基于MATLAB的数字滤波器的设计与开发.docx
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基于MATLAB的数字滤波器的设计与开发
青岛农业大学
毕业论文（设计）
题目：
基于Matlab的数字滤波器的设计与开发
姓名：
李芳
学院：
理学与信息科学学院
专业：
通信工程
班级：
2009级1班
学号：
20092395
指导教师：
谭谈
2013年6月9日
基于Matlab的数字滤波器的设计与开发
摘要：
本文分析了数字信号在当今信息传输中的重要作用，并且详细描述了数字滤波器发展的历史与在现代的生活中发挥的重要作用，最重要的是数字滤波器的意义。
本文还基于Matlab语言对数字滤波器进行设计，主要对IIR数字滤波器中的巴特沃斯滤波器和FIR数字滤波器中的矩形窗，汉宁窗及布拉克曼窗进行设计，并对各种滤波器之间进行对比，发现其各自的优缺点，在其优缺点的基础上，发现其各自适合用的方向。
由于数字滤波器应用的方向很多，所以本文主要浅层次的阐述了数字滤波器在图像处理的用处。
在图像传输过程中，对图像的滤波，作为图像压缩的基本前提。
关键字：
数字滤波器；IIR；FIR；Matlab；图像处理
TheDesignofDigitalFilterbasedonMatlab
Abstract:
Digitalsignalsareanalyzedinthispaperplayanimportantroleinthemoderninformationtransmission,anddescribesindetailthedevelopmentofthedigitalfilterhistoryandplayanimportantroleinmodernlife,themostimportantthingisthatthemeaningofthedigitalfilter.ThispaperalsobasedontheMATLABlanguagetodesigndigitalfilter,themainofIIRdigitalfilter,butterworthfilterandFIRdigitalfilterintherectangularwindowandhanningwindowandbraque,windowdesign,andthecomparisonbetweenvariouskindsoffilter,findtheirrespectiveadvantagesanddisadvantages,onthebasisofitsstrengthsandweaknesses,findtheirowndirectionforuse.Duetothedirectionofthedigitalfilterapplicationalot,sothisarticlemainlyelaboratedtheshallowleveluseofdigitalfilterinimageprocessing.Intheprocessofimagetransmission,imagefiltering,asthebasicpremiseofimagecompression.
Keywords:
digitalfilter;IIR;FIR;MATLAB
前言
从20世纪60年代开始，数字信号处理（digitalsignalprocessing,DSP）成为随着计算机学科和信息学科的高速发展而迅速发展的一门新学科。
对于精度、信噪比和可靠性，数字滤波器优于模拟滤波器，于是数字滤波器日益在社会的各种领域发挥着其重要作用[1]。
随着计算机性能的不断提高，许多工程上的问题也可以通过强大的计算机各种运算功能实现,比如在计算的开发、数据可视化、数据的分析以及数值计算的高级技术在数字滤波器的设计中数字滤波器起到了非常大的作用。
