　0.25　0.5

4．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则V（X）的值为________.【导学号：

29440057】

【解析】　由题意知X～B，所以V（X）＝4××＝.

【答案】　

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

方差和标准差的计算

（1）已知随机变量X满足V（X）＝2，则V（3X＋2）＝________.

（2）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则V（ξ）等于________．

（3）已知η的分布列为：

η

0

10

20

50

60

P

①求η的方差及标准差；

②设Y＝2η－E（η），求V（Y）．

【精彩点拨】　

（1）应用方差的性质V（aξ＋b）＝a2V（ξ）求解．

（2）应用二项分布的方差求解．

（3）借助方差的定义和性质求解．

【自主解答】　

（1）V（3X＋2）＝9V（X）＝18.

（2）ξ服从二项分布，ξ～B（10,0.02），

∴V（ξ）＝10×0.02×（1－0.02）＝0.196.

【答案】　

（1）18　

（2）0.196

（3）①∵E（η）＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，

所以V（η）＝（0－16）2×＋（10－16）2×＋（20－16）2×＋（50－16）2×＋（60－16）2×＝384，

∴＝8.

②法一：

随机变量Y的概率分布为：

Y

－16

4

24

84

104

P

∴E（Y）＝－16×＋4×＋24×＋84×＋104×＝16，

V（Y）＝（－16－16）2×＋（4－16）2×＋（24－16）2×＋（84－16）2×＋（104－16）2×＝1536.

法二：

∵Y＝2η－E（η），

V（Y）＝V（2η－E（η））＝22V（η）＝4×384＝1536.

求离散型随机变量的方差的类型及方法：

1已知分布列型非两点分布或二项分布：

直接利用定义求解，具体如下：

①求均值；②求方差.

2已知分布列是两点分布或二项分布型：

直接套用公式求解，具体如下：

①若X服从两点分布，则VX＝p1－p；

②若X～Bn，p，则VX＝np1－p.

3未知分布列型：

求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成1中的情况.

4对于已知VX求VaX＋b型，利用方差的性质求解，即利用VaX＋b＝a2VX求解.

[再练一题]

1．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E（X）＝3，V（X）＝，求n，p的值．

【解】　由题意知，X服从二项分布B（n，p），

由E（X）＝np＝3，V（X）＝np（1－p）＝，

得1－p＝，

∴p＝，n＝6.

方差的应用

　甲、乙两射手在同一条件下进行射击，射手甲击中环数8,9,10的概率分别为0.2,0.6,0.2；射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.4.用击中环数的数学期望与方差比较两名射手的射击水平．

【精彩点拨】　分别计算甲、乙两射手的期望与方差，比较其大小，并依据期望与方差的意义作出结论．

【自主解答】　设甲、乙两射手射击，击中环数分别为ξ1，ξ2，E（ξ1）＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9.

V（ξ1）＝（8－9）2×0.2＋（9－9）2×0.6＋（10－9）2×0.2＝0.4；

同理有E（ξ2）＝9，V（ξ2）＝0.8.

由上可知，E（ξ1）＝E（ξ2），V（ξ1）＜V（ξ2）．

所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲的环数较集中，而乙的环数较分散．

1.均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓．

2.有时两个随机变量即使均值相同，其取值差异也可能很大，此时，我们就要利用方差来反映随机变量取值的集中程度．由此来刻画两个随机变量的分布，对实际问题作出决策判断．

[再练一题]

2．在例2题设条件不变的条件下，

（1）其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

（2）如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？

【解】　

（1）如果其他对手射击成绩都在8环左右，且甲射击水平更稳定，故应派甲．

（2）如果其他对手射击成绩都在9环左右，由于乙射击10环的可能性较甲大，故应派乙．

[探究共研型]

均值、方差的综合应用

探究1　A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：

A机床

次品数X1

0

1

2

3

P

0.7

0.2

0.06

0.04

B机床

次品数X2

0

1

2

3

P

0.8

0.06

0.04

0.10

试求E（X1），E（X2）．

【提示】　E（X1）＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.

E（X2）＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.

探究2　在探究1中，由E（X1）和E（X2）的值能比较两台机床的产品质量吗？

为什么？

【提示】　不能．因为E（X1）＝E（X2）．

探究3　在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？

【提示】　利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．

　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.

（1）求ξ，η的分布列；

（2）求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．

【精彩点拨】　

（1）由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．

（2）要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．

【自主解答】　

（1）由题意得：

0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.

因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2.

所以ξ，η的分布列分别为

ξ

10

9

8

7

P

0.5

0.3

0.1

0.1

η

10

9

8

7

P

0.3

0.3

0.2

0.2

（2）由

（1）得：

E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；

E（η）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；

V（ξ）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋（7－9.2）2×0.1＝0.96；

V（η）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋（7－8.7）2×0.2＝1.21.

由于E（ξ）>E（η），V（ξ）

利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤

1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．

2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．

3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．

[再练一题]

3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

甲保护区：

X

0

1

2

3

P

0.3

0.3

0.2

0.2

乙保护区：

Y

0

1

2

P

0.1

0.5

0.4

试评定这两个保护区的管理水平．

【解】　甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：

E（X）＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；V（X）＝（0－1.3）2×0.3＋（1－1.3）2×0.3＋（2－1.3）2×0.2＋（3－1.3）2×0.2＝1.21.

乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：

E（Y）＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；

V（Y）＝（0－1.3）2×0.1＋（1－1.3）2×0.5＋（2－1.3）2×0.4＝0.41.

因为E（X）＝E（Y），V（X）>V（Y），所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．

[构建·体系]

1．已知随机变量ξ的分布列如下表：

ξ

－1

0

1

P

则ξ的均值为________，方差为________．

【解析】　均值E（ξ）＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝（－1）×＋0×＋1×＝－；

方差V（ξ）＝（x1－E（ξ））2·p1＋（x2－E（ξ））2·p2＋（x3－E（ξ））2·p3＝.

【答案】　－　

2．如果X是离散型随机变量，E（X）＝6，V（X）＝0.5，X1＝2X－5，那么E（X1）和V（X1）分别是________，________.【导学号：

29440058】

【解析】　因为E（X1）＝E（2X－5）＝2E（X）－5＝2×6－5＝7，V（X1）＝V（2X－5）＝4V（X）＝4×0.5＝2.

【答案】　7　2

3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E（X1）＝E（X2），V（X1）>V（X2），则自动包装机________的质量较好．

【解析】　因为E（X1）＝E（X2），V（X1）>V（X2），故乙包装机的质量稳定．

【答案】　乙

4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：

X

－1

0

1

2

P

a

b

c

若E（X）＝0，V（X）＝1，则a＝________，b＝________.

【解析】　由题意，

解得a＝，b＝c＝.

【答案】　　

5．已知某运动员投篮命中率p＝0.6，

（1）求一次投篮命中次数ξ的均值与方差；

（2）求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．

【解】　

（1）投篮一次命中次数ξ的分布列为

ξ

0

1

P

0.4

0.6

则E（ξ）＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，

V（ξ）＝（0－0.6）2×0.4＋（1－0.6）2×0.6＝0.24.

（2）由题意知，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B（5,0.6）．

由二项分布期望与方差的计算公式，有

E（η）＝5×0.6＝3，V（η）＝5×0.6×0.4＝1.2.

我还有这些不足：

（1）　

（2）　

我的课下提升方案：

（1）　

（2）