第四章 矩 阵汇总.docx
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第四章矩阵汇总
第四章矩阵
§1矩阵概念的一些背景
在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.
1.在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式为
xxcosysin,
（1）yxsinycos,
其中为x轴与x轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的22矩阵
cossinsin
（2）cos
表示出来.通常，矩阵
（2）称为坐标变换
（1）的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式
xa11xa12ya13z,ya21xa22ya23z,（3）
zaxayaz.313233
同样，矩阵
a11a21a31a12a22a32a13a23（4）a33
就称为坐标变换（3）的矩阵.
2.二次曲线的一般方程为
ax22bxycy22dx2eyf0.（5）
（5）的左端可以简单地用矩阵
abbc
dede（6）f
来表示.通常，（6）称为二次曲线（5）的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的.
3.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有s个产地A1,A2,,As，n个销地B1,B2,,Bn，那么一个调动方案就可以用一个矩阵
a11a21as1a12a1na22a2nas2asn
来表示，其中aij表示由产地Ai运到销地Bj的数量.
4.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形.n维行向量就是1n矩阵，n维列向量就是n1矩阵.
以后用大写的拉丁字母A,B,，或者
a,b,ijij
来表示矩阵.
有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,，或者
a,bijsnijsn,
（注意矩阵符号与行列式的符号的区别）.
设Aaij,bmnijlk，如果ml,nk，且aijbij，对i1,2,,m;j1,2,,n都成立，我们就说AB.即只有完全一样的矩阵才叫做相等.
§2矩阵的运算
现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置.
为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的.
1.加法
定义1设
a11a21as1b11b21bs1a12a1na22a2n,as2asnb12b1nb22b2nbs2bsn
a12b12a1nb1na22b22a2nb2nas2bs2asnbsnAaijsnBbijsn是两个sn矩阵，则矩阵Ccijsnaijbijsna11b11ab2121abs1s1
称为A和B的和，记为
CAB.
矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有
结合律：
A（BC）（AB）C;
交换律：
ABBA.
元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn，在不致引起含混的时候，可简单地记为O.显然，对所有的A，
AOA.
矩阵
a11a12a1na21a22a2naas2asns1
称为矩阵A的负矩阵，记为A.显然有
A（A）O
矩阵的减法定义为
ABA（B）
例如在§1我们看到，某一种物资如果有s个产地，n个销地，那么一个调动方案就可表示为一个sn矩阵.矩阵中的元素aij表示由产地Ai要运到销地Bj的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个sn矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和.
根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出：
秩（A+B）≤秩（A）+秩（B）
2.乘法
在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题.
设x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3是两组变量，它们之间的关系为
x1a11y1a12y2a13y3,xayayay,2211222233
（1）x3a31y1a32y2a33y3,
x4a41y1a42y2a43y3.
又如z1,z2是第三组变量，它们与y1,y2,y3的关系为
y1b11z1b12z2,y2b21z1b22z2,
（2）
ybzbz.3113223
由
（1）与
（2）不难看出x1,x2,x3,x4与z1,z2的关系：
xiaikykaik（bkjzj）aikbkjzj
k12
k1
j1
k1j1
33232
aikbkjzj（aikbkj）zj
j1k1
j1
k1
323
.（3）
（i1,2,3,4）
如果我们用
xicijzj
j1
2
（i1,2,3,4）（4）
来表示x1,x2,x3,x4与z1,z2的关系，比较（3）,（4），就有
cijaikbkj（i1,2,3,4;j1,2）.（5）
k13
用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵
Aaik43,Bbkj32
分别表示变量x1,x2,x3,x4与y1,y2,y3以及y1,y2,y3与z1,z2之间的关系，那么表示
x1,x2,x3,x4与z1,z2之间的关系的矩阵
Ccij42
就由公式（5）决定.矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为
CAB
一般地，我们有：
定义2设
Aaiksn,Bbkjnm,
那么矩阵
Ccijsm,
其中
cijai1b1jai2b2jainbnjaikbkj,（6）
k1n
称为矩阵A与B的乘积，记为
CAB.
由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等.
例1设
A
那么
110015131
0210,B
34134
21
1121
AB
例2如果
110015131
0210
34134
567
21
1026112171021
Aaijsn
是一线性方程组的系数矩阵，而
x1b1
x2b2X,B
xbns
分别是未知量和常数项所成的n1和s1矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式
AXB.
例3在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系（x1,y1,z1）到（x2,y2,z2）的坐标变换的矩阵为
a11Aa21
a31
a12a22a32
a13a23a33
如果令
x1x2
X1y1,X2y2,
zz12
那么坐标变换的公式可以写成
X1AX2.
