第四章 轴测图.docx

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第四章轴测图

第四章轴测图

【学习目的】通过对本章知识的学习，掌握轴测图的性质，熟练掌握各类常见轴测图的基本画法和识读，学会运用轴测图来辅助理解视图。

【学习要点】轴测图的基本概念、分类和轴测图的基本性质，绘制正等轴测图和正面斜二轴测图的步骤和方法。

第一节轴测投影的基本知识

一、视图与轴测图

视图的优点是表达准确、清晰，作图简便，其不足是缺乏立体感。

轴测图的优点是直观性强，立体感明显，但不适合表达复杂形状的物体，也不能放映物体的实际形状，如图4-1所示。

在工程实践中，视图能较好地满足图示的要求，因此工程图的表达一般用视图来表达，而轴测图则用作辅助图样。

二、轴测图的形成

如图4-1（a）所示为轴测图的形成过程，将物体连同其坐标轴OX1、OY1、OZ1一起投影到轴测投影面P上（轴测投影方向S不平行于任一坐标面），所得的投影图称为轴测图。

OX、OY、OZ称为轴测轴，是物体上的坐标轴在轴测投影面上的投影。

轴测图反映物体的长、宽、高三个方向的尺寸。

（a）（b）

图4-1轴测图与正投影图的形成

三、轴测图的分类

（1）按投影方向分为正轴测图和鞋轴测图两类：

当投影方向S垂直于轴测投影面P时，称为正轴测图；

当投影方向S倾斜于轴测投影面P时，称为斜轴测图；

（2）按轴向变形系数是否相等分为两类：

p＝q＝r，称为正（或斜）等测图；

p＝r≠q，称为斜（或正）二测图；

本章着重介绍工程上常用的正等测图和斜二测图的画法。

四、轴间角和轴向伸缩系数

（1）轴间角：

轴测轴之间的夹角，如∠XOZ、∠ZOY、∠YOX称为轴间角。

（2）轴向伸缩系数：

轴测图上沿轴方向的线段长度与物体上沿对应的坐标轴方向同一线段长度之比，称为轴向伸缩系数。

OX、OY、OZ的轴向伸缩系数分别用p、q、r表示，即p=OX/O1X1；q=OY/O1Y1；r=OZ/O1Z1。

正等测图的轴间角为∠XOZ=∠ZOY=∠YOX=120。

。

正等测图的轴向伸缩系数为p＝q＝r＝1，见表4-1所示。

斜二测图的轴间角为∠XOZ=∠ZOY=135。

，∠YOX=90。

。

斜二测图的轴向伸缩系数为p＝r＝1，q＝0.5，见表4-1所示。

表4-1正等测图和斜二测图的轴间角与轴向伸缩系数

五、轴测图的基本特性

（1）平行性。

物体上互相平行的线段，在轴测图上仍然互相平行；物体上平行于投影轴的线段，在轴测图中平行于相应的轴测轴。

（2）等比性。

物体上互相平行的线段，在轴测图中具有相同的轴向伸缩系数；物体上平行于投影轴的线段，在轴测图中与相应的轴测轴有相同的轴向伸缩系数。

（3）真实性。

物体上平行于轴测投影面的平面，在轴测图中反映实形。

第二节平面体轴测图的画法

一、平面体正等测图的画法

画轴测图常用的方法有：

坐标法、特征面法、叠加法和切割法。

其中坐标法是最基本的画法，而其他方法都是根据物体的形体特点对坐标法的灵活运用。

（一）坐标法

按坐标值确定平面体各特征点的轴测投影，然后连线成物体的轴测图，这种作图方法称为坐标法。

坐标法是画轴测图的基本方法，其它作图方法都是以坐标法为基础。

【例4-1】如图4-2（a）所示，已知正六棱台的两面投影，作正六棱台的正等轴测图。

【分析】正六棱台是由上下底面12个顶点连接而成。

利用坐标法找到12个点在轴测图中的位置，然后依次连接即可得到正六棱台的轴测图。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-2（a）所示。

（2）画下底面。

先画X、Y、Z建立三条轴测轴，然后从O点开始沿着X轴的方向分别量取X1、X2和X3三个长度尺寸，在Y轴上分别向前后两个方向各量取Y1宽度尺寸，找到了六棱台底面的六个顶点，如图4-2（b）所示。