数字滤波器是一个典型的离散系统，在信号领域进行广泛的运用。
数字滤波器的研究主要涉及两个方面的问题：
数字滤波器的设计和滤波过程的实现。
其中线性与非线性、因果与非因果、无限脉冲响应（IIR）与有限脉冲响应（FIR）等等是按照数字滤波器的特性分类的，IIR滤波器和FIR滤波器是线性数字滤波器行中最重要的两个基本类型[2]。
本文主要讨论两种滤波器的设计方法及利用Matlab实现，然后分别对比用不同的函数实现所出现的差别效果。
然后在图像处理的方面进行应用，选择出在特定条件下，达到最优效果的的滤波器和函数。
第一章绪论
1.1数字滤波器的应用现状和发展趋势
在当今生活中我们接触着各种各样的信号，这些信号中不仅包含有数字信号还有模拟信号，其中数字信号占了一大部分。
因为，我们的生活越来越数字化、智能化以及网络化，我们了解到数字信号和模拟信号相比具有更好的保密性和稳定性等等优点，因此数字信号越来越受到我们的重视。
在数字信号中，数字信号滤波是其中重要的一部分，因此数字滤波器也非常重要。
比如在信息的传输过程中，信号的原始信息会被掺杂进噪声，因此我们会按照模拟滤波方法试图设计出数字滤波器的方式来滤除我们不需要的噪声[3,4]。
所谓滤波器就是当原始信号经过它之后，能把自己所需要的信息保留下来，而滤除掉不需要的信号。
在当代信息化的生活中，数字滤波器存在于方方面面，为我们服务并发挥着重要作用，我们现在看一下数字滤波器的发展情况和历史
1.在最开始数字滤波器应用的方面不是很多，但是利用数字滤波器的方面其发展都很迅速，比如最早应用数字滤波器的领域之一，语音处理，我们都知道刚开始我们利用的都是模拟信号，如果对于语音信号的传输利用模拟信号传输，则可想而知，因为语音信号都是靠波形传输的，而且在传输过程中会遇到各种噪声的加入，则接受的信号不仅会很微弱，及时进行信号放大但是接收信号中会掺杂着大量的噪声，肯定失真情况会很严重。
自从数字信号传输的发展，它不仅解决了以上这种复杂的问题，还对语音的加密做了很大的贡献。
2.接下来从语音处理方面自然的转到图像处理方面，我们知道现在图像也是由数据组成的，而且频率的大小也和图像有很大的关系。
在图像处理方面数字滤波器的应用不仅在去除噪声方面，还在图像传输方面，超声波和雷达成像方面发挥着重要作用。
3.在现代，数字滤波器几乎影响到通信领域的所有分支，例如在数字信号解调中，先让信号经过带通滤波器，而且在抽样前要通过低通滤波器。
在数据压缩中，可以通过滤波器滤除不重要的不影响接受效果的信息来减少数据量，同样在信道编码、调制、数据压缩和多路复用等方面也是离开了数字滤波器就寸步难行的。
4.目前，因为我们越来越追求高品质的生活，特别是在娱乐方面的享受，比如看电视希望具有更好的图像质量，更棒的音响效果，看节目更有自由自主性、自由性以及更多的服务项目，于是数字电视的应运而生，不用质疑的是数字电视在以后肯定会完全取代模拟电视。
5.在当今，雷达信号的数字滤波器应用非常活跃，并且贯穿于该系统的始末。
因为雷达信号的传输所需要的频带很宽而且需要非常高的数据传输速率，所以我们所面临的的首要问题就是对信号进行数据压缩以及降低数据传输速率。
6.在以后，数字滤波器也会在医学界发挥其重大的作用并且做出巨大的贡献，例如对于心电图的分析、层析X射线摄影的计算机辅助分析等。
当然，在以后数字滤波器的应用会越来越广泛，而且会让我们的生活发生巨大的改变，正是因为认识到数字滤波器的重要性，我们对于数字滤波器的设计越来越重视。
谈到设计，软件仿真就起到了非常重要的作用，其中Matlab的软件仿真为数字滤波器的设计提供了很大的便利，并且在一定程度上研制各种滤波器的步伐加快了，所以掌握Matlab仿真的应用具有非常重要的意义。
1.2数字滤波器的研究背景和意义
滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器两种，数字滤波器比模拟滤波器有更多的优势，比如可靠性更好，有保密性，外界环境对它的影响更小等等，于是数字滤波器受到国内外的重视，并且现在的发展已经比较成熟。
