高中数学新学案同步 必修3 人教A版 全国通用版 第二章 统 计 211.docx

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高中数学新学案同步必修3人教A版全国通用版第二章统计211

§2.1　随机抽样

2.1.1　简单随机抽样

学习目标

　1.了解随机抽样的必要性和重要性.2.理解随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤.

知识点一　统计的基本概念

思考　样本与样本容量有什么区别？

答案　样本与样本容量是两个不同的概念.样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本容量是样本中个体的数目，是一个数.

梳理　

（1）总体：

一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体.

（2）个体：

构成总体的每一个元素作为个体.

（3）样本：

从总体中抽出若干个个体所组成的集合叫样本.

（4）样本容量：

样本中个体的数目叫样本容量.

知识点二　简单随机抽样

思考　从含有甲、乙的9件产品中随机抽取一件，总体内的各个个体被抽到的机会相同吗？

为什么？

甲被抽到的机会是多少？

答案　总体内的各个个体被抽到的机会是相同的.因为是从9件产品中随机抽取一件，这9件产品每件产品被抽到的机会都是1/9，甲也是1/9.

梳理　

（1）设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

（2）简单随机抽样的四个特点

①它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析.

②它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作.

③它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算.

④它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性.

知识点三　抽签法和随机数法

思考　采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在形状、大小相同的号签上，并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀？

答案　为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性.

梳理　

（1）抽签法：

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

（2）随机数法：

随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.

（3）利用随机数法抽取个体时的注意事项

①定起点：

事先应确定以表中的哪个数（哪行哪列）作为起点.

②定方向：

读数的方向（向左、向右、向上或向下都可以）.

③读数规则：

读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数.

1.简单随机抽样也可以是有放回的抽样.（　×　）

2.简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等.（　√　）

3.采用随机数表法抽取样本时，个体编号的位数必须相同.（　√　）

类型一　简单随机抽样的判断

例1　下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是（　　）

①从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签.

④箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里.

A.0B.1

C.2D.3

考点　简单随机抽样的概念

题点　简单随机抽样的概念及特征

答案　B

解析　根据简单随机抽样的特点逐个判断.①不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.②不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.③是简单随机抽样.因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样.④不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.综上，只有③是简单随机抽样.

反思与感悟　简单随机抽样必须具备下列特点

（1）被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；

（2）抽取的样本是从总体中逐个抽取的；

（3）简单随机抽样是一种不放回抽样；

（4）简单随机抽样是一种等可能的抽样.

如果四个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.

跟踪训练1　在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性（　　）

A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些

B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

C.与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些

D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选可能性的计算

答案　B

解析　在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确.

类型二　简单随机抽样等可能性应用

例2　一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________.

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选可能性的计算

答案　

解析　因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为

，所以第一个空填

.因为本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为

，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为

，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为

.

反思与感悟　简单随机抽样，每次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等.

跟踪训练2　从总体容量为N的一批零件中，抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的可能性为0.25，则N的值为（　　）

A.120B.200

C.150D.100

考点　简单随机抽样的概念

题点　利用每个个体被抽到的可能性计算样本容量

答案　A

解析　因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，在每次抽取一个个体的过程中任意一个个体被抽到的可能性为

，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为

，所以

＝0.25，从而有N＝120.故选A.

类型三　抽签法与随机数法及应用

例3　某卫生单位为了支援抗震救灾，要在18名志愿者中选取6人组成医疗小组去参加救治工作，请用抽签法设计抽样方案.

考点　抽签法

题点　抽签法的应用

解　方案如下：

第一步，将18名志愿者编号，号码为01,02,03，…，18.

第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签.

第三步，将得到的号签放到一个不透明的盒子中，充分搅匀.

第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号.

第五步，与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员.

反思与感悟　一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.

跟踪训练3　某市环保局有各县报送的空气质量材料15份，为了了解全市的空气质量，要从中抽取一个容量为5的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作.

考点　抽签法

题点　抽签法的应用

解　总体容量小，样本容量也小，可用抽签法.

步骤如下：

（1）将15份材料用随机方式编号，号码是1,2,3，…，15.

（2）将以上15个号码分别写在15张相同的小纸条上，揉成小球，制成号签.

（3）把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀.

（4）从容器中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码.

（5）找出和所抽号码对应的5份材料，组成样本.

例4　假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？

考点　随机数法

题点　随机数法的应用

解　第一步，将800袋牛奶编号为000,001，…，799.

第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数（例如选出第8行第7列的数7）.

第三步，从选定的数7开始依次向右读（读数的方向也可

以是向左、向上、向下等），将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本.

反思与感悟　抽签法和随机数法对个体的编号是不同的，抽签法可以利用个体已有的编号，如学生的学籍号、产品的记数编号等，也可以重新编号，例如总体个数为100，编号可以为1,2,3，…，100.随机数法对个体的编号要看总体的个数，总体数为100，通常为00,01，…，99.总体数大于100小于1000，从000开始编起，然后是001,002，….

跟踪训练4　总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：

从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（　　）

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08B.07C.02D.01

考点　随机数法

题点　随机数法的应用

答案　D

解析　从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件的数字依次为02,14,07,01，故第5个数为01.故选D.

1.下面抽样方法是简单随机抽样的是（　　）

A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B.可口可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查

C.某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编号随机抽取）

考点　简单随机抽样的概念

题点　简单随机抽样的概念及特征

答案　D

解析　A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故错误；B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；C中，50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误.

