整理专项练习51求过一点的切线方程配套精选卷.docx

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整理专项练习51求过一点的切线方程配套精选卷

《作业推荐》—求过一点的切线方程专题篇

一、单选题

1、过点且与曲线相切的切线方程是（）

AB

CD

【答案】C

【解析】设出切点坐标，利用导数几何意义得切线方程的斜率，从而得到切线的方程是含的方程，再把的坐标代入切线方程求出的值

【详解】

设切点坐标，切线的斜率，

所以切线方程为，把的坐标代入切线方程得：

，

所以切线的方程为：

，即

2、设函数，若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为（）．

AB

CD或

【答案】D

【解析】，依题意，有：

，

解得：

或．选D

3、若直线经过点（8，3），且与曲线相切，则直线的斜率为（）

ABC或D或

【答案】C

【解析】设切点，根据导数的几何意义，表示出切线方程为，代入（8，3）求出的值，即可求解。

【详解】

由题意得，设切点，

，

所以切线为，

又过（8，3），代入可得，

解得或

所以斜率或，故选C

【点睛】

本题考查“过”点型切线问题，要点在于设出切点，求出切线，再代入所过的点，考查学生对基础知识的掌握水平，属基础题。

4、已知函数,直线过点且与曲线相切,则切点的横坐标为

AB1C2D

【答案】B

【解析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，﹣e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标．

【详解】

由f（）＝e2﹣1，得f′（）＝2e2﹣1，

设切点为（），则f′（0），

∴曲线＝f（）在切点处的切线方程为（﹣）．

把点（0，﹣e）代入，得﹣e，

即，两边取对数，得（）n（）﹣1＝0．

令g（）＝（2﹣1）n（2﹣1）﹣1，

显然函数g（）为（，∞）上的增函数，又g

（1）＝0，

∴＝1，即＝1．

故选：

B．

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．

5、过点O（1，0）作函数f（）＝e的切线，则切线方程为（）

A＝e2（－1）

B＝e（－1）

C＝e2（－1）或＝e（－1）

D＝－1

【答案】A

【解析】由线=e，得′=e，

设切点为，则，

∴切线方程为，

∵切线过点（1，0），

∴，

解得：

0=2．

∴切线方程为﹣e2=e2（﹣2），整理得：

e2﹣﹣e2=0．

故答案为：

＝e2（－1）．

点睛：

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：

设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：

．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

6、已知直线与曲线相切，则（）

ABCD

【答案】A

【解析】设切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程,然后和已知切线方程=1对应系数相等，即可得到值

【详解】∵＝n，∴′＝f′（）＝，

设切点为（m，nm），得切线的斜率为＝f′（m）＝，

即曲线在点（m，nm）处的切线方程为：

﹣nm＝（﹣m），即＝nm﹣1，

∵直线＝1是曲线的切线，

∴＝，且nm﹣1＝1，

即nm＝2，则m＝e2，

则＝．

故选：

A．

【点睛】本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标是解决本题的关键．

7、已知二次涵数,过点作直线与的图象相切于两点,则直线（）

A过定点B过定点

C过定点D过定点

【答案】B

【解析】试题分析：

由图可知，切线的斜率存在，设斜率为，切线方程为，联立直线的方程和二次函数的方程并化简得，判别式，设切点为，则切线方程为不妨设则，由，由，故，直线过设，则，求得切点为，直线也过，故选B．

考点：

导数与切线．

【思路点晴】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线切线问题由于本题是一个选择题，我们采用特殊值的方法，首先设出切线方程，联立直线的方程和二次函数的方程并化简，并求其判别式，可得到两者的关系，令，求出，可求得两个切点的坐标为，这条直线过，为了确保答案正确，再取，用同样的方法求得切点为，此时直线也过，故选B

8、已知，如果过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是

AB

CD

【答案】B

【解析】分别在在上和不在上两种情况来讨论；当在上时，可验证出不为切点不合题意；当不在上时，将问题转化为与有三个不同交点；利用导数研究的图象，得到极值，从而根据交点个数可求得的范围

【详解】

由题意得：

①若点在上，得：

当为切点时，可得切线方程为：

，即：

当不为切点时，设切点坐标为

则，整理得：

即：

，解得：

，不合题意，舍去

点在上不合题意

②点不在上，则不为切点

设切点坐标为：

，整理得：

设

则过点可作曲线的三条切线等价于与有三个不同交点

由可得：

在，上单调递减；在上单调递增

的极小值：

；当时，

若与有三个不同交点，则

即：

当时，过点可作曲线的三条切线

综上所述：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查根据切线的条数求解参数范围的问题，关键是能够通过等价转化将问题转变为平行于轴的直线与曲线的交点个数问题，利用导数研究曲线的大致图象，通过数形结合的方式求得结果