数字滤波器逐渐的影响着人们生活的各个方面，比如日渐步入各个家庭的数字电视，数字电视的出现让人们有了更高品质的享受。
在图像处理方面，数字率波器对于图像中噪声的去除，图像的加强以及在图像压缩时先进行低通滤波来减少传输的数据量。
1.3数字滤波器的实现方法分析
数字滤波器就是数字信号通过一定的运算变化后得到所需要的离散信号序列。
通常我们用两种方式来实现数字滤波器，一种是实物性质的，就是我们按照数字滤波器的工作原理，把其中所需要的的数字硬件、专用的数字信号处理器等按照原理图安装好，实现实物性质的数字滤波器；另一种是模拟形式的，就是利用计算机根据相应的数字滤波器的实现原理来用软件函数来编写出程序，进而实现数字滤波器的功能。
现在第二种方法得到广泛的应用，因为现在信息技术的发展已经有很多实现相应功能的软件相当成熟，这样对于数字滤波器的选择以及各种参数的调试很方便。
2.1数字滤波器的简介
作为电子滤波器中的一种——数字滤波器，它和完全工作在模拟域的模拟滤波器不一样，数字滤波器工作在数字域,而且数字滤波器处理的信号是经过A/D转换后的数字信号。
在理论上任何可以用算法表示的滤波效果都可以用数字滤波器实现，因此随着快速发展的集成电路以及数字滤波器性能的不断地提高，越来越广的领域开始涉及数字滤波器。
数字滤波器和模拟滤波器相同，在功能上进行分类可以分为四类，分别是低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器以及带阻滤波器；按照数字滤波器的单位冲激响应的特性可以分为很多类，其中的最基本线性时不变类包括无限长脉冲响应滤波器（IIR滤波器）和有限长脉冲响应滤波器（FIR滤波器）两种。
这两种滤波器的系统函数可以用Z变换同一表示成：
如果M是作为IIR滤波器的阶数，则M需要满足大于等于1，此时M也表示IIR系统中反馈环的个数。
正是因为系统中反馈部分的存在，所以IIR滤波器的脉冲响应就为无限长。
若分母A（z）=1，那么N+1就是这个系统的脉冲响应长度，就是我们常称为FIR的滤波器[11]。
2.2数字滤波器的基本结构
线性时不变系统的数字滤波器可以用系统函数表示，在滤波器设计的过程中，同一个系统函数可以构成许多不同的运算结构。
在无线精度的系数和变量的情况下，不同结构可能是等效的，和数字滤波器的输入输出特性无关，但是在系数与变量精度有限的情况下，不同的运算结构性能会有很大差异。
因此，对离散时间系统的结构有基本的认识是有必要的。
2.2.1IIR滤波器的基本结构
如果一个LTI系统的脉冲响应是无限长度，则此系统就被称为无限长脉冲响应（IIR）滤波器。
无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器有以下几个特点：
●此系统具有无限长的单位冲击响应h（n）；
●系统函数H（z）的极点在有限的z平面存在；
●此结构有反馈的存在，反馈是从输出到输入，即就是结构上是递归。
多种不同的结构可以用同一种系统函数H（z）来表示，IIR滤波器有三种基本网络结构，分别是直接型、级联型和并联型，在其中的直接型又可以被分为直接I型和直接II型两种[5]
2.2.2FIR滤波器的基本结构
如果一个LTI系统的单位脉冲响应是有限长度，则我们就把该系统称为有限长度脉冲响应（FIR）滤波器。
作为一个单位脉冲响应h（z）是一个有限序列的FIR数字滤波器，它主要采用为滤波结果非递归结构。
有限长单位冲激响应（FIR）滤波器特点如下：
●该系统具有在有限个n值处不是零的单位冲击响应h（z）;
●有在|z|>0处收敛的系统函数H（z），z=0处具有全部的极点（稳定系统）。
●具有主要是非递归结构的系统，即没有从输出到输入的反馈，但是不能完全说都是非递归结构，因为在某些频率抽样结构中，包含递归部分。
