高考数学江苏省理科试题及答案解析版.docx
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高考数学江苏省理科试题及答案解析版
2016年江苏省高考数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
【2016江苏（理）】已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2VxV3}，则AAB=
【答案】{-1,2}
【解析】解：
•••集合A={-1,2,3,6},B={x|-2VxV3},
•••AnB={-1,2},
【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3-i）,其中i为虚数单位，则z的实部是,
【答案】5
【解析】解：
z=（1+2i）（3-i）=5+5i,
则z的实部是5,
【答案】2,I
•c=Uw5护=顶,
【2016江苏（理）】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_
【答案】0.1
【解析】解：
•••数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5的平均数为：
—1
工=匸（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1,
5
•该组数据的方差：
2122222s=〒[（4.7-5.1）+（4.8-5.1）+（5.1-5.1）+（5.4-5.1）+（5.5-5.1）]=0.1・
【2016江苏（理）】函数y=：
「■-的定义域是【答案】[-3,11
【解析】解：
由3-2x-x2%得：
x2+2x-3包）,
解得：
x€[-3,1],
【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的
【答案】9
【解析】解：
当a=1,b=9时，不满足a>b,故a=5,b=7,
当a=5,b=7时，不满足a>b，故a=9,b=5
当a=9,b=5时，满足a>b,
故输出的a值为9,
【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个
点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.
【答案】卫
【解析】解：
将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正
方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=60=36,
出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10,
出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：
（4,6）,（6,4）,（5,5）,（5,6）,（6,5）,（6,6）,共6个，
•••出现向上的点数之和小于10的概率：
465
p=1「—.
2
【2016江苏（理）】已知｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a2=-3,S5=10,贝Ua9的值是—.
【答案】20
【解析】解：
•••｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=-3,S5=10,
8］+（a^+d）'二-3••5托4,
5哲■尹左10
解得a仁-4,d=3,
•a9=-4+8X3=20.
【2016江苏（理）】定义在区间［0,3冗］上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是—.
【答案】7
【解析】解：
画出函数y=sin2x与y=cosx在区间［0,3n上的图象如下:
【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆‘1+-’=1（a>b>0）的
【答案】
2），
由/BFC=90°可得kBF?
kCF=-1,
即有
_：
_=-1
=1，
22°
化简为b2=3a2-4c2,
由b2=a2-c2,即有3c2=2a2,
I匕
【答案】-二
，其中a€R，若f（-吕）=f（半），则f（5a）的值是
【解析】解：
f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1）上,f（x）
•-a_,
得
rs-2
[尸3
[x-2^4=0
:
-
【解析】解：
作出不等式组对应的平面区域，
设Z=x2+y2，则Z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方,由图象知A到原点的距离最大，
点O到直线BC:
2x+y-2=0的距离最小，
，即A（2，3），此时z=22+32=4+9=13,
则z=d2=一）2=十,
故Z的取值范围是［半,13］,
故答案为：
［一，13］.
5
【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点,
-.?
-.=4,°T?
i;=-1,则n的值是_.
【答案】丄
s
【解析】解：
•/D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点,
•••¥=□+『.卜=-二+5,
「=.1-0+3I',=-U1+3',
.•.干？
飞=：
卩2-「2=-i,
'；?
'「.=9下2-辰¥=4,
s8：
r
|—■|—■冃||jw|iH
又•••i+2|I,：
=-+2，,
【2016江苏（理）】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，贝UtanAtanBtanC的最小值是.
【答案】8
【解析】解：
由sinA=sin（n-A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC,sinA=2sinBsinC,可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,①
由三角形ABC为锐角三角形，则cosB>0,cosC>0,
在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC,
又tanA=-tan（n-A）=-tan（B+C）=②,
1-tanBtanC
则tanAtanBtanC=-
门■'?
tanBtanC,
2（tat^BtanC）2
1一tanBtanC
1一tanBtanC
由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=-
令tanBtanC=t，由A,B,C为锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,由②式得1-tanBtanCV0,解得t>1,
2
=-
R
tanAtanBtanC=-
（丄迪21
「由t>12**得,-
严=
因此tanAtanBtanC的最小值为8,
当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4,tanBtanC=2,
解得tanB=2+工，tanC=2—『.，tanA=4,（或tanB,tanC互换），此时A,B,
C均为锐角.
sinB=
:
■、解答题（共6小题，满分90分）
4TT
【2016江苏（理）】在厶ABC中，AC=6,cosB—,C^.
