方差分析.docx
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方差分析
方差分析（AnalysisofVariance）
考虑以下情境:
一位研究者感兴趣影响儿童阅读能力的因素.研究者认为儿童的年龄和每次阅读时间可能是重要的影响因素。
研究者设计了以下实验：
选取三个年龄组的儿童:
3岁,8岁,和14岁.将每个年龄组的儿童随机分配到三个阅读条件.组1阅读时间为5分钟;组2为15分钟;对于组3为30分钟.两个星期之后测试了这些儿童的阅读能力。
阅读时间
5分钟
15分钟
30分钟
年龄
3岁
8岁
14岁
这个研究有3X3样本（即9个）.如何分析数据?
t-检验和z-检验不能用于多于2组的数据.处理这类数据需要用一种新的推论统计程序:
方差分析（ANOVA）.
ANOVA能够处理数据的类型：
在上例中有两个自变量（称为因素）:
年龄和阅读时间.两个都是组间（独立样本）变量.ANOVA亦可用于分析包含组内（重复测量）因素的研究设计，同时包含组间和组内因素的混合设计（e.g.假设上例中我们用同一些儿童作纵向研究。
年龄是组内变量,阅读时间是组间变量）.
在方差分析中,因素就是自变量.包含一个自变量的研究称为单因素设计（single-factordesign）.具有多于一个自变量研究称为因素设计（factorialdesign）.
构成因素的个别处理条件称为因素的水平.
上述研究称为因素设计,两个组间因素,每一个因素有3个水平（称为3X3组间设计）.
最基本的ANOVA.集中讨论单因素,独立测量的研究设计.
1.ANOVA的逻辑
2.ANOVA的符号.
3.ANOVA的过程和例题
4.事后检验
1.ANOVA的逻辑
与假设检验的逻辑是同样的,只是具体内容有变化
step1:
陈述H0（和H1?
?
），确定标准:
α=?
step2:
ANOVA检验总是单尾
step3:
指出检验的df（有两个df）
step4:
查表找出临界F统计量
step5:
对于样本，计算F统计量
step6:
比较F统计量和临界F统计量
step7:
对于H0作出结论
单因素,独立测量研究设计的例子：
检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组
方法A：
让学生只读课本,不去上课.
方法B：
上课,记笔记，不读课本.
方法C：
不读课本，不去上课,只看别人的笔记
Step1:
陈述假设和设定标准（选择α）
H0:
μ1=μ2=μ3
H1:
其中一个组与另一个（或更多）的组均值不同。
备择假设可能的形式很多：
μ1不等于μ2=μ3
μ1=μ3不等于μ2
μ1=μ2不等于μ3
μ1不等于μ2不等于μ3
因此，只需给出虚无假设就够了
step2:
ANOVA检验总是单尾.因为不存在负的方差.F分布表也只有单侧的Alpha.（F分布图）
step3:
找出检验的df.注意要考虑几个df（
step4:
从表找出临界F统计量
分子的df
分母的df
1
2
3
4
5
1
161
4052
200
4999
216
5403
225
5625
230
5764
2
18.51
98.49
19.00
99.00
19.16
99.17
19.25
99.25
19.30
99.30
3
10.13
34.12
9.55
30.92
9.28
29.46
9.12
28.71
9.01
28.24
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
与t分布表类似,F分布表也是描述一族F分布.
需要用到两个df,用一个找出正确的行另一个找出正确的列.上面一行对应于α=0.05,下面一行对应于α=0.01.
step5:
计算样本的F统计量观测值
概念的水平的讨论：
ANOVA非常类似两个独立样本的t检验
tobs=得到的样本均值间差异
期望的机会差异
对于ANOVA检验统计量（称为F比率）类似
F=样本均值间方差（差异）
期望的机会（误差）方差（差异）
为什么用方差?
因为有多于两个组.
如何计算一个分数来描述差异间分布?
差异不能够分割,但是方差能够分割。
这就是ANOVA-方差分析名字的由来.
首先考虑方差的来源.
什么造成样本的不同（处理间变异）？
处理/组效应-处理造成的差异
个体差异效应-个体差异变异
随机误差
每一个样本内部的变异（处理内变异）
个体差异效应
随机误差
F比率可以表达为:
F比率=样本均值间的方差（差异）
期望的机会（误差）方差（差异）
F比率=处理间方差
处理内方差
F比率=处理效应+个体差异+随机误差
个体差异+随机误差
注意:
有时分母叫做误差部分，其量度了由于机会造成的方差
如果H0为真,处理效应的值应该如何?
