第八讲式的变形与计算.docx
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第八讲式的变形与计算
第八讲 式的变形与计算
一、认识因式分解、分式、根式的意义。
是掌握式的变形与计算的关键
1.因式分解
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．
例如：
x2-5x+4=（x-1）（x-4）
它的左边是一个多项式x2-5x+4，它分解的结果是两个因式乘积的形式，即（x-1）（x-4），这就是因式分解．
在具体理解因式分解的时候，要掌握以下四点：
（1）因式分解是一种恒等变形，变形前后式子的值不变．
（2）因式分解要在指定数集内进行，要分解到不能分为止，指定的数集不同，分解的结果也不同．一般没指明分解的范围时，是指在有理数范围内进行分解．
如果不在有理数范围内进行因式分解要特别指明它的分解的数域．下面我们来看这两种提法有什么不同?
如：
分解因式：
x4-4
它是在有理数范围内进行分解．也就是x4-4=（x2+2）（x2-2）．
再看这道题：
在实数范围内分解因式：
x4-4
它就要求我们在实数范围内分解，我们就会得到：
x4-4=（x2+2）（x2-2）=（x2+2）（x+
）（z-
）
（3）从一定意义上看，因式分解与整式乘法是互逆的变形．
比如：
（x+1）（x-3）=x2-2x-3
从左到右的变形是整式的乘法运算，从右到左的变形是因式分解．
（4）因式分解后相同的因式要用幂的形式表示．
比如分解完的结果当中，出现了：
（x-2）（x-2）那么就要写成（x-2）2，用幂的形式来表示．
2.分式
分式的定义：
若A、B是整式，B中含有字母，则
叫做分式．其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
例如：
…都叫做分式．
值得注意的是：
（1）由分式的定义知B≠0，这是使分式有意义的条件．
①使分式
有意义的条件是B≠0；
②使分式的值等于。
的条件是
（2）判断某式是否为分式，讨论分式是否有意义，分式的值是否为零，必须对原代数式（也就是讨论分式的问题，要在分母B≠0的情况下）进行讨论，不能对所给的式子进行变形．
例如：
是分式，而不能对
先做变形，再判断．
因为分母中含有字母x，所以它是分式，而不能对
进行约分变形，再判断它是什么样的式子．这点同学们要特别注意．
3.二次根式
式子
（a≥0）叫做二次根式，其中a叫做被开方数．
（1）二次根式具有双重非负性．
是二次根式，则（i）a≥0：
（ii）
≥0．
（2）判断一个式子是否是二次根式，不能进行变形，从形式上看要有二次根号“
”，并且要求被开方数大于或等于O．
例如：
是二次根式，
不是二次根式．
这与判断一个数是不是实数是不相同的，例如判断：
是有理数还是无理数，要看本质，要先变形后判断．
=2，所以
是有理数．
大家学习二次根式的时候，一定要注意区分两点：
①判断一个数是否是有理数、无理数，要从本质上看，可以先变形，后判断；例如：
=2是有理数；
②判断一个式子是否是二次根式，要从形式上看，不能变形，要直接判断．
例如：
是二次根式．
二、掌握因式分解的方法和一般步骤有利于提高变形能力
1.因式分解的主要方法
（1）提取公因式法：
我们在提取公因式的时候，可以分两个方面来分析：
①当系数是整数时，取各项系数的最大公约数为公因式的系数；
②取各项都含有的字母的最低次幂为公因式的因式．
例1分解因式：
（1）8a3b-6ab2+2ab;
（2）4x（a-2b）-2y（2b-a）．
解
（1）：
原式=2ab（4a2-3b+1）
解
（2）：
原式=4x（a-2b）+2y（a-2b）
=2（a-2b）（2x+y）
例2分解因式：
（1）2x（x-y）2（a-b）+4y（y-x）2（b-a）;
（2）a2b（a-b）+
ab（b-a）2+2ab2（b-a）
（3）2（a+b）-ax-bx
解
（1）：
原式=2x（x-y）2（a-b）-4y（x-y）2（a-b）
=2（x-y）2（a-b）（x-2y）
解
（2）：
原式=a2b（a-b）+
ab（a-b）2-2ab2（a-b）
=
ab（a-b）［2a+（a-b）-4b］
=
ab（a-b）（3a-5b）
注意：
在分解的过程当中，如果某项系数是负的，是分数，我们可以把它提取作为公因式，使因式中的字母系数为整数．
解（3）：
原式=2（a+b）-x（a+b）
=（a+b）（2-x）
通过这几道题目，我们可以这样来小结：