54
（1）求AB的长；
（2）求cos（A-丄）的值.
6
…cos
BC的中点,
【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为AB,点F在侧棱B1B上，且B1D丄A1F,A1C1丄A1B1.求证：
（1）直线DE//平面A1C1F;
（2）平面B1DE丄平面A1C1F.
【解析】解：
（1）•/D,E分别为AB,BC的中点，
•••DE为仏ABC的中位线，
•••DE//AC,
•••ABC-A1B1C1为棱柱，
•AC//A1C1,
•DE//A1C1,
•/A1C1?
平面A1C1F,且DE?
平面A1C1F,
•DE//A1C1F;
（2）tABC-A1B1C1为直棱柱，
•AA1丄平面A1B1C1,
•AA1丄A1C1,
又TA1C1丄A1B1，且AA1AA1B1=A1,AA1、A1B1?
平面AA1B1B,
•A1C1丄平面AA1B1B,
•/DE//A1C1,
•DE丄平面AA1B1B,又•••A1F?
平面AA1B1B,
•DE丄A1F,
又TA1F丄B1D,DEAB1D=D，且DE、B1D?
平面B1DE,
•A1F丄平面B1DE,又TA1F?
平面A1C1F,•平面B1DE丄平面A1C1F.
【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.
（1）若AB=6m,P01=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,则当P01为多少时，仓库的容积最大？
【解析】解：
（1）•/POi=2m，正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.
/•0i0=8m,
•••仓库的容积V=2>62>2+62^8=312m3,
3
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,
设P01=xm，
则010=4xm，A101=I-m，A1B1=下，-m,
则仓库的容积V=gX（近剤3"/）2?
x+（近勾36—F）2?
4x=—^x3+312x,（Ovx
3「「■3
v6）,
•V=-26x2+312,（Ovxv6）,
当Ovxv2.时，V'>0,V（x）单调递增；当2：
;vxv6时，V'v0,V（x）单调递减；
故当x=2一时，V（x）取最大值；即当P01=2._；m时，仓库的容积最大.
【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:
x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2,4）.
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于0A的直线I与圆M相交于B、C两点，且BC=0A，求直线I的方程；
（3）设点T（t,0）满足：
存在圆
M上的两点P和Q,使得•：
+“「=•i.i,求实数t的取值
【解析】解：
（1）•••N在直线x=6上，•设N（6,n）,
•••圆N与x轴相切，•••圆N为：
（x-6）2+（y-n）2=n2,n>0,
又圆N与圆M外切，圆M:
x2+y2-12x-14y+60=0，即圆M:
（（x-6）2+（x-7）2=25,
•|7—n|=|n|+5，解得n=1,
•••圆N的标准方程为（x-6）2+（y-1）2=1.
（2）由题意得0A=2口，k°A=2，设I:
y=2x+b,
则|BC|=2•.辭
BC=2「，，即
则圆心M到直线l的距离:
解得b=5或b=-15,
•直线l的方程为：
y=2x+5或y=2x-15.
f（x）=ax+bx（a>0,b>0,a为,b为）.
（3）INI^=li,即t】_t「一“即「〔FlMl，
II4=I：
''I'，
又底Ho,即J（我—2］打牡削，解得t€［2-2阿,2+2阿］,
对于任意t€［2-2阿,2+2届］，欲使冠二而，
此时，I丑鬥0,只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为
必然与圆交于P、Q两点，此时|」=|川，即Z—ll.i,
因此实数t的取值范围为t€［2-2「,2+2.「］,.【2016江苏（理）】已知函数
（1）设a=2,b=_.
2
1求方程f（x）=2的根；
2若对于任意x€R,不等式f
（2）若0vav1,b>1，函数
②不等式f（2x）初f
（x）-6恒成立，即-二
2钥
令t=^十丄，t支.
