导数复习知识点总结.docx
《导数复习知识点总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数复习知识点总结.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
导数复习知识点总结
高考数学复习详细资料一一导数概念与运算知识清单
1•导数的概念
函数y=f（x）,如果自变量x在X0处有增量X，那么函数y相应地有增量y=f（x0+X）—f（X0），比值
yyf（xox）f（xo）
x叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即x=x。
如果当x0时,
_y
x有极限，我们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f'
（x0）或y'Ix勺。
yf（x°x）f（x。
）
、lim—lim
即f（x0）=x0x=x0x。
说明：
yy
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，x有极限。
如果x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。
（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量y=f（x0+X）—f（x0）；
yf（x°x）f（x°）
（2）求平均变化率x=x;
lim—
（3）取极限，得导数f'（X>）=x0x。
2.导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（X0，f（x0））处的切线的斜率。
也
就是说，曲线y=f（x）在点p（X0，f（x0））处的切线的斜率是f'（X0）。
相应地，切线方程为y—y°=f/
（X0）（X—X0）。
3.几种常见函数的导数：
Inx
1
-logax
1,
—
logae
⑦
x;
J
⑧
x
③（sinx）cosx.④（cosx）
⑤（ex）ex;⑥（ax）axlna；
4•两个函数的和、差、积的求导法则法则1:
两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），
即：
（UV）'u'V.
法则2:
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：
（uv）'uvuv'.
IIIII
若C为常数,则（Cu）CuCu0CuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
（Cu）'Cu'.
法则3:
两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母
Uu'vuv'
2
的平方：
v'二V（V0）。
形如y=f（X）的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：
分解一一求导一一回代。
法则：
y/Ix=y
|U•u/|X
2010高考数学复习详细资料一一导数应用
知识清单
单调区间：
一般地，设函数yf（x）在某个区间可导，
如果f'（x）0，则f（x）为增函数；
如果f（X）0，则f（x）为减函数；
如果在某区间恒有f（X）0，则f（x）为常数；
2•极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3.最值:
一般地，在区间［a,b］上连续的函数f（x）在［a,b］上必有最大值与最小值。
1求函数？
（x）在（a，b）的极值；
2求函数？
（x）在区间端点的值?
（a）、?
（b）；
3将函数？
°）的各极值与?
（a）、?
（b）比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
4.定积分
（1）概念：
设函数f（x）在区间［a，b］上连续，用分点a=x0区间［a，b］
n
f
等分成n个小区间，在每个小区间［xi—1，xi］上取任一点Ei=1，2，…n）作和式In=i=1（Ei）△其中Ax为小区间长度），把门-^即厶x一时，和式In的极限叫做函数f（x）在区间［a，b］上的定积分,
记作：
n
bblimf
af（X）dX即af（X）dXn/E•、△
a，即a=i1（Ei）△x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b］叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式。
基本的积分公式:
0dx=C；
1m1
xdx=m1x+C（m€Q,m^—1）；
lnx+C；
exdxx
x=e+C；
C0Sxdx=sinx+C；
sinxdx=_cosx+C（表中C均为常数）。
（2）定积分的性质
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为
R的球，若将R看作（0,
bb
kf（x）dxkf（x）dx
aa（k为常数）；
bbb
af（x）g（x）dxaf（x）dxag（x）dx
aaa
b
边梯的面积Saf（X）dx。
课前预习
1•求下列函数导数
yrf^
bb
af,x）dxaf2（x）dx
aa
o
+^）上的变量，请你写出类似于
1的式子：
;
2式可以用语言叙述为：
。
1
y_2
5.曲线x和yX在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是
6•对于R上可导的任意函数f（x）,若满足（x—1）f（x）0，则必有（
A.f（0）+f
（2）2f
（1）B.f（0）+f
（2）2f
（1）
C.f（0）+f
（2）2f
（1）D.f（0）+f
（2）2f
（1）
7.函数f（x）的定义域为开区间（a，b）,导函数f（x）在（a，b）的图象如图所示，贝q函数f（x）在开区间（a，b）
有极小值点（）
A.
1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.
fx
已知函数
1xax
e
1x。
（I）设a0，讨论y
fx的单调性；（n）若对任意x0,1恒有fx1
求
a的取值围。
9.
32
f（x）x3x2在区间
1,1上的最大值是（
）
（A）—2
（B）0
（C）2
（D）4
10
.设函数f（x）=
=2x33（a
1）x21,其中a1.