（3）画上底面。

从O点沿着Z轴的方向量取Z1找到A点，从A点沿着平行于X轴的方向分别量取X1、X2、X4和X5，沿着平行于Y轴的方向分别向前后各量取Y2宽度尺寸，找到六棱台顶面上的六个顶点，如图4-2（c）所示。

（3）连棱线。

将上下底面对应多边形的顶点连起来，即为六条棱线，擦去不可见轮廓线，加粗图线，即完成六棱台轴测图的作图，如图4-2（d）所示。

（a）（b）

（c）（d）

图4-2作正六棱台的正等测图

（二）特征面法

特征面法适用于绘制柱类形体的轴测图。

先画出柱类形体的一个底面（特征面），然后过底面多边形顶点作同一轴测轴的平行且相等的棱线，再画出另一底面，这种方法称为特征面法。

【例4-2】如图4-3（a）所示，已知一段渡槽的两面投影，作出这段渡槽的正等轴测图。

【分析】渡槽的横断面是一个柱体，底面是一个十六边形的多边形，是渡槽的特征面，可根据特征面法作轴测图。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-3（a）所示。

（2）画特征面。

建立X、Y、Z轴测轴，然后从O点沿着Y轴向前后方向各量取Y1、Y2、Y3和Y4四个宽度尺寸，沿着Z轴向上量取Z1、Z2、Z3和Z4分四个高度尺寸，绘制出渡槽的特征底面。

如图4-3（b）所示。

（3）画棱线。

从特征面多边形的顶点分别向平行于X轴方向画X1长度的棱线，如图4-3（c）所示。

（b）

（a）

（4）画另一底面。

连接棱线上各端点，即得底面，擦去不可见棱线和底面边线，加粗图线，完成作图，如图4-3（d）所示。

（c）（d）

图4-3作渡槽的正等测图

（三）叠加法

适用于画组合体的轴测图，先将组合体分解成几个基本体，据基本体组合的相对位置关系，按照先下后上、先后再前的方法叠加画出轴测图。

这种方法称为叠加法。

【例4-3】如图4-4（a）所示，已知独立基础的两面投影，作独立基础的正等轴测图。

【分析】独立基础是由三个等高的四棱柱叠加而成，符合叠加法作图特点，可以先下后中再上来绘制轴测图，注意绘制时三个四棱柱的定位。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-4（a）所示。

（2）绘制最下面的四棱柱。

建立X、Y、Z轴测轴，然后从O点沿着Y轴分别向前后方各量取Y3宽度尺寸，沿着X轴分别向左右方各量取X3长度尺寸，沿着Z轴向上量取Z高度尺寸，画出最下面的四棱柱，同时找到A点，如图4-4（b）所示。

（3）绘制中间的四棱柱。

从A点沿着Y轴分别向前后方量取Y2宽度尺寸，沿着X轴向左右方各量取X2长度尺寸，沿着Z轴向上量取Z高度尺寸，画出中间的四棱柱，同时找到B点，并且将最下面的四棱柱被遮住的轮廓线擦掉，如图4-4（c）所示。

（4）绘制最上面的四棱柱。

从B点沿着Y轴分别向前后方量取Y1宽度尺寸，沿着X轴向左和向右各量取X1长度尺寸，沿着Z轴向上量取Z高度尺寸，画出最上面的四棱柱，擦掉不可见的棱线和作图辅助线，加粗图线，完成作图，如图4-4（d）所示。

（a）（b）

（c）（d）

图4-4作柱下独立基础的正等测图

（四）切割法

对于切割而成的形体画轴测图，宜先画出被切割物体的原体，然后依次画出被切割的部分，这种方法称为切割法，用切割法作图时要注意切割位置的确定。

【例4-4】如图4-5（a）所示，已知切割体的两面投影，作这个形体的正等轴测图。

【分析】该形体是由一个四棱柱切割掉两个小四棱柱而成。

应先画出原体再画被切割掉的形体。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-5（a）所示。

（2）画原体。

建立X、Y、Z轴测轴，然后从O点沿着Y轴向后量取Y3宽度尺寸，沿着X轴向左量取X3长度尺寸，沿着Z轴向上量取Z2高度尺寸，绘制出四棱柱原体，如图4-5（b）所示。

