第三单元 应用题.docx
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第三单元应用题
第九讲分数百分数应用题
一、试一试：
你会解吗？
1、一瓶墨水用去24毫升，还剩
。
这瓶墨水原有多少毫升？
2、甲重50千克，乙重40千克。
那么：
甲比乙重百分之几？
乙比甲轻百分之几？
3、某厂十月份产零件2000个，比九月份增产
，九月份产零件多少个？
二、基本功：
1、确立单位“1”，理解条件中的分率。
找准单位“1”，从已知分率出发，弄清份数、比和比例关系。
2、对题中的数量关系进行分析，写出关系式。
根据分数的意义以及一个数乘以几分之几的含义进行分析。
建立分数应用题的一般模型：
单位“1”×对应分率=具体数量。
3、熟知各种基本类型。
（1）求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）？
（2）求一个数的几分之几（百分之几）是多少？
（3）已知某数几分之几（百分之几）是多少而求这个数？
（4）求比一个数量多（或少）几分之几（百分之几）的数量是多少？
（5）已知比某个数量多（或少）几分之几（百分之几）的数量是多少而求原来数量是多少？
（6）求一个数量比另一个数量多或少几分之几（百分之几）？
三、基本技巧训练：
1、根据分数的意义，把单位“1”出发，将分数转化为份数处理。
【例题1】
某车间男工人数比女工人数多
，女工人数比男工人数少几分之几？
分析：
男工人数比女工人说多
，我们可以把女工人数看作5份，那么男工人数有与女工人数相等的（5+3=）8份，所以女工人数比男工人数少（8-5）÷8=
答：
女工人数比男工人数少
。
随堂练习：
水结成冰时，体积将增加
，当冰融化成水时，体积将减少几分之几？
2、利用比与比例关系的对应来思考解题。
【例题2】
某人从甲地到乙地用了30分钟，返回时速度加快
，返回将用多长时间？
分析与解：
速度由原来的单位“1”增加到
，即速度关系是4：
5，来回路程一定，时间与速度成反比，即原来时间：
现在时间=5：
4，那么返回的时间是原来的
所以，返回用的时间是
（分钟）
答：
返回将用24分钟。
随堂练习：
小李做一件工程用了8个小时，小王做同一件工程的工作效率是小李的
倍，小王做这件工程需要多长时间？
3、对数量关系进行分析，利用关系式解题。
【例题3】
有甲、乙两家商店，如果甲店的利润增加20%，乙店的利润减少10%，那么这两店的利润就相同，原来甲店的利润是原来乙店的利润的百分之几？
解：
由已知，甲店的利润×（1+20%）=乙店的利润×（1-10%），
所以，甲店的利润÷乙店的利润
=（1-10%）÷（1+20%）
=75%
答：
原来甲店的利润是原来乙店的利润的75%
随堂练习：
已知甲校学生数是乙校学生数的50%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的40%，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？
4、通过线段图找准量与率间的对应关系。
【例题4】
某次会议，昨天参加会议的男代表比女代表多700人，今天男代表减少了
，女代表增加了
，今天共有1995人出席会议，那么昨天参加会议的有多少人？
分析：
把昨天女代表人数看作单位“1”，今天出席的男代表有
（“1”+700）×
=（“1”+700）×
=“1”×
+700×
那么今天出席会议的1995人的数量关系图可以这样表示：
解：
女代表
（人）
男代表=700+700=1400（人）
那么昨天参加会议的有1400+700=2100（人）
答：
昨天参加会议的有2100人。
随堂练习：
小华看一本故事书，第一天看的比全书的
多6页，第二天看的比全书的
少8页，最后还剩下172页，这本故事书一共有多少页？
5、当某些量未知，且其大小不影响计算结果时，可以用设数的方式来表达。
【例题5】
一个正方形的棱长增加原来长度的50%，它的表面积比原来增加百分之几？
解：
设原来正方体的棱长为
，现在正方体的棱长为
，
原来正方体的表面积为
，现在正方体的表面积为
，
表面积比原表面积增加的百分比为