H0:
μ1=μ2=μ3
如果没有差异,效应方差=0
如果效应方差=0,F比率值?
F比率=0+个体差异+随机误差=1=1.0
个体差异+随机误差1
如果H0为假，F比率应该大于1.
step6:
比较F统计量的观测值与临界F统计量
如果F统计量的观测值（Fobs）在统计上显著地大于1.0则拒绝H0
2.ANOVA的专用符号
K=处理条件（或组）的数目
n=每一个组的数目（如果它们相等）
ni=第i组的数目（如果它们不等）
N=∑ni=总的样本容量
Ti=∑Xij
G=∑Xij=总的和
G-bar=G/N=总的均值
SSi=每一个组的和方=∑（Xij-
i）2
在上例中：
研究方法
方法A
只读课本
方法B
只作笔记
方法C
借别人笔记
0
4
1
1
3
2
3
6
2
1
3
0
0
4
0
T1=5
T2=20
T3=5
SS1=6
SS2=6
SS3=4
n1=5
n2=5
n3=5
1=1
2=4
3=1
∑X2=106
G=30=总的和
N=15=总的样本容量
G-bar=30/15=2=总的均值
K=3=处理条件（或组）的数目
3.ANOVA的过程和例题
F比率=处理间方差
处理内方差
需要找出两个方差.
最基本公式s2=SS/df.
SS和=∑X2-（G2/N）
SS和=106-（302/15）=106-60=46
需要将其分解为组间变异和组内变异.
SS和=SS组间+SS组内
如何得到SS组内?
将每一个组SS相加
SSwithin=∑SS每一个处理内部=∑SSi
=6+6+4=16
如何得到SS组间?
快捷的方法是:
SS和-SS组内
⏹若数据足够，不推荐用这种方法,因为:
◆无法检查计算错误
◆未涉及SS组间是如何组成.
直接计算SS组间的两个公式:
定义公式和计算公式
定义公式
计算公式
SS间=∑[ni（
-G-bar）2]
SS间=∑（T2/ni）-G2/N
=5（1-2）2+5（4-2）2+5（1-2）2
=5+20+5
=30
=52/5+202/5+52/5-302/15
=5+80+5-60
=30
SS和=SS组间+SS组内=16+30=46
s2=SS/df.
已计算出SS,找出df:
共有两个（或三个）自由度,一个组间方差df,一个组内方差df（以及一个总的df）.
df和=N-1
df组内==N-K
df组间=K-1
df和=df组内+df组间
在例子中:
df组内=15-3=12
df组间=3-1=2
df和=15-1=14,=12+2
现在计算方差.这里称为均方.
方差=均方=MS=SS/df
MS组间=SS组间/df组内
-->上例中=30/2=15
注意:
有时MS组间称为误差的均方.
MS组内=MS误差=误差的均方=SS组内/df组内
-->上例中=16/12=1.33
F比率=处理间方差=MS组间
处理内方差MSw组间
上例中的F比率是:
15/1.33=11.28
将结果总结到方差分析表中：
来源
SS
df
MS
处理间
30
2
15.0
F=11.28
处理内
16
12
1.33
总的
46
14
查F表确定Fcrit对假设作出结论
df组间=分子的df
df组内=分母的df（误差）
-->上例中:
df组内=12;df组间=2
分子的df
分母的df
1
2
3
4
5
1
161
4052
200
4999
216
5403
225
5625
230
5764
2
18.51
98.49
19.00
99.00
19.16
99.17
19.25
99.25
19.30
99.30
3
10.13
34.12
9.55
30.92
9.28
29.46
9.12
28.71
9.01
28.24
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
12
4.75
9.33
3.88
6.93
3.49
5.95
3.26
5.41
3.11
5.06
13
4.67
9.07
3.80
6.70
3.41
5.74
3.18
5.20
3.02
4.86
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
如果选择α=.05,Fcrit=3.88
如果选择α=.01,Fcrit=6.93
F比率的观测值11.28大于Fcrit.,所以拒绝H0（μ1=μ2=μ3）.
报告结果
F（df组间,df组内）=Fobs,p
"单因素方差分析发现学习方法有显著的效应,F（2,12）=11.28,p<0.01."
