初中抛物线经典练习题含详细答案.docx

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初中抛物线经典练习题含详细答案

【编著】黄勇权

【第一组题型】

1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0,-8）

（1）求此二次函数的解析式，

（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）． 

（1）求抛物线的表达式及对称轴

（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标

（2）求该抛物线的表达式

（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标

4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，

（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式

（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式

【答案】

1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0,-8）

（1）求此二次函数的解析式，

（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。

解：

【第一问】

因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0,-8）

分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①

将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②

将②代入①，解得：

b=2--------------------------------------③

此时，将②③代入y=x²+bx+c，

所以：

二次函数的解析式y=x²+2x-8

【第二问】

△ABP的面积=

│AB│*│yp│----------------------④

因为A、B两点在x轴上，令x²+2x-8=0

（x-2）（x+4）=0

解得：

x1=2，x2=-4

所以：

│AB│=│X1-X2│=│2-（-4）│=6------⑤

又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥

由④⑤⑥，得：

*6*│yp│=15

│yp│=5

故有：

yp=±5

即：

p点的纵坐标为5或-5.

把y=5代入y=x²+2x-8，即：

5=x²+2x-8

x²+2x-13=0

解得：

x=-1±

那么，此时p点坐标（-1+

，5），（-1-

，5）-------⑦

把y=-5代入y=x²+2x-8，即：

-5=x²+2x-8

x²+2x-3=0

（x-1）（x+3）=0

解得：

x=1或x=-3

那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧

由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：

（-1+

，5），（-1-

，5），（1，-5），（-3，-5）

2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）． 

（1）求抛物线的表达式及对称轴

（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。

解：

【第一问】

因为抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）． 

将x=5，y=0代入y=2x²+mx+n，得：

0=50+5m+n-------------------①

将x=2，y=-6代入y=2x²+mx+n，得：

-6=8+2m+n--------------------②

此时，由①、②，得：

m=-12，n=10

所以，抛物线的表达式：

y=2x²-12x+10

再将抛物线表达式进行变形：

y=2x²-12x+10

y=2（x²-6x+9）-8

y=2（x-3）²-8

所以，抛物线的对称轴是x=3

【第二问】

因为B点坐标为（2，-6），

C是B关于原点的对称点，所以，C点的坐标（-2，6）

设过A、C两点的直线方程为：

y=kx+b

因为过A（5，0），C（-2，6），

将x=5，y=0代入y=kx+b，得：

0=5k+b---------③

将x=-2，y=6代入y=kx+b，得：

6=-2k+b-------④

由③④解得：

k=-

，b=

所以，过A、C两点的直线表达式为：

y=-

x+

3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。

（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标

（2）求该抛物线的表达式

（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标

解：

【第一问】

因为抛物线的顶点C为（2，4），

所以，对称轴是：

x=2

又因为抛物线在x轴上截得的长度为6，

那么，对称轴x=2将6平分，

也就是说，A、B两点关于x=2对称，且他们到x=2的距离是3

所以，A的横坐标：

2-3=-1

B的横坐标：

2+3=5

故，抛物线与x轴交点A、B的坐标是（-1,0），（5,0）

【第二问】

因为抛物线的顶点C为（2，4），

那么，抛物线的表达式直接可设为：

y=a（x-2）²+4【特别提示，这个非常重要，大大简化了计算】