①多项式中各项的公因式，不仅可以是单项式，也可以是多项式．当公因式是多项式时，把它看作一个整体，提取相同因式的最低次幂．
②有些题目表面上看没有公因式，只要稍作变形，就可以出现公因式．
③注意：
a-b=-（b-a）；
（a-b）2=（b-a）2；
（b-a）2n-1=-（a-b）2n-1；
（b-a）2n=（a-b）2n．
先变形，后识别，再提取公因式，这样可以使我们的求解达到准确无误．
（2）公式法
需要掌握的三个重要公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；
a2+2ab+b2=（a+b）2：
a2-2ab+b2=（a-b）2．
注意：
公式中的a、b可以是数、字母或多项式．
例3分解因式：
（1）a2b4-4a2c2；
（2）a4-8a2b2+16b4
（3）（x+1）2+2（x2-1）+（x-1）2；
（4）（m+n）2-4（m+n-1）．
解
（1）：
a2b4-4a2c2=a2［（b2）2-（2c）2］
=a2（b2-2c）（b2+2c）．
解
（2）：
a4-8a2b2+16b4
=（a2）2-8a2b2+（4b2）2
=（a2-4b2）2
=（a+2b）2（a-2b）2．
解（3）：
（x+1）2+2（x2-1）+（x-1）
=（x+1）2+2（x+1）（x-1）+（x-1）2
=［（x+1）+（x-1）］2
=4x2．
解（4）：
（m+n）2-4（m+n-1）
=（m+m）2-4（m+n）+4
=（m+n-2）2．
注意：
在解决问题的时候，要有把某个式子看成一个整体的思想，这样就可以使你的思维更加的宽阔．
（3）分组分解法：
适用于四项或四项以上的多项式的因式分解，对于四项的多项式分组的方法常常有两种：
①二、二分，用提取公因式分解：
②一、三分，用公式法分解．
例4把下列各式分解因式：
（1）a3-a2b-ab2+b3；
（2）a3-2a2b+ab2-ac2．
解
（1）：
a3-a2b-ab2+b3
=（a3-a2b）-（ab2-b3）
=a2（a-b）-b2（a-b）
=（a-b）（a2-b2）
=（a-b）2（a+b）．
解
（2）：
a3-2a2b+ab2-ac2
=a（a2-2ab+b2-c2）
=a［（a-b）2-c2］
=a（a-b+c）（a-b-c）．
（4）利用x2+（a+b）x+ab=（a+x）（b+x）进行因式分解：
我们可以利用x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解．这也是人们常常称的十字相乘法，它具有更多的探究性．
例5把下列各式分解因式：
（1）x2-5x+6；
（2）2x2-x-3；（3）（a-b）2-2（a-b）-3．
解
（1）：
x2-5x+6=（x-2）（x-3）
解
（2）：
2x2-x-3=（x+1）（2x-3）
解（3）：
把a-6看成一个整体．
（a-b）2-2（a-b）-3=（a-b+1）（a-b-3）
2.因式分解的一般步骤
三、分式运算
1.分式的基本性质。
是分式运算的基础
分式的基本性质是：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的代数式，分式的值不变．用式子表示为：
2.分式的运算
（1）分式的乘法
（2）分式的除法詈
除法转化为乘法，条件把除式的分子、分母颠倒过来．
（3）分式的乘方
（n是正整数）
（4）分式的加减运算
①同分母的分式加减法：
②异分母的分式加减法：
异分母的分式加减法
同分母的分式加减法
通分化为同分母的分式加减法
通分是化异分母为同分母加减的关键，依据就是分式的基本性质，关键是确定最简公分母，确定公分母的方法有两个步骤：
（i）：
一定系数，取各分母系数的最小公倍数为最简公分母的系数；
（ii）：
二定字母，取各分母所有字母的最高次幂的积为最简公分母的字母：
注意：
如果分母为多项式，则应先对多项式进行因式分解，然后再进行通分．
（5）做分式的混合运算时要注意
①弄清运算顺序，按照先括号内，再括号外，先高级运算，再低级运算的顺序进行．
②在分式运算中，分数线具有双重作用，即有除法作用和括号作用，运算时要边计算，边整理，边化简，使下一步计算简便易行．
③运算的结果是最简分式．
四、根式的运算与变形
根式的两个重要性质
（1）（
）2=a，
（2）
2=|a|是根式变形的重要依据．利用这两个性质在化简求值运算中常常会使问题变得简单易行．
例1
（1）已知：
a<0，b<0，化简
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