现在我们设FIR数字滤波器是一个具有N点序列的单位脉冲响应h（n），其中0≤n≤N—1，则滤波器系统函数为：
从函数是可以得出，在Z域中，有N-1个零点在Z平面的任意位置，而在Z=0处，具有N-1个极点。
FIR基本的网络结构有横截型、级联型、频率采样型和快速卷积型四种。
2.3数字滤波器的基本原理
数字滤波器是具有线性时不变系统的频率特性，根据它在时域的脉冲击响应函数分为两个滤波器，一种是无限长冲激响应（IIR）滤波器,另一种是有限长冲激响应（FIR）滤波器。
因为IIR滤波器的时间冲激响应无限长，所以一般需要递归模型来实现这种滤波器，而FIR滤波器的冲激响应是有限的，所以在实际工程实现方式可以采用递归方式也可以选取非递归方式。
2.3.1数字滤波器的设计方法概述
有很多种设计方法来设计数字滤波器，比如熟知的双线性变换、窗函数、Chebyshev逼近和差值逼近法等等。
数字滤波器的设计和实施，一般按照以下步骤进行：
1、滤波器的性能要求由任务要求来确定。
因为再设计滤波器之前，滤波器的技术指标必须首先根据工程实际的需要来确定。
滤波器在大多数的实际应用中主要用作选频，所以，一般给出幅度和相位响应的指标形式实在频域中。
幅度指标给出方式一般是两种，绝对指标（提供对幅度响应函数的要求）和相对指标（以分贝的形式给出要求）。
绝对指标一般应用在FIR滤波器的设计，而在实际运用中，第二种相对指标最受欢迎。
2、系统函数被一个因果稳定的离散线性移不变去逼近滤波器的性能要求。
因为理想的频率响应是不可能实现的，所以只能去逼近。
有两种系统函数逼近所用系统函数，无限长单位冲激响应（IIR）系统函数与有限长单位冲激响应（FIR）。
3、这个系统函数运用有限精度算法来实现。
这里所包括的算法包括选择运算结构、选择合适字长和有效数字的处理方法等[1]。
4、一般采用专用的数字滤波器硬件、通用计算机软件、通用的数字信号处理器或者专用的数字信号处理器来进行技术的实现。
2.3.2数字滤波器的性能指标
模拟滤波器按频率特性划分有低通、高通、带通和全阻等类型，数字滤波器和模拟滤波器类似，按照频率响应也分为四类。
我们用数字频率ω来表示频率变量,因为频率响应有周期性，而且抽样频率在数字滤波器的设计中是必须知道的。
下图为各种数字滤波器的理想频率响应（指表示了正频部分）
图2-3数字滤波器的理想频率响应
一般来说，滤波器的性能常常用频率响应的幅度特性的允许误差来表征。
本文以低通滤波器为例，如图所示，频率响应有通带，过渡带和阻带三个部分，并不是理想情况下的通带和阻带两个部分。
图2-4非理想低通滤波器频率响应
在通带内：
1-AP≤|H（ejω）|≤1|ω|≤ωc
在阻带中：
|H（ejω）|≤Astωst≤|ω|≤ωc
ωc为通带截止频率,ωst为阻带截止频率，Ap为通带误差,Ast为阻带误差。
2.4Matlab软件简介
当今很流行的一种科学计算软件Matlab是英文MatrixLaboratory（矩阵实验室）的缩写，它由美国的MATHWORK软件公司发行，从此这款Matlab软件给人们提供了一个数值计算的简便平台。
Matlab系统是交互式的，它在计算式按照IEEE的数值计算标准，而且不需要矩阵指定维数对于基本运算。
该系统不仅可以方便的进行一些复杂的计算，而且可以运算运算效率很高，这都归咎于Matlab系统提供了大量的矩阵和许多运算函数[7]。
程序设计、图像绘制、数值计算、文件管理以及输入输出等等各项操作用户可以在此软件下进行。
Matlab出色的数值计算能力和优秀的数据可视化功能让其在同类软件中脱颖而出。
接下来，我将分别对IIR数字滤波器和FIR滤波器得实现进行分析讨论，并在实现过程中，充分利用Matlab软件在数值计算、图像处理方面的优势。
第三章数字滤波器的Matlab实现
3.1IIR滤波器的设计与开发