如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系（x2,y2,z2）到第三个坐标系
（x3,y3,z3）的坐标变换公式为
X2BX3,
其中
b11Bb21b31b12b22b32b13x3b23,X3y3.zb333
那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为
CAB.
矩阵的乘法适合结合律.设
Aaijsn,Bbjknm,Ccklmr
则
（AB）CA（BC）.
但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来
ABBA.
例如，设
1111A,B1111
111100AB111100,
而
211112BA111122.
由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当ABAC时,不一定有BC.
定义3主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的nn矩阵
10
0001001
称为n级单位矩阵，记为En，或者在不致引起含混的时候简单写为E.显然有
AsnEnAsn,
EsAsnAsn.
矩阵的乘法和加法还适合分配律，即
A（BC）ABAC,（9）
（BC）ABABC.（10）
应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以（9）与（10）是两条不同的规律.我们还可以定义矩阵的方幂.设A是一nn矩阵，定义
1AA,k1kAAA.
换句话说，Ak就是k个A连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明
AkAlAkl,
（Ak）lAkl.
这里k,l是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以（AB）k与AkBk一般不相等.
3.数量乘法
.定义4矩阵
ka11ka21kas1ka12ka1nka22ka2nkas2kasn
称为矩阵Aaijsn与数k的数量乘积，记为kA.换句话说，用数k乘矩阵就是把
矩阵的每个元素都乘上k.
数量乘积适合以下的规律：
（kl）AkAlA,（11）
k（AB）kAkB,（12）
k（lA）（kl）A,（13）
1AA,（14）
k（AB）（kA）BA（kB）.（15）
矩阵
k000k0kE00k
通常称为数量矩阵.作为（15）的特殊情形，如果A是一nn矩阵，那么有
kA（kE）AA（kE）.
这个式子说明，数量矩阵与所有的nn矩阵作乘法是可交换的.可以证明：
如果一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵.再有
kElE（kl）E,
（kE）（lE）（kl）E,
这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法.
4.转置
把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为A.可确切地定义如下：
定义5设
Aa11a21as1
a11
a12
a1na12a1na22a2n，as2asna21as1a22as2.a2nasn所谓的转置就是指矩阵A
显然，sn矩阵的转置是ns矩阵.
矩阵的转置适合以下的规律：
（A）A,（16）（AB）AB,（17）（AB）BA,（18）（kA）kA.（19）
（16）表示两次转置就还原，这是显然的.
例4设
2
A112,B1
4
求（AB）,BA.
101321
§3矩阵乘积的行列式与秩
定理1设A,B是数域P上的两个nn矩阵，那么
|AB||A||B|,
（1）
即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形，即有推论1设A1,A2,,Am是数域P上的nn矩阵，于是
|A1A2Am||A1||A2||Am|
定义6数域P上的nn矩阵A称为非退化的，如果|A|0，否则称为退化的.
显然一nn矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n.推论2设A,B是数域P上nn矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至少有一个是退化的.
定理2设A是数域P上nm矩阵，B是数域P上ms矩阵，于是
秩（AB）min[秩（A）,秩（B）],
（2）
即乘积的秩不超过各因子的秩.
用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有推论3如果AA1A2At，那么
秩（A）min（秩Aj）.1jt
§4矩阵的逆
一、可逆矩阵的概念
在§2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？
这就是本节所要讨论的问题.
这一节矩阵，如不特别声明，都是nn矩阵.
对于任意的级方阵A都有
AEEAA
这里E是n级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数a0的倒数可以用等式
aa11
来刻划，相仿地，我们引入
定义7n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得
ABBAE,
（1）
这里E是n级单位矩阵.
首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足
（1）.其次，对于任意的矩阵A，适合等式
（1）的矩阵B是唯一的（如果有的话）.
定义8如果矩阵B适合
（1），那么B就称为A的逆矩阵，记为A1.
二、可逆矩阵的逆矩阵的求法
下面要解决的问题是：
在什么条件下矩阵A是可逆的？
如果A可逆，怎样求A1？
定义9设Aij是矩阵
Aa11a21an1a12a1na22a2nan2ann
中元素aij的代数余子式，矩阵
A11AA*12
A1nA21An1A22An2A2nAnn
称为矩阵A的伴随矩阵.
由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：
d00dAA*A*A00
其中d|A|.
如果d|A|0，那么由
（2）得00dE,
（2）d
1*1A）（A*）AE.（3）dd
定理3矩阵A可逆的充要条件是A非退化的，而
1A1A*（d|A|0）dA（
根据定理3容易看出，对于n级方阵A,B，如果
ABE
那么A,B就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.
定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式（4）.按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.
由（5）可以看出，如果|A|d0，那么
|A1|d1
推论如果矩阵A,B可逆，那么A与AB也可逆，且
（A）1（A1）
（AB）1B1A1.
