高考数学 专题13 概率与统计教学案 理.docx

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高考数学专题13概率与统计教学案理

专题13概率与统计

【2018年高考考纲解读】

高考对本内容的考查主要有：

（1）抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．

（2）图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．

（3）特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．

（4）随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求.

【重点、考点剖析】

1．概率问题

（1）求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：

一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件的概率，然后利用P（A）＝1－P（）可得解；

（2）用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P（A）＝求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；

（3）求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．

2．统计问题

（1）统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：

简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；

（2）用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：

频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：

频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；

（3）用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；

（4）两个变量的相关关系中，主要能作出散点图，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性或归方程系数或公式建立线性回归方程.

【题型示例】

题型一　古典概型问题

例1、【2017山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【变式探究】（2015·江苏，5）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．

解析　这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.

答案　

【变式探究】（2015·北京，16）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：

天）记录如下：

A组：

10，11，12，13，14，15，16

B组：

12，13，15，16，17，14，a

假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．

（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；

（2）如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；

（3）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？

（结论不要求证明）

解　设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i＝1，2，…，7.由题意可知P（Ai）＝P（Bi）＝，i＝1，2，…，7.

（1）由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是

P（A5∪A6∪A7）＝P（A5）＋P（A6）＋P（A7）＝.

（2）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，

C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.

因此P（C）＝P（A4B1）＋P（A5B1）＋P（A6B1）＋P（A7B1）＋P（A5B2）＋P（A6B2）＋P（A7B2）＋P（A7B3）＋P（A6B6）＋P（A7B6）＝10P（A4B1）＝10P（A4）P（B1）＝.

（3）a＝11或a＝18.

【感悟提升】

1．古典概型的求解思路

（1）正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列组合的相关知识．

（2）在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

（3）根据公式P（A）＝＝求出．

【变式探究】某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：

（1）选取的2位学生都是男生；

（2）选取的2位学生一位是男生，另一位是女生．

破题切入点　先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解．

题型二　几何概型问题

例2、【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．B．

C．D．

【答案】B

【变式探究】（2016·课标Ⅰ，4，易）某公司的班车在7：

30，8：

00，8：

30发车，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）

A.B.C.D.

【答案】B　

【解析】由题意知，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站，故他只能乘坐8：

00或8：

30发的车，所以他等车时间不超过10分钟的概率P＝＝.

【变式探究】（2015·陕西，11）设复数z＝（x－1）＋yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（　　）

A.＋B.－C.－D.＋

解析　由|z|≤1可得（x－1）2＋y2≤1，表示以（1，0）为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，

由几何概型概率公式可得所求概率为：

P＝＝

＝－.

答案　B

【变式探究】（2014·湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（　　）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝，故选D.

【感悟提升】几何概型的求解思路

概率中的几何概型是一个重要内容，高考时经常考，题目不难，往往利用数形结合的方法求解，常考查几何图形的面积、体积等，有时要用到转化的思想和对立事件求解概率的思维方法．求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．其解析为：

（1）判断所求几何概型的类型；

（2）分别确定相关的区域长度（面积与体积）；（3）代入公式计算．

【变式探究】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示．

∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P（|x－y|≤2）＝

＝＝＝.

题型三、抽样方法

例3、【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.

（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）解：

随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.

，

，

，

.

所以，随机变量的分布列为

0

1

2

3

随机变量的数学期望.

（Ⅱ）解：

设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

.

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

【变式探究】（2016·山东，3，易）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22．5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A．56B．60C．120D．140

【答案】D　

【解析】由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的频率为（0.16＋0.08＋0.04）×2.5＝0.7，所以每周的自习时间不少于22.5小时的人数是200×0.7＝140.

【变式探究】（2015·陕西，2）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）

A．167B．137C．123D．93

解析　由题干扇形统计图可得该校女教师人数为：

110×70%＋150×（1－60%）＝137.故选B.

答案　B

【变式探究】

（1）（2014·湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则（　　）

A．p1＝p2

C．p1＝p3

（2）（2014·广东）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　）

A．200,20B．100,20

C．200,10D．100,10

【命题意图】

（1）本题主要考查统计中的抽样及其概念，意在考查考生对抽样方法概念的理解．

（2）本题主要考查样本容量和分层抽样的概念及计算．要完成本题的计算需要从扇形统计图和条形统计图中读出相关数据并进行计算，意在考查考生的数据处理能力．

【答案】

（1）D　

（2）A

【感悟提升】在解题时注意各种抽样方法的特点及适用范围，利用各种抽样都是等概率抽样．

（1）在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分成几个组，则分段间隔即为（N为样本容量），首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．

（2）在分层抽样中，要求各层在样本中和总体中所占比例相同．

【变式探究】从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（　　）

A．480　　　B．481　　　　C．482　　　　D．483

【答案】C

【解析】因为系统抽样是等距抽样，且抽样的样本中最小两个编号的差为25，所以7＋（k－1）·25≤500，解得k≤，即k取1,2,3，…，20，所以样本中最大的编号为7＋（20－1）·25＝482.

题型四　频率分布直方图与茎叶图

例4．【2017课标II，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：

kg）某频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：

“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量