IIR数字滤波器设计最常用的方法是先根据情况设计一个合适的模拟滤波器，然后再转换成数字滤波器，以满足预定指标。
因为模拟滤波器设计已经具有一系列很容易掌握的方法，而且模拟滤波器有很多简单现成的设计模拟滤波器的公式，并且设计参数有比较充分的图标来查询。
实际中，有三种被广泛使用的滤波器，即巴特沃斯低通（Butterworth）滤波器、切比雪夫低通（Chebyshev）滤波器，椭圆（Ellips）低通滤波器和贝塞尔（Bessel）滤波器等，下面，将以巴特沃斯为例进行介绍。
3.1.1巴特沃斯（Butterworth）滤波器
因为在Matlab中，可以利用butter函数直接设计各种形式的数字滤波器,下面我以巴特沃斯低通滤波器为例，分析参数对其性能的影响。
巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器是将巴特沃斯函数作为滤波器的传递函数
，它的平方幅度函数可以写成：
式中，N是整数，为滤波器的阶数，
为滤波器频率，
为3dB截止频率。
Matlab信号处理工具箱为低通模拟巴特沃斯滤波器产生提供了buttap函数，它的调用格式：
[z,p,k]=buttap（N）,z表示零点，p表示极点,k是表示增益，N表示滤波器的阶次，下面运用Matlab语言设计Butterworth低通模拟滤波器：
图3-1巴特沃斯程序
图3-2阶数N分别是2、8、14的巴特沃斯幅频图
由上图可以清楚地分析出，Butterworth具有平滑的频率响应，而且在截止频率外，频率响应单调下降，阶数N越大，过渡带的陡峭程度越大，由此可以推出高阶的Butterworth滤波器频率响应近似于理想低通滤波器。
在Matlab中，可以利用butter函数直接设计各种形式的数字滤波器，它的调用格式为：
[b,a]=butter（N,Wn）,依据阶数N和截止频率Wn计算Butterworth滤波器分子分母系数（a为分母系数的矢量形式，b为分子系数的矢量形式）。
相同参数条件下模拟滤波器的调用格式：
[b,a]=butter[N,Wn,’s’]
函数的调用格式是:
[N,Wn]=butterd（Wp,Ws,Rp,Rs,’s’）,Wp是通带临界频率，Ws阻带临界频率，Rp通带内最大衰减，Rs阻带内最小衰减。
3.2FIR滤波器的设计与开发
IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟理论和设计图标进行的，所以保留了一些模拟滤波器优良的幅度特性。
但是在设计中只考虑到了幅度特性，没有考虑到相位特性，所以设计的滤波器的相位一般是非线性的。
于是我们考虑到通过增加相位校正网络就可以得到线性相位，但是这样设计的滤波器就会变得复杂。
非常幸运的是，FIR滤波器恰恰就可以在满足幅度特性技术要求的同时能很容的做到相位的严格线性。
现在Matlab中一共有五种设计FIR数字滤波器的方式，分别是窗函数法，过渡带法、最小二乘约束设计法、升余弦法和非线性相位滤波器设计法。
其中对于窗函数法，本文主要讨论矩形窗（Rectanglewindow）、汉宁窗（Hanningwindow）、布拉克曼窗（blackmanwindow）。
在Matlab中，实现矩形窗的函数为boxcar，调用格式为w=boxcar（N）,汉宁窗的函数为hanning,调用格式为hanning,调用格式为w=hanning（N）,海明窗的函数为blackman,调用格式为w=Blackman（N）。
3.2.1各种窗函数N相同时的实现与比较
下图给出了当N=100时三种窗函数的频谱图。
图3-3N=100是三种窗函数的程序
图3-4N=100是三种窗函数的频谱图
再设计窗函数的时候，一般会希望窗函数满足窗函数的主瓣尽可能的窄以及尽量减少窗函数的最大旁瓣的相对幅度，这样不仅可以获得较陡的过渡带，而且可以让旁瓣尽量集中于主瓣，因此肩峰和波纹减小，可以增大阻带的衰减。
