第四单元 正比例与反比例.docx

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第四单元正比例与反比例

第四单元正比例与反比例

教材分析：

我们生活在一个变化的世界中，从数学的角度研究变量和变量之间的关系，将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来。

同时，研究现实世界中的变化规律，也使学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式。

我们知道，函数是研究现实世界变量之间的一个重要模型，函数思想就是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，虽然在小学数学中没有正式引入函数概念与函数关系式，也不需要学生掌握“函数”和“函数思想”的名称，但进行函数思想的渗透的教学是必要的。

国际数学课程发展的趋势也表明，对变量之间关系的探索、描述应从小学阶段非正式地开始，早期对函数的丰富经历是十分重要的。

在小学阶段渗透函数思想，运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析问题的数量关系，可以使学生懂得一切事物都是不断变化且相互联系的，从而了解事物的变化趋势及其运动的规律，可以为学生以后进一步学习数学、物理等知识奠定良好的基础。

本单元的正比例、反比例就是两个重要的函数关系。

其实，在本单元学习之前，学生学习的探索数、形的变化规律，字母表示数等已经为学生积累了研究变量之间关系的经验。

本单元开始正式学习简单的函数知识，学习正比例、反比例后还能帮助学生初步学会从变量的角度来认识以前学过的一些数量关系，运用运动和变化的观点、集合和对应的思想分析问题的数量关系，从而初步体会函数思想。

第一课时变化的量

学习目标：

1、结合具体目标，体会生活中存在着大量互相依存的变量。

2、在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。

学习重点：

结合具体目标，体会生活中存在着大量互相依存的变量。

学习难点：

在具体情境中，尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。

学习准备：

课件

导学过程：

一、温故置疑：

1、观察表中所反映的内容，搞清楚

表中所涉及的量是哪两个量？

2、上表中哪些量在发生变化？

3、说一说妙想6周岁前的体重是如何随年龄增长而变化的？

4、体重一直会随年龄的增长而变化吗？

这说明了什么？

教育学生要合理饮食，适当控制自己的体重。

二、合作交流：

骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化。

观察书上统计图

1、图中所反映的两个变化的量是哪两个？

2、横轴表示什么？

纵轴表示什么？

同桌两人观察并思考，得出结论后，记录在书上，然后再在全班汇报说明。

3、一天中，骆驼的体温最高是多少？

最低是多少？

4、一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？

在什么时间范围内骆驼的体温在下降？

5、第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系？

6、骆驼的体温有什么变化的规律吗？

三、汇报点评：

四、巩固练习：

完成课本40页第1--3题

五、拓展延伸：

你还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系？

它们之间是怎样变化的？

板书设计：

变化的量

（）随着（）变化而变化。

导学反思：

第二课时正比例

（一）

学习目标：

1、利用正比例解决一些简单的生活问题，感受正比例关系在生活

中的广泛应用。

2、能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。

3、结合丰富的事例，认识正比例。

学习重点：

结合丰富的事例，认识正比例。

学习难点：

能根据正比例的意义，判断两个相关联的量是不是成正比例。

学习准备：

课件

导学过程：

一、温故置疑：

1、一种汽车行驶的速度为90千米/小时。

汽车行驶的时间和路程如下：

2、请把下表填写完整。

3、从表中你发现了什么规律？

说说你发现的规律：

路程与时间

的比值（速度）相同。

自学感悟:

完成课本43页第4题

仔细观察：

从表格中你发现了什么规律？

二、合作探究：

结合两个实例，四人小组内说一说：

两个例子有什么共同的特点？

小结：

路程随时间的变化而变化，在变化过程中路程与时间的比值相同；应付的钱数随购买邮票的数量变化而

变化，在变化过程中应付的钱数与数量的比值相同。

汇报点评:

正比例的量的特征：

一个量随另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值相同。

正比例关系：

=k（一定）

三、巩固练习：

判断下面各题中的两个量，是否成正比例，并说明理由。

（1）每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数。

（2）一个人的身高和年龄。

（3）宽不变，长方形的周长与长。

四、拓展延伸：

知识巧记

正比例，好脾气，两量相关要谨记。

同扩同缩好兄弟，比值永远不变异。

板书设计：

正比例

=k（一定）

导学反思：

第三课时正比例

（二）

学习目标：

加深对正比例意义的理解，能正确判断两个相关联的量是不是成正比例。

学习重点：

进一步掌握正比例的意义。

学习难点：

能正确判断两个相关联的量是不是成正比例。

学习准备：

投影

导学过程

一、温故置疑：

1、正比例的意义是什么？

2、如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值（一定），正比例关系可以怎样表示？

3、齐读正比例儿歌。

自学感悟：

“想一想”