（3）画被切割的前上方部分。

从O点沿着Y轴向后量取Y2宽度尺寸找到切割的位置，切割体的长度与原体一样长，沿着Z轴向上量取Z1高度尺寸找到切割位置，绘出要被切割掉的第一个四棱柱，如图4-5（c）所示。

（4））画前上方被切割的四棱柱。

从O点沿着Y轴向后量取Y1长度找到切割位置，沿着X轴向左量取X1长度和X2长度找到切割位置，切割体高度与原体高度相同，绘出被切割的第二个四棱柱，如图4-5（d）所示，擦掉作图辅助线，加粗图线，完成作图如图4-5（e）所示。

（a）（b）

（c）（d）（e）

图4-5作切割体的正等测图

二、平面体斜二轴测图的画法

斜二测图的作图方法与正等测图相同，轴间角和轴向伸缩系数不同，由于斜二测图的X1Y1Z1坐标面平行于轴测投影面，所以斜二测图所有平行于正面的平面均为实形。

本节以特征面法和叠加法为例讲解斜二测图画法。

【例4-5】如图4-6（a）所示，已知挡土墙的两面投影，用斜二测图法作挡土墙的轴测图。

【分析】挡土墙可以看成由两个部分叠加而成，一个部分是直十棱柱，另一个部分是直三棱柱。

先用特征面法画出直十棱柱的斜二测轴测图，再用叠加法绘制叠加的三棱柱，绘制过程中要注意Y轴方向的轴向伸缩系数是0.5。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-6（a）所示。

（2）画特征面。

建立X、Y、Z轴测轴，然后从O点沿着X轴向左量取X1、X2和X3三个长度尺寸，沿着Z轴向上量取Z1、Z2和Z3三个高度尺寸，绘制直十棱柱的特征底面，如图4-6（b）所示。

（3）画棱线。

从特征图形的各顶点作平行于Y轴向后画Y3/2宽度尺寸，如图4-6c所示。

然后将棱线的各端点连接为另一特征底面，擦掉不可见的部分，如图4-6（d）所示。

（4）画三棱柱。

从O点沿着Y轴向后量取Y1/2找到叠加三棱柱的位置作平行于轴测面的三角形，如图4-6（d）所示。

再画出叠加的三棱柱，擦掉被遮住的棱线和底面边线，加粗图线，完成作图，如图4-6（e）所示。

（a）（b）（c）

（d）（e）

图4-6作挡土墙的正面斜二测图

柱类形体底面为特征面，棱线平行且相等，此类形体的立体图可以用斜二测图方法徒手画草图。

下面举例介绍徒手画轴测图。

【例4-6】如图4-7a所示，已知T型梁的两面投影，试徒手作出这个T型梁的正面斜二轴测草图。

【分析】这个T型梁是一个柱体结构，特征面形状为一个八边形。

绘制时用特征面法来画，由于我们画的是草图，所以在画的过程中，各尺寸画近似尺寸，草图近似满足斜二测图的基本参数。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-7（a）所示。

（2）画特征面。

将X、Y、Z轴测轴的方向大概定出，然后从O开始画，先画出T型梁底面的特征形状，如图4-7（b）所示。

（3）画棱线和底面。

从特征面的各顶点沿着X轴方向画出这段梁的可见棱线，将另外一个底面上可见的轮廓线连接起来，如图4-7（c）所示。

（a）（b）（c）

图4-7徒手作T型梁的正面斜二测草图

第三节曲面体轴测图的画法

一、曲面体正等测图画法

（一）圆的正等测图

平行于坐标面的圆的正等轴测图都是椭圆，如图4-8所示，在绘制的时候一般是用四段圆弧来近似代替，这种绘制近似椭圆的方法称为四心圆法。

下面以水平圆为例讲解近似椭圆的画法：

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-9（a）所示。

（1）先画对应的轴测轴方向，接着绘制水平圆的外切正方形的轴测图（是菱形），如图4-9（b）所示。

（2）找到四边的中点，即A、B、C、D四点，如图4-9（c）所示。

（3）找出四段圆弧的圆心，即1、2、3、4四点，如图4-9（d）所示。

（4）以1点为圆心，1A为半径作圆弧；以2点为圆心2B为半径作圆弧；以3点为圆心，3A为半径作圆弧；以4点为圆心，4C为半径作圆弧，四段圆弧相切连接，擦掉多余的弧线，加粗图线，作图完成，如图4-9d所示。