2.抽签法确保样本代表性的关键是（　　）

A.制签B.搅拌均匀

C.逐一抽取D.抽取不放回

考点　抽签法

题点　抽签法的概念

答案　B

解析　若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.

3.使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（　　）

A.抽签法B.随机数法

C.随机抽样法D.以上都不对

考点　随机数法

题点　随机数法的概念

答案　B

解析　由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适.

4.一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________.

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选可能性的计算

答案　

解析　因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被抽到的可能性为

.

5.某地有2000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是________.

考点　简单随机抽样的概念

题点　利用每个个体被抽到的可能性计算样本容量

答案　80

解析　设样本容量为n，根据简单随机抽样，得

＝0.04，解得n＝80.

1.简单随机抽样是一种简单、基本、不放回的抽样方法，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.

2.抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便.两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.

3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为

，但要将每个个体入样的可能性与第n次抽取时每个个体入样的可能性区分开，避免在解题中出现错误.

一、选择题

1.从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是（　　）

A.500名学生是总体

B.每个学生是个体

C.抽取的60名学生的体重是一个样本

D.抽取的60名学生的体重是样本容量

考点　简单随机抽样的概念

题点　简单随机抽样的概念及特征

答案　C

解析　由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错；个体是每个学生的体重，B错；样本容量为60，D错.

2.为抽查汽车排放尾气的合格率，某环保局在一路口随机抽查，这种抽查是（　　）

A.简单随机抽样

B.抽签法

C.随机数法

D.以上都不对

考点　简单随机抽样的概念

题点　简单随机抽样的概念及特征

答案　D

解析　由于不知道总体的情况（包括总体个数），因此不属于简单随机抽样.

3.下列抽样实验中，适合用抽签法的有（　　）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

考点　抽签法

题点　抽签法的概念

答案　B

解析　个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A，D；C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，也不适用，故选B.

4.某学校为了解高一800名新入学同学的数学学习水平，从中随机抽取100名同学的中考数学成绩进行分析，在这个问题中，下列说法正确的是（　　）

A.800名同学是总体B.100名同学是样本

C.每名同学是个体D.样本容量是100

考点　简单随机抽样的概念

题点　利用每个个体被抽到的可能性计算总体容量

答案　D

解析　据题意，总体是指800名新入学同学的中考数学成绩，样本是指抽取的100名同学的中考数学成绩，个体是指每名同学的中考数学成绩，样本容量是100，故只有D正确.

5.用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（　　）

A.

，

B.

，

C.

，

D.

，

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选可能性的计算

答案　A

解析　简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为

.

6.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能性都为0.2，用随机数法在该中学抽取容量为n的样本，则n等于（　　）

A.80B.160C.200D.280

考点　简单随机抽样的概念

题点　利用每个个体入选的可能性计算样本容量

答案　C

解析　由题意可知，

＝0.2，解得n＝200.

7.从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为（　　）

A.36%B.72%C.90%D.25%

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选的可能性及合格率的计算

答案　C

解析　

×100%＝90%.

8.已知总体容量为108，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下列对总体的编号正确的是（　　）

A.1,2，…，108B.01,02，…，108

C.00,01，…，107D.001,002，…，108

考点　随机数法

题点　随机数法的应用

答案　D

解析　用随机数法选取样本时，样本的编号位数要一致.故选D.

9.关于简单随机抽样，下列说法正确的是（　　）

①它要求被抽取样本的总体的个数有限；

②它是从总体中逐个地进行抽取；

③它是一种不放回抽样；

④它是一种等可能性抽样.

A.①②③④B.③④

C.①②③D.①③④

答案　A

解析　由简单随机抽样的特征可知.

二、填空题

10.用随机数法从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________.

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选可能性的计算

答案　0.2

解析　因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每个个体被抽到的可能性都为

＝0.2.

11.一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________；第三次抽取时，剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________.

考点　简单随机抽样的概念

题点　每个个体入选可能性的计算

答案　

解析　因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为

＝

，所以某一特定小球被抽到的可能性是

.因为此抽样是不放回抽样，所以第一次抽样时，每个小球被抽到的可能性均为

；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为

；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为

.

12.为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有________.（填序号）

①2000名运动员是总体；

②每个运动员是个体；

③所抽取的20名运动员是一个样本；

④样本容量为20；

⑤每个运动员被抽到的机会相等.

考点　简单随机抽样的概念

题点　简单随机抽样的概念及特征

答案　④⑤

解析　①2000名运动员不是总体，2000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本.故①②③均错误，正确说法是④⑤.

三、解答题

13.设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤.

考点　随机数法

题点　随机数法的应用

解　第一步，将100名教师进行编号：

00,01,02，…，99.

第二步，在随机数表（教材P103）中任取一数，如第12行第9列的数7.

第三步，从选定的数7开始向右读，每次读取两位，凡不在00～99中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得75,84,16,07,44,99,83,11,46,32,24,20.

第四步，以上这12个编号所对应的教师即是要抽取的对象.

四、探究与拓展

14.从一群游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏.过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（　　）

A.

B.k＋m－nC.

D.不能估计

考点　简单随机抽样的概念

题点　利用每个个体入选的可能性计算样本容量

答案　C

解析　设参加游戏的小孩有x人，则

＝

，x＝

.

15.某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.

考点　随机数法

题点　随机数法的应用

解　第一步：

先确定艺人：

（1）将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出；

（2）运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.

第二步：

确定演出顺序：

确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.