答：
它的表面积比原来增加125%。
随堂练习：
有三堆球A、B、和C，如果B比A多20%，C比A少10%，那么C比B少百分之几？
6、利用题中的等量关系，设未知数，列方程求解。
【例题6】
张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。
张先生向商店经理说：
“如果你肯减价，每减1元，我就多订购4件。
”商店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生的多订购，仍可获得与原来一样多的利润。
问：
这种商品的成本是多少元？
解：
设这种商品的成本是
元，减价5%就是每件减价100×5%=5元，张先生可以多买4×5=20件，由获得的利润相同，可列方程：
解得
答：
这种商品的成本是75元。
随堂练习：
一个个体户购进十二生肖玩具1000个，运输过程中破损了一些，未破损的好玩具卖完后，获取利润50%，破损的玩具只得降价出售，亏损了10%，最后结算，这位个体户获得利润39.2%，他卖出的好玩具有多少个？
解：
设卖出的好玩具
个，则破损（1000-
）个，把成本看作单位“1”，列方程得，
解得
答：
他卖出的好玩具有820个。
小结：
分数、百分数应用题主要搞清每个分率的单位“1”是哪一个量，在单位“1”统一的情况下，找准分率与部分量的对应关系来解题，必要时可以画线段图，如果出现单位“1”的量发生变化，可以用逆推法来解，或根据前后关系，依次找出与原总量之间的关系。
第十讲比和比例
一、比和比例的基本概念
（一）比的认识
1、比的概念：
两个数相除又叫做两个数的比。
2、比的表示形式：
15比10记作15:
10
10比15记作10:
15
注意：
“：
”是比号
3、比的组成部分
15：
10＝15÷10＝
前项比号后项比值
比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。
4、比与分数，除法的关系。
比是表示两个数相除，有两项，前项和后项，后项不能为0。
比与分数在一定的程度是对等的，比的前项相当于分数的分子，比的后项相当于分数的分母，比号相当于分数线，如3：
4=
，
：
5，
比和除法的联系就是比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于除法的商。
比和除法、分数的关系表：
除法被除数÷（除号）除数商
分数分子──（分数线）分母分数值
比前项∶（比号）后项比值
（二）比例的认识
1、比例的概念：
表示两个比相等的式子叫做比例。
2、比例的表示形式：
15:
10=3:
2也可以写成
=
3、比例的组成部分
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
二、比和比例的基本性质
（一）比的基本性质
比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数（0除外），比值不变。
例1：
把下面各比化成最简单的整数比并求其比值。
（1）25:
10
（2）12.5：
（3）0.25：
0.4
解：
（1）25：
10＝（25÷5）：
（10÷5）＝5：
2＝
（2）12.5：
＝（12.5×8）：
（
×8）＝100：
5＝（100÷5）：
（5÷5）＝20:
1＝20
（3）0.25：
0.4＝（0.25×100）：
（0.4×100）＝25：
40＝（25÷5）：
（40÷5）＝5：
8＝
随堂练习：
化简下面各比并求比值。
（1）63：
27
（2）
：
（3）400厘米：
6米
小结：
①整数比化最简比时，同时除以最大公约数。
②分数比化整数比时，前、后项同时乘以分母的最小公倍数。
③小数比化整数比时，前、后项同时扩大的数要看较小数的小数部分：
小数的部分是几分位如:
十分位扩大10倍百分位扩大100倍……
（二）比例的基本性质
在比例里，两内项之积等于两外项之积。
例2：
解比例
解：
1.5x=2.5×6
x=
x=
随堂练习：
解下列比例。
x:
10=
:
0.4:
x=1.2:
2
三、比和比例的应用
例3：
甲数比乙数多
，甲、乙两数的比是多少？
