6.(2014·浙江高考)设全集U={x∈N|x≥2),集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=( )
A.∅ B.{2}
C.{5}D.{2,5}
B [因为A={x∈N|x≤-
或x≥
},
所以∁UA={x∈N|2≤x<
),故∁UA={2}.]
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
7.(2015·浙江高考)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
D [特值法:
当a=10,b=-1时,a+b>0,ab<0,故a+b>0D⇒/ab>0;当a=-2,b=-1时,ab>0,但a+b<0,所以ab>0D⇒/a+b>0.故“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.]
8.(2017·湖州市高三第一学期期末调研测试)已知{an}是等比数列,则“a2<a4”是“{an}是单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
B [若an=(-2)n,是等比数列,且a2=4<a4=16,但该数列不具有单调性,所以充分性不成立;若{an}是单调递增的等比数列,则必有a2<a4,所以必要性成立,即“a2<a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件,故选B.]
9.设p:
实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:
实数x,y满足
则p是q的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [p表示以点(1,1)为圆心,
为半径的圆面(含边界),如图所示.q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).
由图可知,p是q的必要不充分条件.故选A.]
10.已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A [由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.故选A.]
11.设集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是
( )
A.-1<x≤1B.x≤1
C.x>-1D.-1<x<1
D [由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁RB),又∁RB={x|x<1},则A∩(∁RB)={x|-1<x<1}.]
[B组 “8+7”模拟题提速练]
一、选择题
1.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},集合B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则c的取值范围为( )
A.(0,1]B.(0,1)
C.[1,+∞)D.(1,+∞)
C [由题意将两个集合化简得:
A=(0,1),B=(0,c),因为A⊆B,所以c≥1.]
2.(2017·杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设α,β是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:
①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;
②若m∥α,α⊥β,则m⊥β,则
A.①②都是假命题
B.①是真命题,②是假命题
C.①是假命题,②是真命题
D.①②都是真命题
B [由面面垂直的判定可知m⊥α,m⊂β,则α⊥β,故命题①为真命题;m∥α,α⊥β,m与β可能平行,在β内,或与α相交,故②为假命题.]
3.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
A [当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i;
当(a+bi)2=2i时,得
解得a=b=1或a=b=-1,
所以“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件.]4.(2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)已知集合P={x∈R|0<x<1},Q={x∈R|x2+x-2≤0},则( )
A.P∈QB.P∈∁RQ
C.∁RP⊆QD.∁RQ⊆∁RP
D [由题意得集合P={x|0<x<1},Q={x|-2≤x≤1},所以∁RP={x|x≤0或x≥1},∁RQ={x|x<-2或x>1},所以∁RQ⊆∁RP,故选D.]
5.函数f(x)的定义域为实数集R,“f(x)是奇函数”是“|f(x)|是偶函数”的( )【68334154】
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
A [f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,因此|f(x)|是偶函数,但当f(x)为奇函数时,|f(x)|为偶函数,但由|f(x)|为偶函数不能得出结论f(x)为奇函数,因此本题选A.]
6.“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
C [f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-
,f(-x)=sin(-x)-
=-sinx+
=-
=-f(x),故f(x)为奇函数;
反之,当f(x)=sinx-
+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,
又f(-x)+f(x)=sin(-x)-
+a+sinx-
+a=2a,故a=0,
所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数“的充要条件,故选C.]
7.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1B.2
C.3D.4
D [A={x|(x-1)(x-2)=0,x∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4}.
因为A⊆C⊆B,所以C可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.]
8.(2015·浙江高考)设A,B是有限集,定义:
d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.( )
命题①:
对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:
对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立,命题②不成立
D.命题①不成立,命题②成立
A [命题①成立,若A≠B,则card(A∪B)>card(A∩B),所以d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推,故“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②成立,由Venn图,知card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C),
d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C),
所以d(A,B)+d(B,C)-d(A,C)
=card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)-2card(B∩C)-[card(A)+card(C)-2card(A∩C)]
=2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C)
=2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)]
≥2card(B)+2card(A∩C)-2[card((A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)]
=[2card(B)-2card
+[2card(A∩C)-2card(A∩B∩C)]≥0,
所以d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得证.]
二、填空题
9.(2017·浙江省名师原创预测卷
(二))已知集合M=
,N={y|y=x2+2x+2},则(∁RM)∩N=________.
{1} [由题意得M=
,即M=(-∞,0)∪(1,+∞),N={y|y≥1},所以(∁RM)∩N=[0,1]∩[1,+∞)={1}.]
10.已知集合A=
,B={x∈R|-1<x<m+1},若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是________.
(2,+∞) [A=
={x|-1<x<3},
因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
所以A⊆B,所以m+1>3,即m>2.]
11.(2017·浙江省名师原创预测卷(四))已知集合A={1,2,3,…,10},若集合A的一个非空子集中的奇数的个数不多于偶数的个数,则称该子集为“偏偶集”,那么集合A的所有非空子集中,“偏偶集”的个数为________.
637 [集合A的所有非空子集可分为三类:
偶数的个数多于奇数的个数、奇数的个数多于偶数的个数、偶数的个数与奇数的个数相等.其中前两种情况的子集数相等,现考虑第三种情况,即考虑元素个数为2,4,6,8,10的子集,则共有子集数:
(C
)2+(C
)2+(C
)2+(C
)2+(C
)2=251,从而“偏偶集”的个数为251+
(210-1-251)=637.]
12.设p:
(x-a)2≤9,q:
(x+1)(2x-1)≥0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-4]∪
[p:
(x-a)2≤9,所以a-3≤x≤a+3,
q:
x≤-1或x≥
.
因为p是q的充分不必要条件,
所以a+3≤-1或a-3≥
,即a≤-4或a≥
.]
13.(2014·浙江高考)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=________.
[2,5] [因为S={x|x≥2},T={x|x≤5},所以S∩T={x|x≥2且x≤5}={x|2≤x≤5}.]
14.已知集合A={1,2,3,4},B={x∈Z||x|≤1},则A∩(∁ZB)=________.
{2,3,4} [因为集合A={1,2,3,4},B={x∈Z||x|≤1}={-1,0,1},所以A∩(∁ZB)={2,3,4}.]
15.(2016·江南十校一模)已知集合P={x|-1<x<b,b∈N},Q={x|x2-3x<0,x∈Z},若P∩Q≠∅,则b的最小值等于________.
2 [集合P={x|-1<x<b,b∈N},Q={x|x2-3x<0,x∈Z}={1,2},P∩Q≠∅,可得b的最小值为2.]