2k
）-6恒成立.
湘（_
则h（x）是递增函数，而，Inav0,Inb>0，因此，X0=__-
lnb
a
1时，h（x0）=0,
【解析】解：
x
因此x€（—a,xo）时，h（x）v0,aInb>0,贝Ug'（x）v0.x€（xo,+a）时，h（x）>0,axlnb>0,则g'（x）>0,则g（x）在（-a,x0）递减，（x0,+a）递增，因此g（x）的最小值为：
g（x0）.
①若g（x0）v0,xvIoga2时，ax>_"、=2,bx>0，则g（x）>0,
因此xivIoga2,且xivx0时，g（xi）>0,因此g（x）在（xi,x0）有零点,则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）对任意正整数k（1惑000）,若T?
｛1,2,…，k｝，求证：
Stv&+1；
（3）设C?
U,D?
U,SC爲D，求证：
SC+SCP壹sd.
【解析】解：
（1）当T=｛2,4｝时，ST=a2+a4=a2+9a2=30,
因此a2=3，从而a1=.=1,
（2）
2k—1
Stoh+a2+--ak=1+3+3+--+3
~_1
2~
k
v3=ak+1
故an=3n1,
（3）设A=?
c（CAD）,B=?
d（CAD）,则AAB=?
分析可得Sc=Sa+Scad,Sd=Sb+Scpd,贝ySc+Scad—2Sd=Sa—2Sb,因此原命题的等价于证明SC^SB,
由条件Sc^Sd,可得Sa爲b,
1、若B=?
贝USB=0,故SA支SB,
2、若B老,由Sa^Sb可得A老,设A中最大元素为I,B中最大元素为m,若m半1,则其与SAvai+1毛mSBa»+l
2
=2
即SA支SB,
因为AAB=?
所以I剂,则I初+1,
综上所述,Sa丝Sb,
故Sc+SCPD丝SD.
附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4—1几何证明选讲】
【2016江苏（理）】如图，在△ABC中，/ABC=90°BD丄AC,D为垂足，E为BC的中点，求证：
/EDC=/ABD.
因为E为BC的中点，所以DE=CE=2bC,
2
则：
/edc=/C,
由/BDC=90°可得/C+ZDBC=90°由ZABC=90°可得ZABD+ZDBC=90°因此Zabd=ZC,而Zedc=ZC,所以，Zedc=zabd.
【2016江苏（理）】在平面直角坐标系
xOy中，已知直线I的参数方程为
（t为
B.【选修4—2:
矩阵与变换】
点，求线段AB的长.
代入①并整理得，）-:
I.
【解析】解:
V3^-y-后Q
联立
，解得
2
两式平方相加得
•「.
7
•|AB|=—「「，，I二.
【2016江苏（理）】设a>0,|x—1|<—,|y—2|v卫，求证：
|2x+y—4|va.
【解析】证明：
由a>0,|x—1|v寻|y-2|v冷,
Jo
、〒口口亠一、cI__,1一巴
【3
可得|2x+y—4|=|2（x—1）+（y—2）|
2s
!
+
a
3
3
€|x—l|+|y-2|V
=a,
则|2x+y—4|va成立.
附加题【必做题】
【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:
x—y—2=0,抛物线C:
2
y=2px（p>0）.
（1）若直线I过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线I对称的相异两点P和Q.
①求证：
线段PQ的中点坐标为（2—p,—p）;
x-y-2=0,「.l与x轴的交点坐标（2,0）,0）.
2
•••抛物线C:
y=8x.
f2Vi
k_叮
■y
丫2
kPQ一
yJ-
:
y2
屮yj
I2p_
2p
即:
又•••P,Q关于直线l对称,
.线段PQ的中点坐标为（2—p,_p）;
②因为Q中点坐标（2—p,—p）.
（2）设m,n€N*,n>n,求证：
（m+1）C
：
+（m+2）C+（m+3）C
+・・+nC|+
n'I
\17
1
（n+1）C
一（3X2X144X3X2X1
=7>20_4X35=0.
