919第一章特殊平行四边形学案 2.docx

919第一章特殊平行四边形学案 2.docx

《919第一章特殊平行四边形学案 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《919第一章特殊平行四边形学案 2.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

919第一章特殊平行四边形学案2

第一章　特殊平行四边形

1．1　菱形的性质与判定

第1课时　菱形的性质

知识点梳理：

1．有一组___相等的平行四边形是菱形．

2．菱形是____对称图形，菱形的四边____，菱形的对角线___．

知识点解析：

知识点一：

菱形的定义

1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是（　　）

A．AB＝CD　　　　　　B．AB＝BC

C．AD＝BCD．AC＝BD

2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形．（请在横线上填上理由）

知识点二：

菱形的性质

3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　）

A．20　　　　B．16　　　　C．12　　　　D．10

4．（易错题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）

A．AB∥DCB．AC＝BD

C．AC⊥BDD．OA＝OC

第4题图）　　

第5题图）

5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（　　）

A．四边形ABCD是平行四边形

B．AC⊥BD

C．△ABC是等边三角形

D．∠CAB＝∠CAD

6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是（　　）

A．10B．12C．15D．20

7．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是（　　）

A．3B．4C．8D．8

8．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）

A．3.5B．4C．7D．14

9．（2014·烟台）如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）

A．28°B．52°C．62°D．72°

10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．

巩固练习：

11．如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）

A．△ABD与△ABC的周长相等

B．△ABD与△ABC的面积相等

C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍

D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

第11题图）　　

第12题图）

12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝____．

13．如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝____°.

第13题图）　　

第14题图）

14．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为____．

15．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是cm.

16．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：

AE＝CF.

17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．

18．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.

（1）求证：

AE＝EC；

（2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？

说明理由．

第2课时　菱形的判定

知识点梳理：

对角线____的平行四边形是菱形；____的四边形是菱形．

知识点解析：

知识点：

菱形的判定

1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是（　　）

A．小明、小亮都正确　　　B．小明正确，小亮错误

C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误

2．下列命题中正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

3．如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是（　　）

①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.

A．①③　　B．②③　　C．③④　　D．①③④

第3题图）　　　

第4题图）

4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是（　　）

A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对

5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的四边形是菱形

B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

第5题图）　　

第6题图）

6．（易错题）如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有（　　）

①AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD互相垂直平分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.

A．1个B．2个C．3个D．4个

7．已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形，你添加的条件是___．

8．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）

9．已知：

如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.

（1）求证：

△DOE≌△BOF；

（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？

请说明理由．

巩固练习：

10．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　）

A．长方形　　　　　　

B．对角线相等的梯形

C．对角线相等的四边形

D．对角线互相垂直的四边形

11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：

甲：

连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：

分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．

根据两人的作法可判断（　　）

A．甲正确，乙错误　　B．乙正确，甲错误

C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误

12．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：

①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.

从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____．（只填写序号）

13．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以点A，C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧交点P，Q两点；

②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；

③过点C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.

（1）求证：

△AED≌△CFD；

（2）求证：

四边形AECF是菱形．

14．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB交BC于点F.

（1）求证：

四边形DBFE是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？

为什么？

1.2　矩形的性质与判定

第1课时　矩形的性质

知识点梳理：

1．有一个角是的平行四边形叫做矩形．

2．矩形的四个角都是____；矩形的对角线___．

3．直角三角形斜边上的中线____．

知识点解析：

知识点一：

矩形的性质

1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　）

A．对边相等　　　　　　B．对角相等

C．对角线相等D．对边平行

2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）

A．两组对边分别平行B．对角线相等

C．对角线互相平分D．两组对角分别相等

3．如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是（　　）

A．30°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120°

第3题图）　　　

第4题图）

4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝

，则图中长度为1的线段共有（　　）

A．3条B．4条C．5条D．6条

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（　　）

A．6B．12C．2

D．4

第5题图）　　　

第6题图）

6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是____．

7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.求证：

四边形DOCE是菱形．

8．（易错题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若EF＝4cm，则CD＝____cm.

9．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有____米．

10．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是____．

11.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝

12，则四边形ABOM的周长为____．

巩固练习：

12．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是（　　）

A．18°　　　B．36°　　　C．45°　　　D．72°

第12题图）　　　

第13题图）

13．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（　　）

A．4B．3

C．4.5D．5

14．顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是____．

15．如图所示，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中：

①GE＝GD；②GF⊥DE；③GF平分∠DGE；④∠DGE＝60°.其中正确的是____．（填写序号）

16．如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.

（1）求证：

△EDF≌△CBF；

（2）求∠EBC的度数．

17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠2，OB＝6cm.

