实验五解线性方程组的迭代法报告.docx
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实验五解线性方程组的迭代法报告
实验五-解线性方程组的迭代法报告
实验五解线性方程组的迭代法
一、问题提出
对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。
二、要求
1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；
2、分别对不同精度要求，如
由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；
3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；
4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义
1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；
2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；
3、体会上机计算时，终止步骤
或k>（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；
4、体会初始解
，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
四、实验学时：
2学时
五、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序；
5．撰写报告,讨论分析实验结果．
解：
J迭代算法：
程序设计流程图：
源程序代码：
#include
#include
#include
voidmain（）
{
floata[50][51],x1[50],x2[50],temp=0,fnum=0;
inti,j,m,n,e,bk=0;
printf（"使用Jacobi迭代法求解方程组:
\n"）;
printf（"输入方程组的元：
\nn="）;
scanf（"%d",&n）;
for（i=1;ix1[i]=0;
printf（"输入方程组的系数矩阵:
\n"）;
for（i=1;i{
j=1;
while（j{
scanf（"%f",&a[i][j]）;
j++;
}
}
printf（"输入方程组的常数项:
\n"）;
for（i=1;i{
scanf（"%f",&a[i][n+1]）;
}
printf（"\n"）;
printf（"请输入迭代次数:
\n"）;
scanf（"%d",&m）;
printf（"请输入迭代精度:
\n"）;
scanf（"%d",&e）;
while（m!
=0）
{
for（i=1;i{
for（j=1;j{
if（j!
=i）
temp=a[i][j]*x1[j]+temp;
}
x2[i]=（a[i][n+1]-temp）/a[i][i];
temp=0;
}
for（i=1;i{
fnum=float（fabs（x1[i]-x2[i]））;
if（fnum>temp）temp=fnum;
}
if（temp<=pow（10,-4））bk=1;
for（i=1;ix1[i]=x2[i];
m--;
}
printf（"原方程组的解为:
\n"）;
for（i=1;i{
if（（x1[i]-x2[i]）<=e||（x2[i]-x1[i]）<=e）
{
printf（"x%d=%7.4f",i,x1[i]）;
}
}
}
运行结果：
GS迭代算法：
#include
#include
#include
constintm=11;
voidmain（）
{
intchoice=1;
while（choice==1）
{
doublea[m][m],b[m],e,x[m],y[m],w,se,max;
intn,i,j,N,k;
cout<<"Gauss-Seidol迭代法"<cout<<"请输入方程的个数：
";
cin>>n;
for（i=1;i<=n;i++）
{
cout<<"请输入第"<";
for（j=1;j<=n;j++）
cin>>a[i][j];
}
cout<<"请输入各个方程等号右边的常数项:
\n";
for（i=1;i<=n;i++）
{
cin>>b[i];
}
cout<<"请输入最大迭代次数：
";
cin>>N;
cout<<"请输入最大偏差：
";
cin>>e;
for（i=1;i<=n;i++）
{
x[i]=0;
y[i]=x[i];
}
k=0;
while（k!
=N）
{
k++;
for（i=1;i<=n;i++）
{
w=0;
for（j=1;j<=n;j++）
{
if（j!
=i）
w=w+a[i][j]*y[j];
}
y[i]=（b[i]-w）/double（a[i][i]）;
}
max=fabs（x[1]-y[1]）;
for（i=1;i<=n;i++）
{
se=fabs（x[i]-y[i]）;
if（se>max）
max=se;
}
if（max{
cout<for（i=1;i<=n;i++）
cout<<"x"<break;
}
for（i=1;i<=n;i++）
{
x[i]=y[i];
}
}
if（k==N）
cout<<"迭代失败！
！
"<choice=0;
}
}
SOR方法：
#include
#include
#include
/**********定义全局变量**********/
float**a;/*存放A矩阵*/
float*b;/*存放b矩阵*/
float*x;/*存放x矩阵*/
floatp;/*精确度*/
floatw;/*松弛因子*/
intn;/*未知数个数*/
intc;/*最大迭代次数*/
intk=1;/*实际迭代次数*/
/**********SOR迭代法**********/
voidSOR（floatxk[]）
{
inti,j;
floatt=0.0;
floattt=0.0;
float*xl;
xl=（float*）malloc（sizeof（float）*（n+1））;
for（i=1;i{
t=0.0;
tt=0.0;
for（j=1;jt=t+a[i][j]*xl[j];
for（j=i;jtt=tt+a[i][j]*xk[j];
xl[i]=xk[i]+w*（b[i]-t-tt）/a[i][i];
}
t=0.0;
for（i=1;i{
tt=fabs（xl[i]-xk[i]）;
tt=tt*tt;
t+=tt;
}
t=sqrt（t）;
for（i=1;ixk[i]=xl[i];
if（k+1>c）
{
if（t<=p）
printf（"\nReachthegivenprecision!
\n"）;
else
printf（"\noverthemaximalcount!
\n"）;
printf（"\nCountnumberis%d\n",k）;
}
else
if（t>p）
{
k++;
SOR（xk）;
}
else
{
printf（"\nReachthegivenprecision!
\n"）;
printf（"\nCountnumberis%d\n",k）;
}
}
/**********程序*****开始**********/
voidmain（）
{
inti,j;
printf（"SOR方法\n"）;
printf（"请输入方程个数:
\n"）;
scanf（"%d",&n）;
a=（float**）malloc（sizeof（float）*（n+1））;
for（i=0;ia[i]=（float*）malloc（sizeof（float）*（n+1））;
printf（"请输入三对角矩阵:
\n"）;
for（i=1;ifor（j=1;jscanf（"%f",&a[i][j]）;
for（i=1;ifor（j=1;jb=（float*）malloc（sizeof（float）*（n+1））;
printf（"请输入等号右边的值:
\n"）;
for（i=1;iscanf（"%f",&b[i]）;
x=（float*）malloc（sizeof（float）*（n+1））;
printf（"请输入初始的x:
"）;
for（i=1;iscanf（"%f",&x[i]）;
printf（"请输入精确度:
"）;
scanf（"%f",&p）;
printf（"请输入迭代次数:
"）;
scanf（"%d",&c）;
printf（"请输入w（0\n"）;
scanf（"%f",&w）;
SOR（x）;
printf（"方程的结果为:
\n"）;
for（i=1;iprintf（"x[%d]=%f\n",i,x[i]）;
}
程序运行结果讨论和分析：
①迭代法具有需要计算机的存贮单元较少,程序设计简单,原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点.
②迭代法在收敛性及收敛速度等方面存在问题.
[注:
A必须满足一定的条件下才能运用以下三种迭代法之一.在Jacobi中不用产生的新数据信息,每次都要计算一次矩阵与向量的乘法,而在Gauss利用新产生的信息数据来计算矩阵与向量的乘法.在SOR中必须选择一个最佳的松弛因子,才能使收敛加速.]
经过计算可知Gauss-Seidel方法比Jacobi方法剩点计算量,也是Jacobi方法的改进.可是精确度底,计算量高,费时间,需要改进.SOR是进一步改进Gauss-Seidel而得到的比Jacobi,Gauss-Seidel方法收敛速度快,综合性强.改变松弛因子的取值范围来可以得到Jacobi,Gauss-Seidel方法.
③选择一个适当的松弛因子是关键.
结论：
线性方程组1和2对于Jacobi迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法均不收敛，线性方程组3收敛。
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