（1）正方形的周长与边长成正比例吗？

面积与边长呢？

为什么？

（2）父子的年龄成正比例吗？

为什么？

二、合作探究：

在组内交流以上问题的解决过程。

展示点评：

正方形的周长随边长的变化而变化，并且周长与边长的比值都是4，所以两个量成正比例；正方形的面积虽然也随边长的变化而变化，但面积与边长的比值是一个变化的值，所以两个量不成正比例。

虽然乐乐岁数增加，爸爸岁数也增加，但是乐乐岁数与爸爸岁数的比值不是一个确定的值，所以父子的年龄不成正比例。

三、巩固练习：

判断：

（1）减数一定，被减数和差成正比例。

（2）三角形的底一定，三角形的面积和它的高成正比例。

（3）成正比例的两个量，一种量扩大，另一种量也随着扩大。

四、拓展延伸：

找一找生活中成正比例的例子，并与同伴交流。

板书设计：

正比例

=k（一定）

导学反思：

第四课时画一画

学习目标：

1、在具体情境中，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象。

2、会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，并能在图中根据一个变量的值估计它所对应的变量的值。

3、利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题。

学习重点：

在具体情境中，通过“画一画”的活动，初步认识正比例图象。

学习难点：

利用正比例关系，解决生活中的一些简单问题。

学习准备：

课件

导学过程：

一、自主尝试：

判断下面的量是否成正比例关系？

1、每行人数一定，总人数和行数。

2、长方形的长一定，宽和面积。

3、长方体的底面积一定，体积和高。

4、分子一定，分母和分数值。

5、长方形的周长一定，长和宽。

6、一个自然数和它的倒数。

7、正方形的边长与周长。

8、正方形的边长与面积。

9、圆的半径与周长。

10、圆的面积与半径。

11、什么样的两个量叫做成正比例的量？

二、合作探究：

小组合作完成课本44页例题，重点找出正比例图像的特征。

汇报点评：

小组汇报，集体点评。

三、归纳总结：

1、表示成正比例关系的两个相对应量中的各点在同一直线上，即正比例关系的图像是一条经过原点的直线。

2、从图像中可以直观看到两种量的变化情况。

四、巩固练习:

完成课本45页“练一练”第1、2、题

五、拓展延伸:

完成课本45页“练一练”第3题

板书设计：

画一画

正比例关系的图像是:

一条经过原点的直线。

导学反思：

第五课时反比例

（一）

学习目标：

1、结合丰富的实例，认识反比例。

2、能根据反比例的意义，判断两个相关联的量是不是成反比例。

3、利用反比例解决一些简单的生活问题，感受反比例关系在生活中的广泛应用。

学习重点：

认识反比例，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。

学习难点：

能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是成反比例。

学习准备：

投影

导学过程：

一、温故置疑：

1、什么是正比例的量？

2、判断下面各题中的两种量是否成正比例？

为什么？

（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。

（2）每头奶牛的产奶量一定，奶牛的头数和产奶总量。

（3）正方形的边长和它的面积。

自学感悟：

完成课本46页第3题

仔细观察：

从表格中你发现了什么？

二、合作探究：

结合实例题，四人小组内说一说：

例子中的两个变量关系有什么特点？

汇报点评：

反比例的量的特征：

两种相关联通的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化，并且这两种量中相对应的两个数的乘积是一定的。

这两种量之间是反比例关系。

反比例关系：

X×Y=K（一定）

三、巩固练习：

完成课本47页“试一试”