（1）求∠BOC的度数；

（2）求△DOC的周长．

18．准备一张矩形纸片，按如图操作：

将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

（1）求证：

四边形BFDE是平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

　第2课时　矩形的判定

知识点梳理：

对角线___的平行四边形是矩形；有____个角是直角的四边形是矩形．

知识点解析：

知识点一：

对角线相等的平行四边形是矩形

1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AO＝CO，BO＝DO

B．AO＝BO＝CO＝DO

C．AC＝BD，AO＝CO

D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD

2．下列关于矩形的说法中正确的是（　　）

A．对角线相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．矩形的对角线互相垂直平分

D．矩形的对角线相等且互相平分

3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使▱ABCD为矩形，则OB的长应该为（　　）

A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1

第3题图）　　　

第4题图）

4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是．（添加一个条件即可）

5．（易错题）如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为___度时，四边形ABFE为矩形．

6．（原创题）已知，如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若▱ABCD的面积是16

，求对角线AC的长．

知识点二：

有三个角是直角的四边形是矩形

7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）

A．测量对角线是否互相平分

B．测量两组对边是否分别相等

C．测量其中三个角是否都为直角

D．测量对角线是否相等

8．如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为____.

9．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____时，四边形PEMF为矩形．

巩固练习：

10．已知▱ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：

①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD.使▱ABCD是矩形的条件的序号是____.

11．如图，点E，F分别△ABC的边BC，CA的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DC，AE.

（1）求证：

四边形ABED是平行四边形；

（2）若AB＝AC，求证：

四边形AECD是矩形．

12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．

（1）求证：

△BOE≌△DOF；

（2）若OA＝

BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？

请说明理由．

13．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE，求证：

四边形BCDE是矩形．

14．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.

（1）求证：

OE＝OF；

（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？

并说明理由．

第3课时　矩形的性质与判定的综合运用

知识点梳理：

1．矩形的性质：

（1）矩形具有____的一切性质；

（2）矩形的四个角都是____；（3）矩形的对角线____．

2．矩形的判定：

（1）有一个角是____的平行四边形是矩形；

（2）有三个角是____的____是矩形；（3）对角线____的____是矩形．

知识点解析：

知识点：

矩形的性质与判定的综合运用

1．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是（　　）

A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2

C．S1

第1题图）　　　

2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10cm，则EH等于（　　）

A．8cm　　B．10cm　　C．16cm　　D．24cm

3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则对角线BD的长等于（　　）

A.

B．2

C．2

D.

4．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）

A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD

B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°

C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC

D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°

5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．

第5题图）　　　

第6题图）

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为____．

7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，则这个四边形是____．

8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤⇒四边形ABCD是矩形，请再写出符合要求的两个：

．

9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.

（1）求证：

BD＝BE；

（2）若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积．

巩固练习：

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为（　　）

A．3　　　　B．3.5C．2.5D．2.8

11．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE∶ED＝1∶3，AE＝

，则BD＝____．

12．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：

BE⊥AC.

13．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为矩形ABCD外一点，若AE⊥CE，求证：

BE⊥DE.

14．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点．

（1）求证：

四边形EFGH是矩形；

（2）若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．

15．如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.

（1）求证：

CD＝AN；

（2）若∠AMD＝2∠MCD，求证：

四边形ADCN是矩形．

16．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

（1）求证：

CM＝CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求

的值．

1.3　正方形的性质与判定

第1课时　正方形的性质

知识点梳理：

1．有一组邻边____，并且有一个角是____的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的四个角都是____，四条边____，对角线____且____．

知识点解析：

知识点一：

正方形的定义

1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．平行四边形　　　　　　B．矩形

C．菱形D．正方形

2．如图，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，那么四边形DECF是___．

知识点二：

正方形的性质

3．正方形的对称轴的条数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相平分B．对角线相等

C．对角线互相垂直D．对角线平分一组对角

5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）

A．45°B．55°C．60°D．75°

第5题图）　　

第6题图）

6．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　　）

A.

B．2

C．2D．1

7．已知正方形ABCD的对角线AC＝

，则正方形ABCD的周长是____．

8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则图中共有____个等腰直角三角形．

第8题图）　　　

第9题图）

9．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是____．

10．（易错题）如图，已知正方形纸片ABCD，点M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ＝____．

11．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.

（1）求证：

BF＝DF；

（2）连接CF，请直接写出BE∶CF＝___．

12．如图，正方形ABCD的对角线BD长为2

，若直线l满足：

①点D到直线l的距离为

；

②A，C两点到直线l的距离相等．

则符合题意的直线l的条数为（　　）

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

第12题图）　　　　

第13题图）

13．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为____cm2.

14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____．

15．在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.

求证：

（1）BH＝DE；

（2）BH⊥DE.

16．已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.

（1）四边形ADCE为___；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

17．将正方形（图①）作如下操作：

第1次：

分别连接各边中点（如图②），得到5个正方形；第2次：

将图②左上角正方形按上述方法再分割（如图③），得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（　　）

A．502B．503C．504D．505

18．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长度相等，问在点E，F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否发生变化？

请说明理由；

（2）△ECF的周长是否发生变化？

请说明理由．

第2课时　正方形的判定

知识点梳理：

1．对角线____的菱形是正方形．

2．对角线____的矩形是正方形．

3．有一个角是____的菱形是正方形．

知识点解析：

知识点：

正方形的判定

1．下列说法不正确的是（　　）

A．对角线互相垂直的矩形是正方形

B．对角线相等的菱形是正方形

C．有一个角是直角的平行四边形是正方形

D．一组邻边相等的矩形是正方形

2．对角线相等且互相垂直平分的四边形是（　　）

A．平行四边形　B．矩形　C．菱形　D．正方形

3．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）

A．AC＝BD，AB∥CD，