分析：
由“甲数比乙数多
”，可以把乙数看作单位“1”，平均分成5份。
如图：
甲数为（1＋
）
解：
方法一：
（1＋
）：
1＝
1＝
方法二：
（5＋1）：
5＝6：
5
随堂练习：
某厂男、女工人数比是7：
8，那么女工人数相当于男工的
；女工人数占全厂总人数的
。
例4：
已知甲比乙是2：
3，丙比乙是5：
4，那么甲比丙是多少？
解：
乙作为中间量，前者占3份，后者占4份，份数不统一，所以将份数统一得到，甲比乙是2：
3=8：
12，丙比乙是5：
4=15：
12，即甲比乙比丙是8：
12：
15
那么甲比丙是8：
15。
随堂练习：
已知甲比乙是3：
4，乙比丙是5：
4，那么甲比丙是多少？
例5：
甲、乙两包糖的重量比是4：
1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为2：
3，那么两包糖的重量的总和是多少克？
解：
设甲包糖重量是
，乙包糖重量是
，则两包糖的重量的总和是
根据题意，列比例方程得，
（
）︰
︰3
，
（克）
答：
两包糖的重量的总和是25克。
随堂练习：
甲、乙两个书架上书的数量比是3：
2，如果从甲书架取出10本书放入乙书架后，甲、乙两个书架上书的数量比变为8：
7，那么两个书架上共有书多少本？
例6：
小明和小方各走一段路，小明走的路程比小方多
，小方用的时间比小明多
，小明和小方的速度之比是多少？
分析：
依题意，小明和小方路程之比为6︰5，小明和小方所用时间的比是8︰9，我们把这两个比看作最简整数比，利用路程与时间的关系，可求出小明和小方的速度之比。
解：
︰
=27︰20
答：
小明和小方的速度之比是27︰20。
例7：
小明从甲地到乙地，去时每小时走6千米，回来时每小时走9千米，来回共用5小时，小明来回共走了多少千米？
分析：
要求小明来回共走的路程，实际上只要求出从甲地到乙地的距离，来回走的距离即为甲地到乙地的2倍。
由题意知，去时与回来时的速度比为6∶9=2∶3，路程一定，速度与时间成反比，由此可知去和回所用的时间比为速度的反比，即3∶2，至此，问题就可以解决了。
解：
因为小明去时与回来时的速度比为6∶9=2∶3，
所以，小明去和回所用的时间比为3∶2，
故小明去的时间是
（小时）
去时所走的路程是：
3×6=18（千米）
小明来回共走了18×2=36千米。
答：
小明来回共走了36千米。
小结：
比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：
比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种；
比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同。
所以，比和比例的联系就可以说成是：
比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。
比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。
比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。
比和比例的意义也不同。
第十一讲浓度问题
一、知识要点：
百分数应用题中有一类是关于浓度计算的有关应用题，即浓度问题。
以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液，三者之间有如下关系：
浓度=溶质÷溶液×100%=溶质÷（溶质+溶剂）×100%
利用这个关系，我们可以列方程或按解分数应用题的方法进行有关问题的解答。
二、基本概念：
引入：
往80克水中加入20克糖，那么糖占糖水的百分之几？
分析：
在这里糖作为溶质，水作为溶剂，糖水作为溶液，糖占糖水的百分比就是浓度。
解：
方法一：
20÷（20+80）×100%=20%
方法二：
80÷（20+80）×100%=80%，
1-80%＝20%
【例题1】在浓度为35％的10千克的盐水中加入4千克的水，这时盐水的浓度是多少？
解：
10×35％÷（10＋4）×100％＝25％
答：