四、拓展延伸：

想一想：

课本46页第一题中哪对变量关系成反比例？

并说明理由。

板书设计：

反比例

X×Y=K（一定）

导学反思：

第六课时反比例

（二）

学习目标：

加深对反比例意义的理解，能正确判断两个相关联的量是不是成反比例。

学习重点：

加深对反比例意义的理解。

学习难点：

能正确判断两个相关联的量是不是成反比例。

学习准备：

投影

导学过程：

一、温故置疑：

1、反比例的意义是什么？

2、如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的乘积（一定），反比例关系可以怎样表示？

自主尝试：

学生独立完成课本47页第1题

学生独立填表，然后根据表中两种量相对应的数的乘积，判断它们是否成反比例，最后，根据表中的信息回答问题。

二、合作探究：

四人小组订正答案，然后借助表格中数据交流：

在书的总页数不变的情况下，平均每天看的页数和看完全书所需天数是否成反比例，并说明理由。

汇报点评：

根据反比例意义，可以知道：

在书的总页数不变的情况下，平均每天看的页数和看完全书所需天数成反比例。

三、巩固练习：

判断两种量是否成反比例。

（1）分子一定，分数值和分母。

（2）生产摩托车的总数量一定，每天生产的辆数和所用的天数。

（3）出勤率一定，应出勤的人数和实际出勤的人数。

四、拓展延伸：

找一找生活中成反比例的例子，并与同伴交流。

板书设计：

反比例

X×Y=K（一定）

导学反思：

第七课时练习四

学习目标：

1、通过具体问题进一步认识成正比例、反比例的量。

2、能找出生活中成正比例和反比例量的实例，并进行交流。

学习重点：

判断实例是否成比例，成什么比例。

学习难点：

生活中比例知识的应用。

学习准备：

投影、课件

导学过程：

一、温故置疑：

1、什么是正比例？

什么是反比例？

2、正比例和反比例的相同点和区别是什么？

3、正比例和反比例的图像是什么？

自主尝试：

独立完成“练习四”第1、2、3题

二、合作交流：

在组内交流每个题的解答过程。

汇报点评：

分组汇报解答过程以及小组存在的问题。

第3题

（1），每块地砖的面积和所需地砖的数量，这两个相关联的变量，它们的乘积（地面面积）一定，所以它们成反比例。

三、巩固练习：

完成“练习四”第4、5题

学生分析图像，根据信息逐一解决各问题。

四、拓展延伸：

＝

（x，y不为0），x和y是否成比例？

成什么比例？

板书设计：

练习四

正比例

=k（一定）

反比例x×y=K（一定）

导学反思：

第八课时绘制校园平面图

学习目标：

1、在实践活动中巩固比例知识，同时能灵活运用比例知识解决简单的实际问题。

2、通过“测一测”“问一问”等活动，引导学生探索解决简单实际问题的方法，培养学生的实际操作能力和实践活动能力。

3、在活动中培养学生的团结协作精神，鼓励学生观察和认识周围事物中所包含的数学知识，使学生感受到数学与现实生活的密切联系。

学习重点：

综合利用方向与位置，长度单位，常见平面图形，对称，比例尺等知识，体验绘制校园平面图的过程。

学习难点：

会确定参照方向，能以确定的参照方向为标准化出某个场所的简单示意图。

学习准备：

课件，记录本，卷尺

导学过程：

一、合作探究：

1、明确活动任务

绘制校园平面图

2、设计方案

1、观察教材第51页两张平面图，说说这些平面图有什么共同的地方。

2、想一想，绘制校园平面图前，要先做哪些方面的准备？

A、在校园平面图中需要绘制哪些主要建筑物？

B、需要收集哪些数据？

如何收集这些数据呢？

C、如何确定这幅图的比例尺呢？

3、设计绘制校园平面图的活动方案，包括主要步骤和分工。

4、实地测量并记录。

5、绘制校园平面图

汇报点评：

1、按小组展示绘制的平面图。

2、在这个活动中，我们运用了哪些知识？

采用了哪些方法？

3、利用所绘制的校园平面图，可以帮助人们解决什么问题？

板书设计：

绘制校园平面图

主要步骤：

1、确定主要建筑

2、绘制校园围墙的形状。

3、各建筑的平面大小和形状、各建筑间的距离及在校园内的分布情况。

4、确定平面图的外围大小。

5、算出比例尺。

6、确定各建筑在平面图上的大小、形状。

7、绘制出各建筑在平面图上的位置，添加图名。

8、实地验证，完善平面图。

9、绘制正确的校园平面图

导学反思：

第九课时神奇的莫比乌斯带

学习目标：

1、引导学生在对比探究中认识莫比乌斯带，使学生会将长方形纸条制成莫比乌斯带。

2、引导学生通过思考、操作发现并验证莫比乌斯带的特征，体验“猜想、验证、探究”的数学思想方法，培养学生大胆猜测，勇于探究的求索精神。

3、让学生经历猜想与现实的冲突，感受“神奇的纸环”的神奇变化，在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的神奇魅力，进一步激发学生学习数学的兴趣，培养学生良好的数学情感。

学习重点：

用长方形纸条制作莫比乌斯带。

学习难点：

沿着莫比乌斯带的中线剪开后得到的形状。

学习准备：

课件，剪刀，水彩笔和若干长方形纸条。

导学过程：

一、情景导入:

