3．已知：
如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
例3已知：
如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？
说明理由．
1-9
分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．
解：
在△ABE和△DBC中，
∵∠ABE=60°+∠DBE，∠DBC=60°+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC．
∵AB=BD，BE=EC．
∴△ABE≌△DBC．
∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．
又∵M、N分别是AE和DC的中点，
∴ME=NC，又△BEC为等边三角形，
∴BE=BC．
∴△MBE≌△NBC，BM=BN．
∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°．
∴△BMN为等边三角形．
练习3
1．已知：
如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．
1-10
2．已知：
如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？
为什么？
1-11
3．已知：
如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
1-12
例4已知：
如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？
分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．
解：
在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，
∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，又BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=
∠ABC=20°．
1-13
∵BF=BE，∴∠BEF=∠5=80°．
在△BAE和△BDE中，
BA=BD，∠1=∠2，BE=BE．
∴△BAE≌△BDE．
∴AE=DE，∠3=∠A=100°．
∴∠4=180°-∠3=180°，
∴∠4=∠5，DE=FE，AE=FE．
又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°，
∴∠6=∠C，∴FE=FC．
故AE+BE=FC+BF=BC．
练习4
1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
1-14
2．已知：
如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．
1-15
3．已知：
如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）
1-16
例5已知：
如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？
分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．
解：
延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．
又∠FEB=∠AEC，
1-17
∴△EBF≌△EAC，∴∠EBF=∠A．
BF=AC=BD．
在△FBC和△DBC中，
FB=BD，BC=BC．
∴∠FBC=∠FBE+∠EBC．
=∠A+∠ACB．
∠DBC=∠A+∠ACB．
∴∠FBC=∠DBC．
∴△BCF≌△BCD．
∴CF=CD=2CE，故CE=
CD．
练习5
1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．
1-18
2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE是BD的几分之几？
1-19
3．已知：
如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的________倍．
1-20
答案:
练习1
1．解：
设∠DEC=x，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x）
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴2x=30°，x=15°，故选C．
2．解：
∵AB=BB′，
∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．
又∠CBB′=∠DBB′，
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．
设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，
∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．
∵AA′平分∠EAB．
∴∠A′AB=
（180°-x）．
又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x
∴
（180°-x）=180°-8x．
∴x=12°，故∠ACB=36°．
3．解：
如图，作△AED≌△BAC，连结EC．
则∠AED=∠BAC=20°，
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°．
又∵AB=AE=AC，
∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°．
∴∠EDC=
（180°-∠DEC）=70°．
∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．
练习2
1．解：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．
在Rt△DEB与Rt△FEC中，
∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．
∵∠FDA=∠BDE，
∴∠FDA=∠F，故AD=AF．
2．解：
以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．
则∠1=∠2=∠3=60°．
∴AE=ED=AD．
∵∠DAC=15°，
∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．
∴∠DAC=∠EAB．
又∵DA=AE，AB=AC，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠EBA=∠DCA=15°．
∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．
∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．
∴∠BEA=∠BED．
又∵EB=EB，AE=ED．
∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．
故选择C．
3．解：
延长AD到G，使DG=AD，连结BG，
∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，
∴△ADC≌△BDE．
∴AC=BG，∠G=∠EAF，
又∵BE=AC，∴BE=BG．
∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．
练习3
1．解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
又∵BD=AF=CE，
∴△ABD≌△BCE≌△CAF．
∴∠1=∠2=∠3．
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．
即∠CAK=∠ABG=∠BCH．
又∵AB=BC=CA，
∴△ABG≌△BCH≌△CAK．
∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．
即∠KGH=∠GHK=∠GKH．
故△GKH是等边三角形．
2．解：
由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知：
CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，
故△ACD≌△BCE．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．
又DM=
AD，EN=
BE，
∴△DCM≌△ECN．
∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．
又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，
∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．
∴△CMN是等边三角形．
3．解：
连结BP．
∵△ABC与△CDP均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．
∴∠1=∠2，
∴△ADC≌△BPC．
∴∠CBP=∠DAC=60°．
∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，
∴R、B、P三点共线．
又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，
∴R、A、Q三点共线．
而AQ=AE=AD=BP，
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．
又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．
故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．
练习4
1．解：
∵S△ACB=S△APB+S△APC，
即
AB·CF=
AB·PD+
AB·PE．
∴CF=PD+PE．
2．解：
∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
又∵BD=BC+CD=AC+CD．
∴CE=AC+CD．
3．解：
∵△ABC和△BDE均为等边三角形．
∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．
∴△ABE≌△CBD．
∴AE=CD．又∵AB=AC，
∴AD=AC+CD=AB+AE．
练习5
1．解：
∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．
又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，
∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
2．解：
延长CE交BA的延长线于F，
∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，
∴△BEC≌△BEF．
∴BC=BF，CE=EF，
∴CE=
CF．
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，
∴∠2=∠5，且AB=AC．
∴Rt△AFC≌Rt△ADB．
∴CF=BD．故CE=
BD．
3．解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．
又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．
∴∠DAC=∠EBC．
在△AEH和△BEC中，
∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．
∠AEH=∠BEC=90°，
∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．
又BC=2BD，故AH=2BD．
一、基础训练
1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．
（1）
（2）（3）
2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．
3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．
4．如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．
（4）（5）（6）
5．如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．
6．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为________．
7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A′的坐标为_______．
8．如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，则∠CDE=________．
（7）（8）（9）
9．如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）
A．44°B．68°C．46°D．22°
10．如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）
A．L1B．L2C．L3D．L4
11．如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．则∠A等于（）
A．30°B．36°C．45°D．72°
（10）（11）
12．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）
A．25°B．50°C．60°D．130°
二、能力提升
13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．
14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．
试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．
15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：
①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；
（2）选择第
（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．
三、应用与探究
16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点．
（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？
试证明你的结论．
（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？
试证明你的结论．
17、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB＝AC，D是△ABC内一点，
且∠DAC=∠DCA=15°，求证：
BD＝BA．
18、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF＝EF．
等腰三角形提高测试题
一、选择题
1．如图1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（）
A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm
（1）
（2）（3）
2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．如图2，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作
DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：
①△BDF和△CEF
都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF=CF．其中正确的有（）
A．①②③B．①②③④C．①②D．①
4．如图3，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD
于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）
A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF
二、填空题
5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：
BC=_________．
6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，
则△ABC的边一定满足________．
7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．
8．一灯塔P在小岛A的北偏西25°，从小岛A沿正北方向前进30
海里后到达小岛，此时测得灯塔P在北偏西50°方向，则P与小岛
B相距________．
三、解答题
9．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，
BD与CE交于点F，且∠ABD=∠ACE，求证：
BF=CF．
10．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，
求证：
△DBE是等腰三角形．
11．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC交AB于E，
求证：
AE=BE．
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