九上数学《2412 垂直于弦的直径教学设计》.docx
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九上数学《2412垂直于弦的直径教学设计》
24.1.2垂直于弦的直径
——垂径定理及其推论
一、新课导入
1.导入课题：
圆是轴对称图形吗？
这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.（板书课题）
2.学习目标：
（1）能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形.
（2）能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
（3）能利用垂径定理解决相应问题.
3.学习重、难点：
重点：
圆的轴对称性、垂径定理及其推论.
难点：
利用垂径定理进行计算或证明.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：
教材第81页“探究”——圆的轴对称性.
（2）自学时间：
2分钟.
（3）自学方法：
完成探究提纲.
（4）探究参考提纲：
①操作：
用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.
a.通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？
有几条对称轴？
是轴对称图形，有无数条对称轴.
b.“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？
若不对，应该怎样说？
不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
②猜想：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
③证明：
怎样证明圆是轴对称图形呢？
a.要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.
b.怎样证明两点关于已知直线对称？
两点的连线被已知直线垂直平分.
c.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上异于点C,D的任意一点，过A作AA′⊥CD，垂足为M.交⊙O于点A′，下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.
如图，连接OA,OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′，
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD,
∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
∴点A′、A关于直径所在的直线对称
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
2.自学：
学生可结合探究提纲，相互研讨学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：
关注证明过程的逻辑性与规范性.
②差异指导：
指导学生探究证明思路.
（2）生助生：
小组内相互交流、研讨.
4.强化：
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
（2）要证某图形是轴对称图形，只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这个图形上.
1.自学指导：
（1）自学内容：
教材第82页例2之前的部分.
（2）自学时间：
8分钟.
（3）自学方法：
完成探究提纲.
（4）探究参考提纲：
①垂径定理：
b.归纳：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
②垂径定理的推论：
b.反例：
当弦AA′为直径时，结论还成立吗？
为什么？
不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直.
c.限定：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.自学：
学生可结合自学指导相互研讨学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：
了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.
②差异指导：
依据学情进行个别指导或分类指导.
（2）生助生：
小组内相互交流研讨、订正结论.
4.强化:
（1）从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.
（2）垂径定理的条件：
过圆心，垂直于弦；结论：
平分弦，平分弦所对的两条弧.
1.自学指导：
（1）自学内容：
教材第83页“练习”第1题.
（2）自学时间：
4分钟.
（3）自学方法：
完成探究提纲.
（4）探究提纲：
①线段OE满足垂径定理的题设条件：
条件1：
AB是弦；条件2：
OE⊥AB.
②依据垂径定理得，AE=12AB=BE.
③要求⊙O的半径，只需连接OA，在Rt△AOE中，由勾股定理，就可求得⊙O的半径为5.
④给出你的解答过程：
2.自学:
同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学:
（1）师助生：
①明了学情：
观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.
②差异指导：
从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.
（2）生助生：
生生互动交流、研讨、订正.
4.强化:
（1）常规辅助线：
过圆心作弦的垂线段.
（2）设圆的半径为r，弦长为a，圆心到弦的距离为d，则有因此，在这三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.
（3）练习：
如图，已知⊙O的半径为1，弦AB的长为
，求圆心O到弦AB的距离.
解：
如图，作OE⊥AB，垂足为E，则OE垂直平分AB.
1.自学指导：
（1）自学范围：
教材第82页例2.
（2）自学时间：
6分钟.
（3）自学方法：
阅读、思考、总结、提高.
（4）自学参考提纲：
2.自学：
学生依据自学指导自主学习.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：
从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学习情况.
②差异指导：
根据学情合理指导.
（2）生助生：
小组内相互交流、研讨.
3.强化：
（1）强调常规辅助线和解题规范.
（2）练习：
如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面，其水面宽为1.6m，则这条管道中的水最深为0.4m.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：
在这节课的学习中你有哪些收获？
还有何困惑？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：
点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.
（2）纸笔评价：
课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
（1）这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质.
（2）本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.
（时间：
12分钟满分：
100分）
一、基础巩固（80分）
1.（10分）下列说法中正确的是（B）
A.在同一个圆中最长的弦只有一条
B.垂直于弦的直径必平分弦
C.平分弦的直径必垂直于弦
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.（10分）如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是（C）
A.∠AOD=∠BODB.AD=BD
C.OD=DC
3.（10分）半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是10，最短弦的长是6.
4.（10分）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：
四边形ADOE是正方形.
证明：
∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.
∴四边形ADOE是矩形.
又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,
∴AE＝
AC＝
AB＝AD,
∴四边形ADOE是正方形.
5.（10分）如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：
（1）∠AOB的度数；
（2）点O到AB的距离.
解：
（1）∵OA=OB=AB=50mm，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.
（2）作OM⊥AB，则∠AOM=
∠AOB=30°.
即点O到AB的距离为25
mm.
6.（10分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.
解：
连接OC.
∵OM平分CD,OM⊥CD且CM=MD=
CD=2m.
设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
由勾股定理得OC2=cm2+Om2，即r2=22+（6-r）2.解得r=
，即⊙O的半径为
m.
8.（10分）如图，两个圆都以点O为圆心.求证：
AC=BD.
证明：
过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,
则AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
二、综合应用（10分）
9.（10分）⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
解：
分两种情况讨论.
第一种情况：
当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图
（1），过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
∵AB∥CD.∴OE⊥AB.
第二种情况：
当AB、CD在圆心O的异侧时，
如图
（2），同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，
∴EM=OM+OE=17cm.
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
三、拓展延伸（10分）
10.（10分）如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？
为什么？
解：
OM＜ON.
理由如下：
连接OA、OC.
则OA＝OC.∵ON⊥CD,OM⊥AB,
∴CN＝
CD,AM＝
AB.
又∵AB＞CD,∴CN＜AM,
∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,
∴Om2＜ON2.∴OM＜ON.
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