七年级数学下册笔记经典打印版.docx
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七年级数学下册笔记经典打印版
七年级数学下册知识点
第五章相交线与平行线
一、知识要点
1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：
相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是
邻补角。
邻补角的性质：
邻补角互补。
如图1所示，/1与/2互为邻补角，
/2与/3互为邻补角，/3与/4互为邻补角，/4与/1互为邻补角。
Z1+Z2=180°/2+Z3=180°/3+/4=180°/4+/1=180°。
图1
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。
对顶角的性质:
对顶角相等。
如图1所示，/1与/3互为对顶角，/1与/3互为对顶角。
/」=£3;仝=/4。
5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，
其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示，当/1或/2或/3或/4=90°时，
垂线的性质:
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质3:
如图2所示，当旦丄_匸时，/1==/3==90°。
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：
1在两条直线（被截线）的同一方，都在第三条直线（截线）的同一侧，这样的两个角叫同位角。
图3中，共有4对同位角：
/1与/5是同位角；
/2与/6是同位角；/3与/7是同位角；/4与/8是同位角。
2在两条直线（被截线）之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，这样的两个角叫内错角。
图3中，共有2对内错角：
/1与/7是内错角；/4与/6是内错角。
3在两条直线（被截线）的之间，都在第三条直线（截线）的同一旁，这样的两
个角叫同旁内角。
图3中，共有2对同旁内角：
/1与/6是同旁内角；/4与/7是同旁内角。
7、平行公理:
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
平行线的性质：
性质1:
两直线平行，同位角相等。
如图则。
性质2:
两直线平行，内错角相等。
如图4所示，如果a//b，则/仁/7;Z4=Z6。
性质3:
两直线平行，同旁内角互补。
如图4所示，如果a/b,则Z1+Z6=180°;
Z4+Z7=180°。
性质4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a/b，a/c，则b/c
&平行线的判定：
//b。
判定3:
同旁内角互补，两直线平行。
如图5所示，如果Z1+Z6=180°或Z4+
Z7=180°，则a/bo
判定4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a/b，a/c，则b/c。
9、判断一件事情的语句叫命题。
命题由题设和结论两部分组成,有真命题和假命题之分。
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立,这样的命题叫假命题。
真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
10、平移：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同,改变的是图形的位置。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质：
平移前后两个图形中①对应点的连线段平行且相等；②对应线段相等;③对应角相等。
第六章实数
【知识点一】实数的分类
1、按定义分类：
厂正有理数r
厂有理数#零A有限小数和无限循环小数
实数2匚负有理数’
厂正无理数q
■-无理数］无限不循环小数
C负无理数」
2、按性质符号分类：
r正有理数
厂正实数［
实0正无理数
r负有理数
匕负实数i负无理数
注：
0既不是正数也不是负数.
【知识点二】实数的相关概念
一、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，女口'7,32等；
n
（2）有特定意义的数，如圆周率n，或化简后含有n的数，如3+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|>0。
零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a>0;若|a|=-a，则a<0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、平方根、算术平方根和立方根
1、平方根
（1）平方根的定义：
如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a
2
的平方根.即:
如果xa，那么x叫做a的平方根.
（2）开平方的定义：
求一个数的平方根的运算，叫做开平方•开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：
3的平方等于9,9的平方根是3
（4）一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算
（5）符号：
正数a的正的平方根可用a表示，a也是a的算术平方根；
正数a的负的平方根可用-a表示.
2
（6）xa<—>x.a
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
2
（1）算术平方根的定义：
一般地，如果一个正数X的平方等于a,即xa，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.
规定：
0的算术平方根是0.
也就是，在等式x2a（x>0）中，规定xa。
（2）a的结果有两种情况：
当a是完全平方数时，'a是一个有限数；
当a不是一个完全平方数时，a是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大：
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小
（4）
夹值法及估计一个（无理）数的大小
（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a（a0）
注意a的双重非负性:
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
3、立方根
（1）立方根的定义：
如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根
3
（也叫做三次方根）,即如果xa,那么X叫做a的立方根
（2）—个数a的立方根，记作拒，读作：
“三次根号a”,
其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略，若省略表示平方。
（3）一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3a"aa0o
（5）X3a<—>X3a
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
（6）3a逅，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做a10n的形式，其中1a10,n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数，
ab0ab,
ab0ab,
ab0ab
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数
aaa
1ab;1ab;1ab;
bbb
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则abab。
6实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。
同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么？
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：
第一，除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？
幕？
底数？
指数？
相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幕，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。
记作：
an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。
正数的任何次幕都是正数。
零的任何正整数幕都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？
去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式
子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
第七章平面直角坐标系
一、知识要点
1、有序数对：
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）
2、平面直角坐标系：
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3、横轴、纵轴、原点：