（I）求f（x）的单调区间；
（n）讨论f（x）的极值。
3
11.设函数f（x）x3x2分别在X1、x2处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B的坐标分别为
uuuuiur
（心心））、（X2,f（X2）），该平面上动点P满足PA?
PB4,点Q是点P关于直线y2（x4）的对称点.求
（I）求点A、B的坐标；
（II）求动点Q的轨迹方程.
12.请您设计一个帐篷。
它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥
（如右图所示）。
试问当帐篷的顶点0到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大?
13.计算下列定积分的值
（1）
3
1（4x
x2）dx
2
5
（2）
1（x
1）dx.
（3）
2（x
0
sinx）dx
2cos2xdx
（4）2；
14.
（1）一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方.试求物体由x=0运动到x=a时，阻力所作的功。
（2）抛物线y=ax2+bx在第一象限与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值，并求Smax.
典型例题
一导数的概念与运算
EG:
如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3s时的瞬时速度为（）
A.6m/sB.18m/sC.54m/sD.81m/s
变式：
定义在D上的函数f（x），如果满足：
xD，常数MO，
都有|f（x）|M=1为上界的有界函数，数a的取值围.
以M=1为上界的有界函数，数a的取值围.
f（x）
则lim-
f（2
x）f
（2）
EG:
已知
xx0
x
的值是（）
1
1
A.4
B
.2
C.4
D.—2
设f3
4,则lim
f3
hf3
为
变式1:
h0
2h
（）
A.—1
B.—2
C.
—3D.1
A2fx°bfx°
C3fx°d4fx°
变式2:
设^在x°可导，则讥5*J。
"等于（）
A.（—3,0）U（3,+x）
B.（—3,0）U（0,3）
EG:
求所给函数的导数:
则不等式f（x）g（x）V0的解集是
D.（—x,-3）U（0,3）
C.（—x,-3）U（3,+x）
EG:
已知函数yxlnx.（i）求这个函数的导数；
（2）求这个函数在点x1处的切线的方程.
x
变式1:
已知函数ye
（1）求这个函数在点xe处的切线的方程;
（2）过原点作曲线y二ex的切线，求切线的方程.
变式2:
函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切，则a=（）
111
A.8B.4C.2D.1
EG:
判断下列函数的单调性，并求出单调区间:
（1）f（x）x33x;
（2）f（x）x22x3;
⑶f（x）sinxx,x（0,）；
32
⑷f（x）2x33x224x1.
变式1:
函数f（x）XeX的一个单调递增区间是
A.1,0B.2,8C.1,2D.0,2
y-x3x2ax5
变式2:
已知函数3
（1）若函数的单调递减区间是（-3,1），则a的是
⑵若函数在［1，）上是单调增函数，则a的取值围是
变式3:
设t0，点P（t，0）是函数f（x）x3»与g（x）bx2c的图象的一个公共点，两函数的
图象在点P处有相同的切线•
（I）用t表示a，b，c;
（n）若函数y
f（x）g（x）在（—1，3）上单调递减，求t的取值围.
EG:
求函数f（x）
^x34x4
3的极值.
求函数
f（x）
〔x34x403
3在，3上的最大值与最小值
变式1:
函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在佝b）的图象如图所示，贝U函数f（x）在开区
间（a，b）有极小值点（）
A.
1个
B.2个
C.3个
D.4个
32
变式2:
已知函数f（x）axbxcx在点xo处取得极大值5，其导函数yf'（x）的图象经过点（1,0），
（2,0），如图所示•求：
（I）X。
的值；（n）a，b，c的值.
4
3—
变式3:
若函数f（x）axbx4，当x2时，函数f（x）极值3，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数f（x）k有3个解，数k的取值围.
f（x）
3x
12
—x
2x
c
变式4:
已知函数
2
，对x〔—1,2〕，不等式f（x）c2恒成立，求
c的取
值韦。
EG:
利用函数的单调性，
证明：
lnx
x
ex,x0
11
lnx
1x
变式1:
证明：
x1
x
1
变式2:
（理科）设函数f（x）=（1+x）2—In（1+x）2.若关于x的方程f（x）=x2+x+a在［0,2］上恰好有两个相异的实根，数a的取值围.
32
EG:
函数f（x）x3xxR,若fmxf1mx°恒成立擞m的取值围
3fmsinf1m00—
变式1:
设函数f（x）x3xxR，若2恒成立，数m的取值围.
22
变式2:
如图,曲线段OMB是函数f（x）x（0x6）的图象，BAx轴于点a,曲线段OMB上一点M（t，t）
处的切线PQ交x轴于点P,交线段AB于点Q，
（1）若t已知,求切线PQ的方程⑵求QAP的面积的最大值
变式3:
用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小形，然后把四边翻折900角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？
最大的容积是多少?
c（x）1200—x3
变式4:
某厂生产某种产品x件的总成本75（万元），已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大?