由上图的矩形窗，汉宁窗以及布拉克曼窗的比较可知矩形窗偶对称，主瓣的宽度最窄，旁瓣的幅度最大；汉宁窗偶对称，主瓣宽度中等，旁瓣幅度中等；布拉克曼窗偶对称，主板宽度最大，旁瓣幅度最小。
3.2.2同一种窗函数用不同长度N进行滤波实现与比较
先设计一个由50HZ、150HZ、300HZ频率叠加混合而成的正弦信号，用fs=1000HZ的频率进行抽样，然后都用FIR滤波器中的矩形窗函数进行低通滤波，不同的是滤波器的长度一个是N=13，另一个是N=93，观察混合信号在其他条件相同的情况下经过低通滤波器后滤出的波形有什么差别，以及N不同低通滤波器频谱图的不同。
结果：
图3-5矩形窗低通滤波器分别N=13和N=93滤波后波形
由图3-5可知，在混合信号通过矩形窗低通滤波器的长度分别为N=13和N=93滤波后，在不考虑滤出的信号包络的形状情况下，可以看出，经过N=93的长度的滤波器滤波后的相位偏移要大于N=13的，也就是说，对于同一种窗函数，滤波器的长度也大，那么延时会越大。
因此，对于图3-2的阶数N越大就会接近理想滤波效果的说法是增N是有限度的，我们保证了滤波器的滤波效果时还要考虑延时对我们的影响。
所以，在现实生活中对于N的设置不能太大，太大了不仅会增加我们的制作成本还会影响滤波后信号的延时。
图3-6矩形窗在N=13和N=93时的频谱图
由图3-6我们所得出的结果和图3-2一样，滤波器的阶数越大，其滤波器的频谱越接近理想状态下的滤波器。
3.3IIR和FIR比较
IIR滤波器和FIR滤波器各有所长，因此在实际应用中我们应从多个方面考虑来进行选择。
下面分别在其的性能和设计指标等方面进行比较。
性能：
IIR滤波器的传递函数有零点和极点两个因素，在单位圆内是对极点的唯一限制，所以获得较高的选择性可以用比较低的阶数N。
IIR的优点是用的存储单元不仅少，而且计算量小、效率高，但是需要牺牲相位的非线性来获得较高的效率为代价，因此IIR具有越好的选择性，相位非线性就会越严重。
因为从FIR的传递函数可以看出具有固定在原点的极点，所以只能靠改变零点的位置来改变性能，因此要获得较高的选择性就必须阶数N非常大。
同样的设计指标：
如果具有同样设计指标的IIR和FIR数字滤波器，则FIR滤波器的设计中，它的阶数N要比IIR高很多（一般是5到10倍），但是由于较高的阶数则IIR的设计会有较高的成本，因此信号的延时会比较大。
相位：
如果按照相位要求来看，IIR需要增加对相位的纠正，因此结构会复杂很多，而FIR滤波器本身就可以保证严格的线性相位。
结构：
IIR滤波器是递归结构，极点必须在平面单位圆内，才能稳定，否则引起极点偏移甚至寄生震荡。
FIR采用的是非递归结构，因而从理论上还是实际中，都是稳定的。
两种滤波器的特点分析比较
IIR滤波器
FIR滤波器
设计方法
可利用模拟滤波器的现成公式、数据和公式，工作量少
无现成公式，借助计算机程序完成
系统结构
递归结构
主要是非递归结构
性能
牺牲非线性获得较好的选择性
增大阶数N来获得较好的选择性
相位
需要增加结构对相位进行纠正
本身可以保持严格相位
稳定性
只有极点在平面单位圆内才能保证稳定
理论还是实际都稳定
3.4IIR滤波器和FIR滤波器的Matlab实现
设计一由50HZ、150HZ、300HZ三个频率构成的混合正弦信号，在抽样频率是1000HZ，带通滤波器在通带临界频率Wp是110HZ和190HZ，阻带临界频率Ws是80HZ和220HZ，通带内最大衰减Rp是1，阻带内最小衰减Rs是50的情况下进行滤波，滤出150HZ的频率信号，然后低通滤波器通带临界频率Wp是60HZ，阻带临界频率100HZ，通带内最大衰减Rp是1，阻带内最小衰减Rs是50的情况下滤出50HZ频率信号。
图3-7原混合信号以及其幅频图
（1）I
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