精选高中数学第1章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2.docx
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精选高中数学第1章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2
【金版学案】2016-2017学年高中数学第1章立体几何初步章末过关检测卷苏教版必修2
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
解析：
无论l在α内，还是与α平行或相交，都可在α内找到一条直线与l垂直．
答案：
C
2．对两条异面直线a与b，必存在平面α，使得（ ）
A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α
解析：
已知两条异面直线a和b，可以在直线a上任取一点A，则A∉b.过点A作直线c∥b，则过a，c确定平面α，且使得a⊂α，b∥α.
答案：
B
3．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）
A．n⊥βB．n∥β或n⊂β
C．n⊥αD．n∥α或n⊂α
解析：
在平面β内作直线l垂直于α，β
的交线
，则由α⊥β得直线l⊥α.又因为m⊥α，所以l∥m.若m⊂β，要满足题中限制条件，显然只能n∥α或n⊂α；同理m⊄β，仍有n∥α或n⊂α.综上所述，D正确．
答案：
D
4．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是（ ）
A．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n
C．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
D．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n
解析：
对于A，m与n还可能平行或相交或异面；对于C，m与n还可能相交或
异面；对于D，m与n还可能相交或异面．
答案：
B
5．（2015·浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm3B．12cm3
C.cm3D.cm3
解析：
该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8（cm3）；上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝（cm3），所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝（cm3）．
答案：
C
6．（2015·北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）
A．2＋B．4＋
C．2＋2D．5
解析：
该三棱锥的直观图如图所示，且过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，
S表＝S△
BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2
＋2.
答案：
C
7．（2015·课标全国Ⅰ卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝（ ）
A．1
B．2C．4D．8
解析：
由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋
5πr2＝16＋20π，解得r＝2.
答案：
B
8．（2015·广东卷）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．大于5B．等于5
C．至多等于4D．至多等于3
解析：
当n＝3时显然成立，故排除A、B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n＝4时成立．
答案：
C
9．如左下图所示，有一个水平放置的
透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A.cm3B.cm3
C.cm3D.cm3
解析：
作出该球轴截面的图象，如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，
设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，所以V＝πR3＝（cm3）．
答案：
A
10.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A-MNCB的体积为（ ）
A.B.C.D．3
解析：
如图所示，作出二面角A-MNB的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A-MNCB的高．
由题意，得AO＝.
V＝××3＝.
答案：
A
11．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（ ）
A．1∶2B．2∶3
C．1∶3D．1∶4
答案：
B
12．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD的长度为（ ）
A．13B.C．12D．15
答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上）
13．已知正四棱锥O-ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________．
解析：
设正四棱锥的高为h，则×（）2h＝，解得高h＝.底面正方形的对角线长为×＝，所以OA＝＝，所以球的表面积为4π（）2＝24π.
答案：
24π
14．（2014·北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
解析：
根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P-ABC，由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2.底面为等腰三角形，AB＝BC，设D为AC中点，AC＝2，则AD＝DC＝1，且BD＝1，易得AB＝BC＝，所以最长的棱为PC，PC＝＝2.
答案：
2
15．（2015·江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析：
底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为π·52×4＋π·22×8＝.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r，则π·r2·4＋π·r2×8＝r2＝，解得r＝.
答案：
16．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．
解析：
设甲、乙两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，
则2πr1h1＝2πr2h2，所以＝，
又＝＝，
所以＝.
所以＝＝·＝·＝.
答案：
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
17．（本小题满分10分）（2014·课标全国Ⅱ卷）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：
PB∥平面AEC；
（2）设AP＝1，AD＝，三棱锥P-ABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．
（1）证明：
如
图所示，设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
（2）解：
由V＝PA·AB·AD＝AB，又V＝，可得AB＝.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH.
故AH
⊥平面PBC.
在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，
所以AH＝＝.
所以A到平面PBC的距离为.
18．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
（1）证明：
PC⊥BD；
（2）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积．
（1）证明：
如图所示，连接BD，AC交于点O.
因为PB＝PD，
所以PO⊥BD.
又因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.而AC∩PO＝O，
所以BD⊥面PAC.所以BD⊥PC.
（2）解：
由
（1）知BD⊥面PAC.
由已知得BD＝2，AC＝2，PO＝.
所以S△PEC＝S△PAC＝××2×＝.
所以VP-BCE＝VB-PEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.
19．（本小题满分12分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
解：
设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的底面半径为r，
则πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1；
S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π·12×2＝π.
20．（本小题满分12分）一个几何体按比例绘制出的三视图如图所示（单位：
m）．
（1）试画出其直观图；
（2）求它的体积．
解：
（1）几何体的直观图如图所示．
（2）由直观图知，该几何体可看成底面立起来的四棱柱，其体积为V＝×（1＋2）×1×1＝（m3）．
21.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E-PAD的体积；
（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（3）求证：
无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF.
（1）解：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，
所以三棱锥E-PAD的体积为V＝S△PAD·AB＝××1××1＝.
（2）解：
当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
因为在△PBC中，E，F分别为BC，PB的中点，
所以EF∥PC.又EF⊄平面PAC，而PC⊂平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
（3）证明：
因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，
所以EB⊥PA.
因为EB⊥AB，AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面PAB，
所以EB⊥平面PAB.
又因为AF⊂平面PAB，
所以AF⊥BE.
因为PA＝AB＝1，点F是PB的中点，所以AF⊥PB.
因为PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，
所以AF⊥平面PBE.
因为PE⊂平面PBE，所以AF⊥PE.
22．（本小题满分12分）（2014·广东卷）如图①所示，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，按图②方式折叠，折痕EF//DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
（1）证明：
CF⊥平面MDF；
（2）求三棱锥M-CDE的体积．
（1）证明：
如图所示，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形，
CD⊥AD，PD与CD交于点D，
所以AD⊥平面PCD.
又CF⊂平面PCD，
所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M，
所以CF⊥平面DMF.
（2）解：
因为PD⊥DC，BC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°，
所以PD＝，由
（1）知FD⊥CF，
在
直角三角形DCF中，CF＝CD＝.
过点F作FG⊥CD，
得FG＝FGsin60°＝×＝，
所以D
E＝FG＝，故ME＝PE＝－＝.
所以MD＝＝＝.
S△CDE＝DE·DC＝××1＝.
故VM-CDE＝MD·S△CDE＝××＝.
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