水平的数轴称为x轴或横轴：
竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点
4、坐标：
对于平面内任一点P,过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标，记作P（a，b）。
5、象限：
两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
6、各象限点的坐标特点①第一象限的点：
横坐标＞_0,纵坐标＞0;②第二象限的点：
横坐标＜_0，纵坐标＞_0；③第三象限的点：
横坐标＜0，纵坐标＜0;④第四象限的点：
横坐标＞0，纵坐标＜0。
yb
b）
O
ax
7、坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：
横坐标＞0，纵坐标=0:
②x轴负半轴上的点：
横坐标＜0，纵坐标=0:
③y轴正半轴上的点：
横坐标=0，纵坐标＞0:
④y轴负半轴上的点：
横坐标=0，纵坐标＜0;⑤坐标原点：
横坐标=0，纵坐标=0。
（填“＞”、“v”或“二”）
&点P（a，b）到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是JaJ—。
9、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等,纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等飞坐标互为相反数：
③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。
10、点P（2，-3）到x轴的距离是3;到y轴的距离是2;点P（2，3）关于x轴对称的点坐标为（2，-3）;点P（2，-3）关于y轴对称的点坐标为（-2，
3）。
11、如果两个点的横坐标相同,则过这两点的直线与y轴平行、与x轴垂直;如果两点的纵坐标相同,则过这两点的直线与x轴平行、与y轴垂直。
如果点P（2,3）、Q（2,6），这两点横坐标相同，则PQ/y轴,PQLx轴；如果点P（-1,2）、Q（4,2），这两点纵坐标相同，则PQ//x轴,PQ_y轴。
12、平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同;平行于y轴的直线上的点的横坐标
相同：
在一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。
如果点P（a,b）在一、三象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即a=b;如果点P（a,b）在二、四象限角平分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a=—b。
13、表示一个点（或物体）的位置的方法：
一是准确恰当地建立平面直角坐标系；
二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。
选择的坐标原点不同，建立的平面直角坐标系也丕同，得到的同一个点的坐标也不同。
14、图形的平移可以转化为点的平移。
坐标平移规律：
①左右平移时，横坐标讲行加减，纵坐标不变；②上下平移时,横坐标不变,纵坐标进行加减；③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。
（1）左、右平移：
原图形上的点（x,y）原图形上的点（x,y）
（2）上、下平移：
原图形上的点（x,y）原图形上的点（x,y）
总结规律1:
图形平移与点的坐标变化的关系
向右平移a个单位，（x+a,y）
向左平移a个单位，（x-a,y）
向上平移b个单位，（x,y+b）
，向下平移b个单位，（x,y-b）
第八章二元一次方程组
一、知识要点
1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二
元一次方程，二元一次方程的一般形式为axbyc（a、b、c为常数，并且a0，b0）。
使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。
使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的
值。
5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数;
（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；（4）将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
6、解三元一次方程组的一般步骤：
①观察方程组中未知数的系数特点，确定先
消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原
三兀一次方程组的解。
7、实际应用：
审题一设未知数一列方程组一解方程组一检验一作答。
关键：
找等量关系
常见的类型有：
分配问题、追及问题、顺流逆流、药物配制、行程问题
v顺V静v水V逆V静V水
第九章不等式与不等式组
一、知识要点
1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式,不等号主要包括：
>、V、》、<_、疋。
2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。
不等式的解集可以在数轴上表示出来。
求不等式的解集的过程叫解不等式。
含有一个未知数：
并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。
3、不等式的性质：
1性质1:
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
用字母表示为：
如果ab，那么acbc；如果ab，那么acbc；
如果ab，那么acbc；如果ab，那么acbc。
2性质2:
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不基。
用字母表示为：
如果ab,c0，那么acbc（或—-）；
cc
如果ab,c0，那么acbc（或—b）；
cc
如果ab,c0，那么acbc（或--）；
cc
如果ab,c0，那么acbc（或ab）；cc
3性质3:
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改
基。
用字母表示为：
ab、
cc）；
4、解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。
这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。
5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。
使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解
（简称不等式组的解）。
不等式组的解集可以在数轴上表示出来。
求不等式组的解集的过程叫解不等式组。
6、解一元一次不等式组的一般步骤：
①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。
如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解（此时也称这个不等式组的解集为空集）。
7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：
同大取大，同小取小,大小小大取中间，大大小小无解。
第十章数据的收集、整理与描述
知识要点
1、对数据进行处理的一般过程：
收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结论。
2、数据收集过程中，调查的方法通常有两种：
全面调查和抽样调查。
全面调查与抽样调查的比较
養宜情
对象
缺点
♦个数较少
+结杲冇特殊耍求利特殊熏
全体
非常准确的得出总
有时蜕时费力
迪焊
*个数较零+结果具有破坏性或危春性
样本（肋体中一沸分＞
省时省力、范圉小
只能估计出总体的佶况
3、除了文字叙述、列表、划记法外，还可以用条形图、折线图、扇形图、直方图来描述数据。
条形统计图特点：
①能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数目之间的差别。
扇形统计图特点：
①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小。
折线统计图的特点：
①能清楚的反映事物的变化情况；②显示数据的变化趋势。
4、扇形统计图的制作的一般步骤：
（1）根据有关数据先算出各部分在总体中所
部分敎拐覚
占得百分比，百分数乳上100%，在计算各部分的圆心角的度数，公式:
各部分扇形圆心角的度数=部分占总体百分比360。
；
（2）按比例取适当的半径画圆；（3）按求得的扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；（4）在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分出来。
5、抽样调查简称抽查，它只抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体对象的情况。
要考察的全体对象叫总体,组成总体的每一个考察对象叫个体,被抽取的那部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目叫这个样本容量。
6、画频数直方图的步骤：
①计算积差（最大值与最小值的差）：
②确定组距和组
数；③列频数分布表；④画频数直方图。
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