再将A（-1,0）代入y=a（x-2）²+4，得，0=a（-1-2）²+4

解得：

a=-

所以，抛物线的表达式为，y=-

（x-2）²+4

【第二问】

令x=0，代入y=-

（x-2）²+4，得y=-

（0-2）²+4

y=

所以，抛物线与y轴交点P的坐标（0，

）

4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，

（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式

（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式

解：

【第一问】

直线的解析式为y=2x+4

令x=0，代入y=2x+4，得，y=4，所以B点坐标（0,4）

令y=0，代入y=2x+4，得，x=-2，所以A点坐标（-2,0）

设C点的纵坐标为yc（yc是负数），

那么线段BC的长度│BC│=4-yc

△ABC的面积=

*│xA│*│BC│=

*│-2│*（4-yc）=20

4-yc=20

解得：

yc=-16

所以，C点坐标（0，-16）---------------------------------①

以A（-2,0）为顶点,

可设抛物线表达式：

y=a（x+2）²+0

y=a（x+2）²，它过点C（0，-16），

将x=0,y=-16代入y=a（x+2）²，解得：

a=-4

所以，抛物线表达式y=-4（x+2）²

【第二问】

设D点的横坐标为xD（xD是负数），

△BDO的面积=

*│xD│*│BO│=

*│xD│*4=8

│xD│=4

xD是负数,所以，xD=-4，又D点在直线y=2x+4上，

将xD=-4代入y=2x+4，解得yD=-4

D点坐标（-4,-4）-------------------------------------------②

以A（-2,0）为顶点,

可设抛物线表达式：

y=a（x+2）²它过点D（-4，-4）

将x=-4,y=-4代入y=a（x+2）²，解得：

a=-1

所以，抛物线表达式y=-（x+2）²

【第二组题型】

5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（）

6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。

（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。

7、已知抛物线y=

x²+bx+c与x轴相交于点A和B（2，0），与y轴相交于C（0，-6）

（1）求出抛物线的解析式和A点的坐标。

（2）D为抛物线的顶点，设P点（t，0），且t＞2，如果△BDP与△CDP的面积相等，求P点的坐标。

8、在xoy直角坐标系中，点C（2，-3）关于x轴对称的点为A，关于原点对称的点为B，抛物线y=ax²+bx+c过A、B两点，且点D（3，19）在抛物线上。

【答案】

5、若关于x的方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x2²的最小值为（）

解：

方程x²+2mx+m²+3m﹣2=0有两个实数根

则判别式△=（2m）²-4*（m²+3m﹣2）≥0

即：

m≤

------------------------------------------------①

根据韦达定理，x1+x2=-2m-------------------------②

x1x2=m²+3m﹣2-----------------③

又x1（x2+x1）+x2²=x1x2+x1²+x2²

（，）

=（x2+x1）²-x1x2【将②③代入】

=（-2m）²-（m²+3m﹣2）

=3m²-3m+2

=3（m-

）²+

则顶点（

，

）

其图像为

由①知，当m≤

时，已经把顶点包含在内，

故，当m=

时，有最小值是

6、平面直角坐标系中两定点A（-5，0,），B（3，0），抛物线y=ax²+bx-30（a≠0）过A、B，顶点为C，点P（m，n）为抛物线上的一点。

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标。

（2）当四边形APBC为梯形，求P的坐标。

解：

【第一问】

因为点A（-5，0,），B（3，0）均为x轴上的两点，且抛物线过这两点，故抛物线的解析式可写为：

y=a（x+5）（x-3）

y=a（x²+2x-15）

y=ax²+2ax-15a-----------①

又已知，抛物线y=ax²+bx-30------------②

根据恒等原理，①式与②式对应的系数相等。

那么它们的常数项相等，即：

-15a=-30

解得：

a=2

将a=2代入①式，解得抛物线解析式为：

y=2x²+4x-30

再对y=2x²+4x-30变形

即：

y=2（x²+2x）-30

y=2（x+1）²-32

所以，顶点C坐标（-1,-32）

答：

抛物线解析式为：

y=2x²+4x-30，

顶点C坐标（-1,-32）

【第二问】

四边形APBC为梯形，有两种情况，一是BP∥AC，一是AP∥CB

（1）当BP∥AC，

因为A（-5，0），C（-1，-32）

直线AC的斜率k1=

=-8----------------③

因为B（3，0），P（m，n）

直线PB说完斜率k2=

=

----------------④

因为BP∥AC

所以③=④

即-8=

化简：

n=24-8m-----------------------------------------⑤

因为P（m，n）在抛物线上，

所以，把x=m，y=n代入y=2x²+4x-30中

得：

n=2m²+4m-30---------------------------------------⑥

因为⑤=⑥，消去n，

得：

24-8m=2m²+4m-30

化简：

m²+6m-27=0

（m+9）（m-3）=0