这时盐水的浓度是25％。
随堂练习：
有浓度为25％的糖水100克，加入一些水后浓度变为15％，求加入了多少克水？
。
三、基本类型：
1、加浓（即把浓度提高）
途径：
（1）加热蒸发，溶质不变；
（2）加溶质，溶剂不变。
【例题2】有250克浓度为8%的盐水，现在要使它的浓度提高到25%，应该蒸发掉多少克的水？
分析与解：
加热蒸发，盐不变，原来有盐，250×8%=20（克）
后来这20克盐所对应的分率是25%，
所以后来的溶液是20÷25%=80（克）
因此，要蒸发掉的水是250-80=170（克）
答：
应该蒸发掉170克的水。
【例题3】有浓度为6%的糖水900克，要使其浓度加大到10%，那么需要加入糖多少克？
解：
加糖，水不变，原来水的百分含量是1-6%=94%，后来水的百分含量是1-10%=90%，即不变量水的含量比：
（1-6%）：
（1-10%）=47：
45
那么溶液比：
45：
47
加糖：
900×（
-1）=40（克）
答：
需要加入糖40克。
随堂练习：
浓度为15%的盐水有500克，
（1）要蒸发掉多少克的水，才能使它的浓度增加到25%？
（2）只要加多少盐，就能使原来的盐水变成浓度为20%的盐水？
2、稀释
途径：
加溶剂，溶质不变。
【例题4】有浓度为30%的以水为溶剂的溶液若干，加入一定数量的水之后稀释成浓度为24%的溶液。
如果再加入同样多的水之后浓度将变为多少？
解：
不变量浓度比：
30%：
24%=5：
4溶液比：
4：
5
再加入同样多的水之后，溶液比：
5：
6不变量浓度比：
6：
5
再加入同样多的水之后，浓度变为：
24%×
=20%
随堂练习：
一只杯中有浓度为20%的盐水，若再加入10千克水，则盐水的浓度变为15%，这只杯中含盐多少千克？
3、混合溶液
解决的方法与原理：
补偿原理。
【例题5】浓度为20%的糖水300克和浓度为35%的糖水200克混合在一起，混合后的糖水浓度是多少？
分析与解：
根据糖水的浓度=
，得
答：
混合后的糖水浓度是26%。
随堂练习：
浓度为45%的硫酸溶液10千克，与浓度为60%的硫酸溶液5千克，混合后所得到的硫酸溶液的浓度是多少？
小结：
浓度问题的基本数量关系式是：
溶质÷溶液×100%＝浓度（溶液=溶质+溶剂）浓度问题常常表现为添加溶质型、添加溶剂型、溶液混合型第三种形式，在每一种类型的解题过程中，常从不变量入手，结合每一概念的本质进行数量关系的份数分析。
同时要注意对应。
思考与提高：
1、葡萄从新疆被运到北京，含水量由98%减少到90%，那么从新疆运5000千克葡萄，到了北京就只剩下多少千克了？
分析：
葡萄从新疆被运到北京，只是所含水分减少了，没有变化的是果子的含量，由原来的1-98%=2%，增加到1-90%=10%，
所以，5000千克的葡萄到了北京就变成了，
5000×（1-98%）÷（1-90%）=1000（千克）
答：
从新疆运5000千克葡萄，到了北京就只剩下1000千克了。
随堂练习：
含水量为98%的葡萄10000千克，被运到北京时只剩下1000千克，那么到了北京的葡萄，它的含水量是多少？
2、有两种硫酸，一种浓度为60%，另一种浓度为90%，现在要配置浓度为70%的硫酸300克，问每种硫酸各取多少克？
分析：
浓度为60%的溶液，需要补充10%才能得到70%，
浓度为90%的溶液，可以提供20%之后得到70%，
也就是说，一份浓度为90%的溶液，可以补偿给两份浓度为60%的溶液，即两者溶液比为1：
2，这便是补偿原理，如图所示，
所以，浓度为90%的硫酸取，300×
=100（克）
浓度为60%的硫酸取，300×
=200（克）
随堂练习：
甲、乙两种金条分别含金80%和60%，应该各取几克熔化起来才能得到含金74%的金条500克？
解：
根据补偿原理，两者之间量的关系如下表所示，
第十二讲利润问题
一、知识要点：
本讲主要介绍商业中的百分数应用题，即利润问题。
主要数量关系式：
利润率=利润÷成本×100%
折扣=实际售价÷定价
利息=本金×利率×时间
二、基本概念：
引入：
一双鞋子，标价为200元，打八折出售之后，还能获得60%的利润，则这双鞋子的利润、成本、期望利润率分别是多少？
解析：