注意:
电脑的结果输出会给出实际p-值.假设检验的逻辑是必须事前预设Alpha水平.如果选择了.01,就必须将其用于所有的检验.所以,如果有两个实验,电脑程序得到实验1的p值=.001,实验2的p-值=.01.它们都在统计上显著.假设检验是yes/no决策.上例中,结论都是YES.实验1的结果并不比实验2"更显著".
4.事后检验（Posthoctests）
ANOVA的结果是检验H0:
μ1=μ2=μ3,这是一个两点（拒绝/不拒绝）决策.并未提供哪个备择假设得到支持.也就是说,只知道一些组与其它组不同,但并知道差别在哪些组之间.
所以从ANOVA得到显著差异的结果（拒绝H0）后,一定要做作some事后检验.事后检验使我们能够比较各组,发现差异产生在什么地方.
事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组,一次比较两个.这称为成对比较.
在上例中,可以比较μ1与μ2,μ1与μ3,以及μ2与μ3.
这样的做法有没有问题？
每一个比较都是一个单独的假设检验,每一个都有犯I类错误的风险.所以,比较对数越多,作结论的风险越大。
即容易发现实际不存在的差异。
这称为实验导致的（experimentwise）alpha水平（或族系（familywise）误差）
αEW=1-（1-a）cc=比较对数
对于上述例子,如果选择α=0.05作3对比较
αEW=1-（1-a）c=1-（.95）3=1-.857=.143
I类错误的机会增加到14.7%而不再是5%，多数事后检验设计中都控制了实验导致误差.
这里介绍两个事后检验:
Tukey'sHSD检验（honestly差异显著性）检验和Scheff检验.
a）Tukey'sHSD检验
可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著.
此检验要求各组有相等的样本容量.
HSD=q*sqrt（MS组内/n）
q值可以从表中查出（附表6）.需要用到K和df组内,以及αEW
在上例中（用αEW=.05）:
HSD=q*sqrt（MS组内/n）=（3.77）sqrt（1.33/5）=（3.77）（.516）=1.94
比较1:
H0:
μ1=μ2
2-1=4.0-1.0=3.0
HSD=1.94<3.0，拒绝H0
比较2:
H0:
μ1=μ3
3-1=1.0-1.0=0.0
HSD=1.94>0.0，不能拒绝H0
比较3:
H0:
μ2=μ3
2-3=4.0-1.0=3.0
HSD=1.94<3.0，拒绝H0
所以B与A和C不同，而A与C没有差异
b）ScheffŽ检验
用F比率检验差异.这是最保守的检验（降低I类错误的风险,但增加II类错误的风险）.特别适用于n不等的情况
重新计算MS组间,每次只检验一个比较.注意:
用整体的df组间和整体的MS组内.
研究方法
方法A
只读课本
方法B
只作笔记
方法C
借别人笔记
0
4
1
1
3
2
3
6
2
1
3
0
0
4
0
T1=5
T2=20
T3=5
SS1=6
SS2=6
SS3=4
n1=5
n2=5
n3=5
1=1
2=4
3=1
来源
SS
df
MS
处理间
30
2
15.0
F=11.28
处理内
16
12
1.33
总的
46
14
比较1:
H0:
μ1=μ2
SS组间==52/5+202/5-252/10=22.5
MS组间==22.5/2=11.25
MS组内==16/12=1.33
F比率=MS间=11.25/1.33=8.46MS组内
查F表.α=.05,Fcrit（2,12）=3.88
8.46>3.88,拒绝H0
比较2:
H0:
μ1=μ3
SS组间==+-=0
MS组间==0/2=0
MS组内==16/12=1.33
F比率=MS间=0/1.33=0MS组内
查F表.α=.05,Fcrit（2,12）=3.88
0<3.88,不能拒绝H0
比较3:
H0:
μ2=μ3
SS组间==52/5+202/5-252/10=22.5
MS组间==22.5/2=11.25
MS组内==16/12=1.33
F比率=MS间/MS组内=11.25/1.33=8.46
查F表.α=.05,Fcrit（2,12）=3.88
8.46>3.88,拒绝H0
注意:
与t-检验的关系
差异间独立样本t-检验与两个水平的单因素组间ANOVA有和区别?
没有.F比率=t2
差异间t-检验和ANOVA,t-检验是考察两个均值间的差异ANOVA是考察方差.如果只有两个组,t统计量的平方就是F统计量.
例：
一位研究者研究三种键盘设计。
记录了三组被试的错误次数：
键盘A：
04010
键盘B：
68542
键盘C：
65946
键盘类型对打字错误有无显著的影响？
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