二、填空题

9、已知某曲线的方程为，则过点且与该曲线相切的直线方程为　　　　　　．

【答案】或

【解析】设切点为（0，0），则0=022，由于直线经过,

∴m-a3-3a=3a2-31-a,

即2a3-3a2=-3-m

∵过点A1,m可作曲线=f的两条切线,

∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根

令g=23-32,

∴g'=62-6

令g'=0,解得=0或=1,

当0,当01时,g'>0,

∴g在-∞,0内单调递增,在0,1内单调递减,在1,∞内单调递增,

∴当=0时,g取得极大值g0=0,当=1时,g取得极小值g1=-1

关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于=g与=-3-m的图象有两个不同的交点,

∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,

∴实数m的值是-3或-2

13、若曲线与直线满足：

①与在某点处相切；②曲线在附近位于直线的异侧，则称曲线与直线“切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有　　　　　　　　．（填写相应的编号）

①与②与③与

④与⑤与

【答案】①④⑤

【解析】理解新定义的意义，借助导数的几何意义逐一进行判断推理，即可得到答案。

【详解】

对于①，，所以是曲线在点处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；

对于②，因为，所以不是曲线：

在点处的切线，②错误；

对于③，,，在的切线为，画图可知曲线在点附近位于直线的同侧，③错误；

对于④，，在点处的切线为，画图可知曲线：

在点附近位于直线的两侧，④正确；

对于⑤，，，在点处的切线为，图可知曲线：

在点附近位于直线的两侧，⑤正确．

【点睛】

本题以新定义的形式对曲线在某点处的切线的几何意义进行全方位的考查，解题的关键是已知切线方程求出切点，并对初等函数的图像熟悉，属于中档题。

三、解答题

14、已知函数

（1）求曲线在点处的切线的方程；

（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标

【答案】1；2；切点坐标，

【解析】

（1）求出原函数的导函数，得到函数在＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；

（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．

【详解】

（1）可判定点在曲线上

∵

∴在点处的切线的斜率为

∴切线的方程为，即

（2）设切点坐标为，则

直线的斜率为，，

∴直线的方程为

又∵直线过坐标点，∴，

整理得，，∴，

∴，得切点坐标，

，∴直线的方程为

【点睛】

本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．

15、已知函数。

（1）求这个函数图像垂直于直线的切线方程；

（2）求这个函数图像过点的切线方程。

【答案】

（1）；

（2）或

【解析】

（1）求出导函数，由切线斜率求得切点坐标，从而得切线方程；

（2）设切点坐标为，由切点坐标写出切线方程，代入点的坐标，从而求得切点。

【详解】

（1）设，则，

∵切线与垂直，∴切线斜率为1，

∴，，，即切点为

∴切线方程为；

（2）设切点为，由

（1），

切线方程为，

∵切线过点，

∴，

解得或，

∵切线方程为或，即或

【点睛】

本题考查导数几何意义．求切线方程有两种情形：

一种是已知切点，则切线方程为，

另一种是已知切线过点，则设切点为，切线方程为，代入后求出切线，得切线方程．

16、已知曲线

1求曲线在点P2,4处的切线方程；

2求曲线过点P2,4的切线方程；

3求斜率为1的曲线的切线方程．

【答案】

（1）4－－4＝0；

（2）－＋2＝0或4－－4＝0；（3）－＋2＝0或3－3＋2＝0

【解析】试题分析：

（1）求曲线在某点处的切线，只要求出导函数，则切线方程为；

（2））求曲线过某点的切线，需要设切点为，求出导函数，写出切线方程为，代入点求得即可；

（3）求斜率为的切线方程，可解方程，求出切点，再得切线方程．

试题解析：

1∵P2,4在曲线＝3＋上，且′＝2，

∴在点P2,4处的切线的斜率为′|＝2＝4

∴曲线在点P2,4处的切线方程为－4＝4－2，

即4－－4＝0

2设曲线＝3＋与过点P2,4的切线相切于点A，则切线的斜率为′|＝0＝

∴切线方程为－＝－0，

即＝·－＋

∵点P2,4在切线上，∴4＝2－＋，

即－3＋4＝0，∴＋－4＋4＝0，

∴0＋1－40＋10－1＝0，

∴0＋10－22＝0，解得0＝－1或0＝2，故所求的切线方程为－＋2＝0或4－－4＝0

3设切点为0，0，则切线的斜率为＝1，0＝±1

切点为－1,1或，

∴切线方程为－1＝＋1或－＝－1，

即－＋2＝0或3－3＋2＝0