平行于另外两个投影面的圆的正等测图画法和水平圆的画法是一样的，只不过所对应的轴测轴不一样，得到的椭圆方向不一样。

（b）

（a）

图4-8平行坐标面的圆的正等测图

（c）（d）

图4-9作水平圆的正等测图

（二）圆角的正等测图

在工程中常常会出现板结构或柱结构进行倒圆角的情况，一般都是1/4圆角，圆角的轴测图画法和前面所讲的过程是一致的，只是画近似椭圆的时候，不需要将4段圆弧都画出来，每个圆角部位只需选择某一段圆弧就可以，下面举例讲解。

【例4-7】如图4-10（a）所示，已知组合柱的两面投影，作正等测图。

【分析】组合柱的原体是一个比较矮的四棱柱，其左右两个角倒了圆角，每个圆角都是1/4圆柱体。

在绘制的时候，四棱柱的正等测图比较好画，关键绘制两个角上的1/4圆弧。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-10（a）所示。

（2）画下底面。

建立X、Y、Z轴测轴，画出四棱柱底面的轴测图，再画菱形，找到切点A、B、C、D的位置和圆心1、4的位置，如图4-10（b）所示。

（3）画上底面。

从需要定位的各点（如圆心和切点等）沿Z轴向上画出板厚的高度，以便找到另外一个底面上的圆心、切点和顶点等位置，如图4-10（c）所示。

画下底面直线和圆弧，作两个底面圆弧的公切素线，擦掉作图辅助线和不可见棱线和底面边线，加粗图线，完成作图，如图4-10（d）所示。

（a）（b）

（c）（d）

图4-10作板的正等测图

（三）曲面体的正等测图

曲面体正等测图画法与平面体相似，曲面体多为圆柱体，作圆柱体的轴测图只需先绘制两个底面的圆的轴测图，再画出公切素线就可以了。

【例4-8】如图4-11（a）所示，已知一个竖放的圆柱体的两面投影，作出这个圆柱体的正等测图。

【分析】这个圆柱体是竖放的，两个底面都是水平圆，其轴测图都是全等的椭圆。

在绘制的时候可以先将两个底面的水平圆的轴测图，再画两个椭圆的公切素线。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-11（a）所示。

（2）画下底面圆。

建立X、Y、Z轴测轴，绘制出圆柱体底面水平圆外切正方形的轴测图，并找到A、B、C、D四个切点的位置和1、2、3、4四个圆心的位置，如图4-11（b）所示。

（3）画上底面圆。

从需要定位的各点（如圆心和切点等）沿Z轴向上找到圆柱体的高度，以便找到另外一个底面上的圆心和切点等位置，如图4-11（c）所示。

底面上的四段圆弧画出，作两个底面上水平圆的公切素线，擦掉不可见圆周线，加粗图线，完成作图，如图4-11（d）所示。

（a）（b）（c）

（d）

图4-11作圆柱体的正等测图

【例4-9】如图4-12（a）所示，已知涵洞的三面投影，作涵洞的正等轴测图。

【分析】涵洞可以看成两个柱体叠加而成。

一个是十二棱柱，特征面是一个十二边形，另一个是半圆环柱，叠加在十二棱柱的上方。

在绘制涵洞的轴测图时，应先绘制十二棱柱和半圆环柱的特征面形状，然后画出棱线，最后连接另一特征面。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-12（a）所示。

（2）画十二边线特征面。

建立X、Y、Z轴测轴，然后从O点沿Y轴向正负方向量取Y1、Y2、Y3和R1四个宽度尺寸，沿着Z轴向上量取Z1和Z2两个高度尺寸，绘制出十二棱柱的特征底面，如图4-12（b）所示。

（3）画半圆环柱特征面。

由Z2高度位置找到半圆环柱的圆心位置，然后向上、下、前、后四个方向各量取R1长度作棱形，找到圆弧的两个圆心点1、2和三个切点A、B、C点的位置，以1B为半径作圆弧，以2点为圆心，2B为半径作圆弧，得到半圆环柱外圆所对应的底面特征形状，如图4-12（c）所示。