同学们，你们喜欢看魔术吗？

今天老师就带来了一个魔术，想看吗？

（板书课题）

自学感悟:

课件出示教材第54页主题图。

在纸环的内侧有一点面包屑，外面有一只蚂蚁，如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，它能吃到面包屑吗？

二、合作探究:

活动一：

认识莫比乌斯带

1、制作圆环纸带。

摸一摸纸环有几个面几条边？

2、制作莫比乌斯带。

尝试制作只有一条边、一个面的纸环。

汇报点评:

1、怎样制作只有一条边、一个面的纸环？

纸带一端不动，另一端扭转180°然后再把两头粘贴好。

2、用彩笔在纸环中间画一画，验证这个纸环只有一条边一个面。

三、巩固练习：

活动二：

研究莫比乌斯带：

1、剪莫比乌斯带（二分之一）先猜测结果，再动手剪一剪。

2、剪莫比乌斯带（三分之一）先猜测结果，再动手剪一剪。

四、拓展延伸：

如果不是旋转180°而是更多的度数，或者沿四分之一的宽度剪开莫比乌斯带又会有什么新的发现呢？

大家不妨先猜测，再动手试试，最后验证你们的猜测！

板书设计：

神奇的莫比乌斯带

（贴莫比乌斯带）

导学反思：

第十课时可爱的小猫

学习目标：

1、通过操作活动，体会图形的相似，感受数对中的两个数都扩大相同的倍数，所形成的图形与原来的图形才相似。

2、提高学生观察，分析问题及动手操作的能力。

3、激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

学习重点：

能在方格纸上按一定的比将简单图形进行放大或缩小。

学习难点：

体会图形的相似。

学习准备：

课件

导学过程：

一、自主尝试：

课件出示第56页主题图

独立完成其中的第一个问题

二、合作探究：

1、订正第一个问题的答案。

2、观察第二个问题中的表格，讨论：

天天，晶晶，欢欢点对应的数对和乐乐的点对应的数对之间有什么关系？

3、把教材第56页的表格补全。

4、根据表格中的数据，在方格纸中分别画出三只小猫的轮廓。

汇报点评：

1、按组展示方格纸中天天，晶晶，欢欢的轮廓。

2、大家是怎样画的？

A、根据表格中的表示每只小猫轮廓的点的数对，在方格中描出各数对表示的点。

B、再按照字母顺序依次连接起来。

C、还要画出眼睛，鼻子和嘴巴

3、哪只小猫和乐乐最像？

为什么？

（小结：

数对中的两个数都扩大或缩小相同的倍数，得到的新图形与原来的图形相似。

）

三、巩固练习：

课本第57页“试一试”

板书设计：

可爱的小猫

（X÷2，Y÷2）（X,Y）（X×2，Y×2）

导学反思：

第十一课时整理与复习

学习目标：

1、通过整理与复习，加深对圆柱和圆锥、图形的运动相关知识的理解与掌握。

结合学生的实际情况，引导学生自主地将所学的知识进行整理，归纳和反思。

2、提高学生整理知识的能力，发展学生提出问题和解决问题的能力。

学习重点：

进一步培养学生利用所学知识解决实际问题的能力。

学习难点：

教会学生自己总结和整理以前学过的知识。

学习准备：

课件

导学过程：

一、自主尝试：

1、将所学的知识进行梳理；理出知识内容之间的前后联系，并将整理的内容写下来。

2、根据学到的知识，你能提出什么问题？

合作交流：

1、在组内交流整理的内容。

2、组内尝试解决自己所提的问题。

汇报点评：

结合小组的汇报，帮助学生总结内容的呈现形式：

可以采用列举（如正比例和反比例的应用，可以列举一些解决问题的实例）、表格或网络图等呈现形式。

对于学生所做的好的总结，应加以评价并请学生介绍整理总结的方法。

二、巩固练习：

1、学生独立完成第1、2题。

小组订正。

2、小组合作完成第5题

提示：

要先根据高与底面半径的比求出高的长度。

3、完成第3题

学生先独立尝试解决，再反馈交流。

4、完成第4题

提示：

通风管没有底面，只要求侧面积就可以了。

三、拓展延伸：

完成第5——14题

沙漏下部沙子的体积可以用大圆锥的体积减去小圆锥的体积。

板书设计：

整理与复习

S表==S侧+2S底

V柱==S底h

V锥==1/3S底h

正比例

=k（一定）

反比例x×y=K（一定）

导学反思：