利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组
a11x1a12x2a1nxnb1,axaxaxb,2112222nn2an1x1an2x2annxnbn
可以写成
AXB.（6）
如果|A|0，那么A可逆.用
XA1B
代入（6），得恒等式A（A1B）B，这就是说A1B是一个解.
如果
XC
是（6）的一个解，那么由
ACB
得
A1（AC）A1B,
即
CA1B.
这就是说，解XA1B是唯一的.用A1的公式（4）代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.
定理4A是一个sn矩阵，如果P是ss可逆矩阵，Q是nn可逆矩阵，那么
秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）.
§5矩阵的分块
在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是所谓矩阵的分块.
为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵
10A11
中，E2表示级单位矩阵，而0121001000E2A011OE2
1200A1,O1100.
在矩阵
1012B1011
中，304221B11B1210B12B22
10321041.B11,B12,B21,B2212011120
在计算AB时，把A,B都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是
E2ABA1
其中OB11E2B21B12B11B22A1B11B21,A1B12B22B12
12101024A1B11B2111121111,
12324111A1B12B2211012053.
因之
11AB
21
一般，设Aaiksn,Bbkj
n1
s1A11
sAA221
stAt1
m1n1B11
n2B21B
nlBl1
2413015
21.13
不难验证，直接按4级矩阵乘积的定义来作，结果是一样的.
nm
，把A,B分成一些小矩阵
n2
nl
A1l
A2l,
（1）
Atlmr
B1r
B2r,
（2）
Blr
A12A22At2m2B12B22Bl2
其中每个Aij是sinj小矩阵，每个Bij是nimj小矩阵，于是有
m1
s1C11
sC
CAB221
stCt1
m2C12C22Ct2
l
mr
C1r
C2r,（3）
Ctr
其中
CpqAp1B1qAp2B2qAplBlqApkBkq（p1,2,,t;q1,2,,r）.（4）
k1
这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得.
应该注意，在分块
（1）,
（2）中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致.以下会看到，分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后，矩阵间相互的关系看得更清楚.
实际上，在证明关于矩阵乘积的秩的定理时，已经用了矩阵分块的想法.在那里，用B1,B2,,Bm表示B的行向量，于是
B1BB2,
Bm
这就是B的一种分块.按分块相乘，就有
a11B1a12B2a1mBmaBa22B2a2mBmAB211.
aBaBaB
n22nmmn11
用这个式子很容易看出AB的行向量是B的行向量的线性组合；将AB进行另一种分块乘法，从结果中可以看出AB的列向量是A的列向量的线性组合.
作为一个例子，我们来求矩阵
D
a11ak1c11cr1
a1kakkc1kcrk
00b11br1
0
0AOb1rCBbrr
的逆矩阵，其中A,B分别是k级和r级的可逆矩阵，C是rk矩阵，O是kr零矩阵.
首先，因为
|D||A||B|,
所以当A,B可逆时，D也可逆.设
D
于是
1
X11X21X12
X22
O
Er
AOX11
CBX21X12Ek
X22O
这里Ek,Er分别表示k级和r级单位矩阵.乘出来并比较等式两边，得
AX11Ek,AXO,12CX11BX21O,
CX12BX22Er.
由第一、二式得
X11A1,X12A1OO,
代入第四式，得
X22B1,
代入第三式，得
BX21CX11CA1,X21B1CA1.
因此
A1
DB1CA11O.1B
O.1B特别地，当CO时，有AOOB1A1O
形式为
a10
00a2000al
的矩阵，其中ai是数（i1,2,,l），通常称为对角矩阵，而形式为
OA1A2OAl
的矩阵，其中Ai是nini矩阵（i1,2,,l），通常称为准对角矩阵.当然，准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形.
对于两个有相同分块的准对角矩阵
OOA1B1A2B2AB,,OAlBlO
如果它们相应的分块是同级的，那么显然有
OA1B1A2B2ABOAlBl
OA1B1A2B2ABOAlBl
它们还是准对角矩阵.
其次，如果A1,A2,,Al都是可逆矩阵，那么
OA1A2OAl
1A11O1A2.1OAl
§6初等矩阵
这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.
一、初等矩阵
定义10由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
显然，初等矩阵都是方阵，每个初等矩阵都有一个与之相应的初等矩阵.互换矩阵E的i行与j行的位置，得
1101i行
1，P（i,j）1j行1011
用数域P中非零数c乘E的i行，有
11P（i（c））ci行,
11
把矩阵E的j行的k倍加到i行，有
i列
1
1P（i,j（k））j列ki行,j行11
同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中.譬如说，把E的i列的k倍加到j列，我们仍然得到P（i,j（k））.因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵.
引理对一个sn矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的ss初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于
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