（4）同理，用此方法作半圆环柱内圆底面特征形状，如图4-12（d）所示。

（b）

（a）

（5）同理，用此方法作出半圆环柱所对应的另外一个底面的特征形状。

然后将外表面的公切素线连接起来，并且从需要定位的各点沿X轴向右绘制这段涵洞长度的棱线，将不可见线条和作图辅助线擦掉，加粗轮廓，完成作图，如图4-12（e）所示。

（c）（d）

（e）

图4-12作涵洞的正等测图

二、曲面体斜二测图画法

（一）圆的斜二测图

前面介绍了圆的正等测图的画法，是用四段圆弧近似代替椭圆。

在正面斜二测图中，正平圆反映实形，可以直接画出，而水平圆和侧平圆反映椭圆。

因斜二测图中，OY轴的伸缩系数是0.5，所以在画近似椭圆时，不能再用四心圆法，而是用八点法或坐标法来绘制。

这里以水平圆为例讲解八点法画近似椭圆：

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-13（a）所示。

（2）作水平圆外切正方形的轴测图。

确定原点位置和对应的轴测轴方向，从点O沿X轴向左右方各量取圆的半径长度，得点A和B；沿Y轴向前后方各量取圆半径长度的一半，得点C和D，然后过点A、B、C、D分别作X轴和Y轴的平行线，得到一个平行四边形，如图4-13（b）所示。

（3）作八个点。

作平行四边形的两条对角线；过平行四边形左上角点作45°方向斜线，反向延长OY轴交斜线于N点；以D点为圆心，DN为半径画弧，与平行四边形的边相交得点H和L；过点H和L分别作Y轴的平行线HQ和LR，与平行四边形的两对角线交得点E、F和S、G点，如图4-13（c）所示。

连接点D、E、A、F、C、G、B、S点即为椭圆。

完成作图，如图4-13（d）所示。

（a）（b）

（c）（d）

图4-13作水平圆的斜二测图

（二）曲面体斜二测图画法举例

【例4-10】如图4-14a所示，已知闸墩的两面投影，作闸墩的斜二测图。

【分析】闸墩是一个叠加和切割的综合体。

主体是四棱柱，中间部分前后各切割一个四棱柱，右侧切割一个四棱柱，主体左右两侧各叠加一个半圆柱。

先用特征面法绘制主体的四棱柱和切割的三个四棱柱，在左右两侧用八点法各绘制一个半圆柱与其叠加。

【作图步骤】

（1）在视图上确定各坐标轴，如图4-14（a）所示。

（2）画主体切割后的形体。

建立X、Y、Z轴测轴，从O点沿X轴向右量取X1、X2、X3和X4四个长度，沿Z轴向上量取Z1和Z2两个高度，沿Y轴向前后方各量取X5|2和Y1/2两个宽度，绘制出六棱柱和它上面切割掉的两个四棱柱的形状，如图4-14（b）所示。

（3）半圆柱体上底面轴测图。

从O点沿Z轴向上量取Z2高度找到左侧半圆柱一个底面上的圆心位置O1。

然后用前面介绍的八点法找到椭圆的八个点，即点1、2、3、4、5、6、7和8，将其中的3、2、1、8、7五个点依次连接就可以得到半圆柱体上底面的轴测图，如图4-14（c）所示。

（4）半圆柱体下底面轴测图。

分别从3、2、1、8、7五个点向下作Z2高度的竖线，找到在下底面上需要用到的五个点，然后将其这五个点连接成半椭圆，就可以得到半圆柱体下底面的轴测图，如图4-14（d）所示。

（4）同理，用此方法作出四棱柱右侧叠加的半圆柱的两个底面上的半圆的轴测图，如图4-14（e）所示。

（5）作半圆柱的公切素线，擦掉叠加后相切的面的交线，擦掉作图辅助线，加粗图线，完成作图，如图4-14（f）所示。

（b）

（a）

（c）（d）

（e）（f）

图4-14作水闸闸墩的斜二测图

【复习思考题】

1．轴测图是用平行投影法得到的吗？

它只能反映物体任意两个方向的尺寸吗？

2．正等测图的轴间角是多少？

轴向伸缩系数是多少？

3．正面斜二测图的轴间角是多少？

轴向伸缩系数是多少？

4．轴测图的基本性质是什么？

在画图时是否一定要满足这些性质？

（b）

5．平行于H面、V面和W面的圆的正等测图各是什么形状？

斜二测图又各是什么形状？