定价，即商品的标价，商店老板期望卖出去的价格，在这里是200元。
折扣，即按商品的定价降价出售，八折，即按定价的80%（或0.8）计算。
实际售价：
商品最终卖出时，消费者所付的实际价钱，在这里是200×0.8=160（元）
利润率，指利润占成本的一个百分比，在这里是60%，即利润率是相对成本而言的。
成本，即商品的进货价。
利润，是实际售价与成本的差额。
在这里，实际售价包含着成本与利润，设成本为单位“1”，那么利润是1×60%=60%
所以，成本：
160÷（1+60%）=100（元）
利润：
160-100=60（元）
期望利润：
是定价与成本的差额，即200-100=100（元）
期望利润率：
是期望利润占成本的百分比，即100÷100×100%=100%
销量：
即商品卖出去的数量。
收入：
商品的实际售价与销量的乘积。
三、基本类型：
1、直接用数量关系求解：
【例题1】商店新进一批彩电，每台成本是2400元，按20%的利润定价，后来又以九五折出售，每台彩电的实际售价是多少元？
解：
彩电的定价，2400×（1+20%）=2880（元）
彩电的实际售价，2880×0.95=2736（元）
答：
每台彩电的实际售价是2736元。
随堂练习：
商店运进一批彩电，按20%的利润来定价，后来按定价的七折出售，结果每台亏损了240元，每台彩电的定价是多少元？
2、利用方程求解：
【例题2】某商品按20%的利润定价，然后按九折卖出，共得利润88元，这件商品的成本是多少元？
解：
设这件商品的成本是
元，则
答：
这件商品的成本是1100元。
随堂练习：
一种商品，甲店的进价比乙店便宜10%，甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，结果甲店的售价仍比乙店便宜11.2元，求甲店的进价是多少元？
【例题3】一个个体户购进十二生肖玩具1000个，运输过程中破损了一些，未破损的好玩具卖完后，获取利润50%，破损的玩具只得降价出售，亏损了10%，最后结算，这位个体户获得利润39.2%，他卖出去的好玩具有多少个？
解：
设卖出好玩具
个，则破损
个，
解得
答：
他卖出的好玩具有820个。
随堂练习：
果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价0.98元，共付运费1840元，预计损耗为1%，如果希望全部售出后能获利17%，那么每千克苹果的零售价应当定为多少元？
3、设数法求解。
【例题4】某商品按定价的80%出售，仍能获得20%的利润，问期望的利润百分数是多少？
分析：
求期望的利润百分数就是求定价是所期望获得的利润占成本的百分之几，因此就必须知道定价和成本各是多少。
假设定价为1，则实际卖价就为1×80%=0.8。
根据题意按定价的80%出售后，仍能获得20%的利润，则成本为0.8÷（1+20%）=
，利润百分数就为
。
解：
设定价为1，则商品的实际卖价是1×80%=0.8
商品的成本是0.8÷（1+20%）=
定价时的利润百分数是
答：
定价时的利润百分数是50%。
想一想：
（1）假设成本为“1”，怎样解答？
（2）假设实际卖价为“1”，怎样解答？
随堂练习：
某商品按定价的84%（八四折）出售，仍能获得5%的利润。
问定价时的利
润百分数是多少？
【例题5】某种牙膏原价15元一盒，为了促销，降低了价格，销量增加了2倍，收入增加了60%。
问一盒牙膏降价了多少元？
分析：
假定原来的销量为1，收入为15元；降低价格后，销量增加为1×（1+2）=3（盒），收入为15×（1+60%）=24（元）。
如果不降价，3盒牙膏的收入应为15×3=45（元），则一盒牙膏降价了（45-24）÷3=7（元）
解：
[1×（1+2）×15-1×15×（1+60%）]÷[1×（1+2）]=7（元）
答：
一盒牙膏降价了7元。
随堂练习：
某种少年读物，如果按原价销售，每售1本，获利1.2元；现在降价销售，结果售书量增加0.5倍，获利增加10%，问：
每本书售价降低了多少元？
小结：
解答商业中的百分数应用题，首先要找出成本
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