高三数学第一轮复习第04讲 基本初等函数教案.docx

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高三数学第一轮复习第04讲基本初等函数教案

2019-2020年高三数学第一轮复习第04讲基本初等函数教案

一．课标要求

1．指数函数

（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；

（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2．对数函数

（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。

二．命题走向

指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。

从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。

为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。

预测xx年对本节的考察是：

1．题型有两个选择题和一个解答题；

2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

三．要点精讲

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：

若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。

即若，则称的次方根，

1）当为奇数时，次方根记作；

2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。

②性质：

1）；2）当为奇数时，；

3）当为偶数时，。

（2）．幂的有关概念

①规定：

1）N*；2）；

n个

3）Q，4）、N*且。

②性质：

1）、Q）；

2）、Q）；

3）

Q）。

（注）上述性质对r、R均适用。

（3）．对数的概念

①定义：

如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，记作；

2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；

3）；4）对数恒等式：

。

③运算性质：

如果

则

1）

；

2）

；

3）R）。

④换底公式：

1）；2）。

2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

①定义：

函数称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；

3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。

①，

②，

③

①，

②，

③，

③函数值的变化特征：

（2）对数函数：

①定义：

函数

称对数函数，

1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；

4）对数函数与指数函数互为反函数。

②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；

4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。

③函数值的变化特征：

①，

②，

③.

①，

②，

③.

四．典例解析

题型1：

指数运算

例1．

（1）计算：

；

（2）化简：

。

解：

（1）原式=

；

（2）原式=

。

点评：

根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．已知，求的值。

解：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵

，

∴。

点评：

本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：

对数运算

例3．计算

（1）；

（2）

；

（3）

。

解：

（1）原式

；

（2）原式

；

（3）分子=

；

分母=

；

原式=。

点评：

这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。

例4．设、、为正数，且满足

（1）求证：

；

（2）若，，求、、的值。

证明：

（1）左边

；

解：

（2）由得，

∴……………①

由得………………………②

由①②得……………………………………③

由①得，代入得，

∵，∴………………………………④

由③、④解得，，从而。

点评：

对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：

指数、对数方程

例5．设关于的方程R），

（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；

（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

解：

（1）原方程为，

，

时方程有实数解；

（2）①当时，，∴方程有唯一解；

②当时，

.

的解为；

令

的解为；

综合①、②，得

1）当时原方程有两解：

；

2）当时，原方程有唯一解；

3）当时，原方程无解。

点评：

具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。

例6．（xx辽宁文13）方程

的解为。

解：

考察对数运算。

原方程变形为

，即，得。

且有。

从而结果为。

点评：

上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。

题型4：

指数函数的概念与性质

例7．设

（）

A．0　B．1C．2D．3

解：

C；，。

点评：

利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。

例8．已知

试求函数f（x）的单调区间。

解：

令，则x=，t∈R。

所以即，（x∈R）。

因为f（－x）=f（x），所以f（x）为偶函数，故只需讨论f（x）在[0，+∞）上的单调性。

任取，，且使，则

（1）当a>1时，由，有，，所以，即f（x）在[0，+∞]上单调递增。

（2）当0

综合所述，[0，+∞]是f（x）的单调增区间，（－∞，0）是f（x）的单调区间。

点评：

求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。

特别是分两种情况来处理。

题型5：

指数函数的图像与应用

例9．若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）

A．m≤－1B．－1≤m<0C．m≥1D．0

解：

，

画图象可知－1≤m<0。

答案为B。

点评：

本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。

例10．设函数

的取值范围。

解：

由于是增函数，等价于　　　　①

1）当时，，①式恒成立；

2）当时，，①式化为，即；

3）当时，，①式无解；

综上的取值范围是。

点评：

处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理。

题型6：

对数函数的概念与性质

例11．

（1）函数的定义域是（）

A．B．C．D．

（2）（xx湖北）设f（x）＝，则的定义域为（）

A．B．（－4,－1）（1，4）

C．（－2,－1）（1，2）D．（－4,－2）（2，4）

解：

（1）D

（2）B。

点评：

求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。

对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。

例12．对于

，

（1）函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；

（2）结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；

（3）结合

（1）

（2）两问，说明实数a的取何值时的值域为

（4）实数a的取何值时在内是增函数。

解：

记

，则；

（1）不一样；

定义域为R恒成立。

得：

，解得实数a的取值范围为。

值域为R：

值域为R至少取遍所有的正实数，

则，解得实数a的取值范围为。

（2）实数a的取何值时在上有意义：

命题等价于对于任意恒成立，

则或，

解得实数a得取值范围为。

实数a的取何值时函数的定义域为：

由已知得二次不等式的解集为可得，则a=2。

故a的取值范围为{2}。

区别：

“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）

（3）易知得值域是，又得值域是，

得，故a得取值范围为{－1，1}。

（4）命题等价于在上为减函数，且对任意的恒成立，则，解得a得取值范围为。

点评：

该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。

解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理。

题型7：

对数函数的图像及应用

例13．当a>1时，函数y=logax和y=（1－a）x的图象只可能是（）

解：

当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，

又a>1时，y=（1－a）x为减函数。

答案：

B

点评：

要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。

例14．设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:

x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）当△ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围。

解：

（1）易知D为线段AB的中点,因A（a,log2a）,B（a+4,log2（a+4）），

所以由中点公式得D（a+2,log2）。

（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=…=log2,

其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。

由S△ABC=log2>1,得0

点评：

解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。

题型8：

指数函数、对数函数综合问题

例15．在xOy平面上有一点列P1（a1,b1）,P2（a2,b2）,…,Pn（an,bn）…，对每个自然数n点Pn位于函数y=xx（）x（0

（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；

（2）若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

（3）设Cn=lg（bn）（n∈N*）,若a取

（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？

试说明理由。

解：

（1）由题意知：

an=n+,∴bn=xx（）。

（2）∵函数y=xx（）x（0

∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。

则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，

即（）2+（）－1>0，

解得a<－5（1+）或a>5（－1）。

∴5（－1）

（3）∵5（－1）

∴bn=xx（）。

数列{bn}是一个递减的正数数列，

对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1。

于是当bn≥1时，Bn

因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1，

由bn=xx（）≥1得：

n≤20。

∴n=20。

点评：

本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。

例16．已知函数

为常数）

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f（x）的单调性。

（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围。

解：

（1）由

∵a＞0，x≥0

∴f（x）的定义域是。

（2）若a=2，则

设，则

故f（x）为增函数。

（3）设

①

∵f（x）是增函数，

∴f（x1）＞f（x2）

即

②

联立①、②知a＞1，

∴a∈（1，+∞）。

点评：

该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。

题型9：

课标创新题

例17．对于在区间上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的，均有，则称f（x）与g（x）在上是接近的，否则称f（x）与g（x）在上是非接近的，现有两个函数与

，给定区间。

（1）若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

（2）讨论与在给定区间上是否是接近的。

解：

（1）两个函数与

在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，

故有意义当且仅当

；

（2）构造函数

，

对于函数来讲，

显然其在上单调递减，在上单调递增。

且在其定义域内一定是减函数。

由于，得

所以原函数在区间内单调递减，只需保证

当时，与在区间上是接近的；

当时，与在区间上是非接近的。

点评：

该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。

例18．设，，且，求的最小值。

解：

令，

∵，，∴。

由得，∴，

∴，∵，∴，即，∴，

∴

，

∵，∴当时，。

点评：

对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。

同时考察了学生的变形能力。

五．思维总结

1．

（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；

5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。