证明：
（2）对任意m€N*,
①当n=m时，左边=（m+1）C：
=m+1,右边=（m+1）C：
；；=m+1，等式成立.
②假设n=k（k湘）时命题成立，
即（m+1）C+（m+2）C+（m+3）
JILJl+L
C加+"kCt-i+（k+1）C,=（m+1）C：
：
；，
当n=k+1时，
左边=（m+1）
+（m+3）
，■二+（m+2
VJ1L
+（k+1）
+（k+2）
=（^ft）C；：
；+（kf2）c£i，
右边=；：
」二春
•••（毗C豔-（讯）C常
[k+3-（k—m+1）]
=（k+2）c角,
]
（nrl-2）!
（k_id）I•'•（讨1）C?
：
*（k+2）蹲十1=
（m+1）i：
一：
•••左边=右边，
•••n=k+1时，命题也成立，
•m,n€N*,ng（m+1）C二+（m+2）C
血
a+1
+（m+3）C=
+・・+nC九’
n~1
+（n+1）C二=
n
（m+1）C
]）l+2
n+2
2016年江苏省高考数学试卷
（共14小题，每小题5分，满分70分）
1.
2.
、填空题
【2016江苏（理）】已知集合A={-1,2,3,6},B={x|-2【2016江苏（理）】复数z=（1+2i）（3-i）,其中i为虚数单位，则z的实部是
3.
2
【2016江苏（理）】在平面直角坐标系xOy中，双曲线专■-
=1的焦距是
4.【2016江苏（理）】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是
5.【2016江苏（理）】函数y=：
「.-的定义域是
6.【2016江苏（理）】如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是
7.【2016江苏（理）】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6
个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是
2
8【2016江苏（理）】已知｛an｝是等差数列，S是其前n项和，若a1+a2=-3,S5=10，则a9的值是.
9.[2016江苏（理）】定义在区间[0,3冗]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点
个数是.
t2肿
10.[2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆—亠=1（a>b>0）
a2b2
的右焦点，直线y=^与椭圆交于B,C两点，且/BFC=90°则该椭圆的离心率
2
-2y+4>0
12.[2016江苏（理）】已知实数X,
y满足伍+y-2>0，则x2+y2的取值范围
3x-y-3是.
13.[2016江苏（理）】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分
点，•⑦「=4,丨=-1,贝U卜.？
』的值是
14.
ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小
【2016江苏（理）】在锐角三角形值是.
二、解答题（共6小题，满分90分）
47T
15.【2016江苏（理）】在厶ABC中，AC=6，cosB==，C=一.
54
（1）求AB的长；
TT
（2）求cos（A-一）的值.
6
16.【2016江苏（理）】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上，且B1D丄A1F,A1C1丄A1B1.求证：
（1）直线DE//平面A1C1F;
G
（2）平面B1DE丄平面A1C1F.
17.【2016江苏（理）】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高010是正四棱锥的高PO1的4倍.
（1）若AB=6m,PO1=2m，则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
22
18.【2016江苏（理）】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:
x+y
-12x-14y+60=0及其上一点A（2,4）.
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线I与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线I的方程；
（3）
（a>0,b>0,a力,b詞）.
已知函数f（x）=ax+bx
设点T（t,0）满足：
存在圆M上的两点P和Q,使得订|+「=Ti,求实数t的取值
1求方程f（x）=2的根；
2若对于任意x€R,不等式f（2x）湘f（x）-6恒成立，求实数m的最大值；
（2）若Ovav1,b>1，函数g（x）=f（x）-2有且只有1个零点，求ab的值.
20.
【2016江苏（理）】记U=｛1,2,…，100｝，对数列｛an｝（n3*）和U的子集T,若T=?
ST=a1+a3+a66.现设｛an｝（n€N）是公比为3的等比数列，且当T=｛2,4｝时，St=30.
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）对任意正整数k（1惑O00）,若T?
｛1,2,…，k｝，求证：
Stvek+1；
（3）设C?
U,D?
U,Sc^Sd，求证：
Sc+Scpd^2Sd.
附加题【选做题】本题包括
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