EG:
计算下列定积分：
（理科定积分、微积分）
⑴卞;
（2）：
（2x于）dx;（3）0sinxdx;
22
（4）sinxdx;（5）°sinxdx
变式1:
计算：
；
2cos2x,dx
（1）0cosxsinx；
（2）
变式2:
2
求将抛物线yx和直线x1围成的图形绕X轴旋转一周得到的几何体的体积.
1
2八
变式3:
在曲线yxx0上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为12，试求：
（1）
切点A的坐标；
（2）在切点A的切线方程.
实战训练
1.设函数f（x）在定义域可导，y=f（x）的图象如右图所示，贝U导函数y=f（x）的图象可能为（）
2.已知曲线S:
y=3x-x3及点P（2,
2）,则过点P可向S引切线的条数为（
2
3.C设S上的切点（x0,y0）求导数得斜率，过点P可求得：
（x。
1）（x02）
4.函数yxcosxsinx在下面哪个区间是增函数（
（B）（,2）
35
（0（"
（D）（2,3）
4
5.y=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于（）
（A）1，-1
（B）3，-17
（C）1,-17
（D）9，-19
7•设11为曲线y1=sinx在点（0，0）处的切线，12为曲线y2=cosx在点（2,0）处的切线，则11与12的夹角
为.
8.设函数f（x）=x3+ax2+bx—1，若当x=1时，有极值为1，则函数g（x）=x3+ax2+bx的单调递减区间
y—x2
9.（07）已知函数yf（x）的图象在点M（1,f
（1））处的切线方程是2，则f
（1）f
（1）
3
10.（07）函数f（x）12xx在区间［3,3］上的最小值是
32
11.（07）曲线yx2x4x在点（1，3）处的切线方程是9..已知函数
32
f（x）xaxb（a,bR）
（I）若函数f（x）图像上任意一点处的切线的斜率小于1,求证：
a3;
（U）若x0，1，函数yf（x）图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论k<1的充要条件。
（I）求］（t）的表达式；（n
）诗询在区间（-1,1）的单调性并求极值•
xx
12.
1，将f（x）的最小值记为g（t）.
（07）设函数f（x）=-cos2x-4tsin°cos2+4t2+t2-3t+4,x€R,其中＜
实战训练B
时（）
f（x）
0，
g（x）0
B.
f（x）0，g（x）0
f（x）
0，
g（x）0
f（x）0，g（x）0
2.
（07）
曲线
1
x
o
ye在点（4,
e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
92
e
A.2
B.
4e2
2
C.2e
2
D.e
3.（07）
曲线
在点（2,
e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
92
e
A.4
B.
2e2
2
e
2~
C.eD.2
4.（07）
已知二次函数f（x）
2
axbxc的导数为f'（x），f'（0）
0，对于任意实数x都有f（x）0，则
f
（1）
0
5.（07）5.若
f（0）的最小值为
sinxA.
-xsinx
nB.
42
sinx—x
n
42
sinx—x
D.n
0
6.（07）若
n
2，贝U下列命题正确的是（
2
sinx—x
A.n
2
3
3
sinx—x
sinx—x
sinx—x
B.n
C.n
D.n
）
（x）与g（x）仅当x0时的函数值为0，且
7.（07）已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果
f（x）>g（x），那么下列情形不可能出现的是（）
A.0是f（x）的极大值，也是g（x）的极大值
B.0是f（x）的极小值，也是g（x）的极小值
C.0是f（x）的极大值，但不是g（x）的极值
d.0是f（x）的极小值，但不是g（x）的极值
（07全国一）
曲线
13
y3x
x
在点
1,4
3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（
1
c.3
10.（07）设f（X）是函数f（x）的导函数，将yf（x）和yf（X）的图象画在同一个直角坐标系中，不可
能正确的是（）
12．（07）函数f（x）xlnx（x0）的单调递增区间是
3
13.（07）已知函数f（x）x12x8在区间［3,3］上的最大值与最小值分别为M,m，则Mm
22
14．（07）设函数f（x）tx22t2xt1（xR，t0）．
（I）求f（X）的最小值h（t）；
（n）若h（t）2tm对t（O,2）恒成立，数m的取值围.
2
15.（07）已知a是实数，函数f（x）2ax2x3a•如果函数yf（x）在区间［1,1］上有零点，求a的
取值围．
升级会员 