大学物理上海交通大学下册课后习题答案.docx

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大学物理上海交通大学下册课后习题答案

习题11

11-1．直角三角形

的

点上，有电荷

，

点上有电荷

，试求

点的电场强度（设

，

）。

解：

在C点产生的场强：

，

在C点产生的场强：

，

∴

点的电场强度：

；

点的合场强：

，

方向如图：

。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为

的圆环，两端间空隙为

，电量为

的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。

解：

∵棒长为

，

∴电荷线密度：

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去

长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在

点产生的场强。

解法1：

利用微元积分：

，

∴

；

解法2：

直接利用点电荷场强公式：

由于

，该小段可看成点电荷：

，

则圆心处场强：

。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为

，四分之一圆弧

的半径为

，试求圆心

点的场强。

解：

以

为坐标原点建立

坐标，如图所示。

①对于半无限长导线

在

点的场强：

有：

②对于半无限长导线

在

点的场强：

有：

③对于

圆弧在

点的场强：

有：

∴总场强：

，

，得：

。

或写成场强：

，方向

。

11-4．一个半径为

的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为

，求环心处

点的场强E。

解：

电荷元dq产生的场为：

；

根据对称性有：

，则：

，

方向沿

轴正向。

即：

。

11-5．带电细线弯成半径为

的半圆形，电荷线密度

为

，式中

为一常数，

为半径

与

轴

所成的夹角，如图所示．试求环心

处的电场强度。

解：

如图，

，

考虑到对称性，有：

；

∴

，

方向沿

轴负向。

11-6．一半径为

的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为

，求球心

处的电场强度。

解：

如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为

，所带电荷：

。

利用例11-3结论，有：

∴

，

化简计算得：

，∴

。

11-7．图示一厚度为

的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为

。

求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标

变化的图线，即

图线（设原点在带电平板的中央平面上，

轴垂直于平板）。

解：

在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面

为高斯面，

当

时，由

和

，

有：

；

当

时，由

和

，

有：

。

图像见右。

11-8．在点电荷

的电场中，取一半径为

的圆形平面（如图所示），

平面到

的距离为

，试计算通过该平面的

的通量.

解：

通过圆平面的电通量与通过与

为圆心、

为半径、圆的平面

为周界的球冠面的电通量相同。

【先推导球冠的面积：

如图，令球面的半径为

，有

，

球冠面一条微元同心圆带面积为：

∴球冠面的面积：

】

∵球面面积为：

，通过闭合球面的电通量为：

，

由：

，∴

。

11-9．在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E~r关系曲线。

解：

由高斯定律

，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为

，长为

的高斯面。

（1）当

时，

，有

；

（2）当

时，

，则：

；

即：

；

图见右。

11-10．半径为

和

（

）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量

和

，试求：

（1）

；

（2）

；（3）

处各点的场强。

解：

利用高斯定律：

。

（1）

时，高斯面内不包括电荷，所以：

；

（2）

时，利用高斯定律及对称性，有：

，则：

；

（3）

时，利用高斯定律及对称性，有：

，则：

；

即：

。

11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为

的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为

的一个小球体，球心为

，两球心间距离

，如图所示。

求：

（1）在球形空腔内，球心

处的电场强度

；

（2）在球体内P点处的电场强度

，设

、

、

三点在同一直径上，且

。

解：

利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为

的大球和带有电荷体密度为

的小球的合成。

（1）以

为圆心，过

点作一个半径为

的高斯面，根据高斯定理有：

，方向从

指向

；

（2）过

点以

为圆心，作一个半径为

的高斯面。

根据高斯定理有：

，方向从

指向

，

过

点以

为圆心，作一个半径为

的高斯面。

根据高斯定理有：

，

∴

，方向从

指向

。

11-12．设真空中静电场

的分布为

，式中

为常量，求空间电荷的分布。

解：

如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，

有：

由高斯定理：

，

设空间电荷的密度为

，有：

∴

，可见

为常数

。

11-13．如图所示，一锥顶角为

的圆台，上下底面半径分别为

和

，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为

，求顶点

的电势．（以无穷远处为电势零点）

解：

以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为

轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：

，环面圆宽：

，

利用带电量为

的圆环在垂直环轴线上

处电势的表达式：

，

有：

，

考虑到圆台上底的坐标为：

，

，

∴

。

11-14．电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：

离球心

处（

）P点的电势。

解：

利用高斯定律：

可求电场的分布。

（1）

时，

；有：

；

（2）

时，

；有：

8；

离球心

处（

）的电势：

，即：

。

11-15．图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为

，球壳内表面半径为

，外表面半径为

．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。

解：

当

时，因高斯面内不包围电荷，有：

，

当

时，有：

，

当

时，有：

，

以无穷远处为电势零点，有：

。

11-16．电荷以相同的面密度分布在半径为

和

的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为

。

（1）求电荷面密度

；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度

为多少？

（

）

解：

（1）当

时，因高斯面内不包围电荷，有：

，

当

时，利用高斯定理可求得：

，

当

时，可求得：

，

∴

那么：

（2）设外球面上放电后电荷密度

，则有：

，∴

则应放掉电荷为：

。

11-17．如图所示，半径为

的均匀带电球面，带有电荷

，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为

，长度为

，细线左端离球心距离为

。

设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。

解：

（1）以

点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为

轴，

均匀带电球面在球面外的场强分布为：

（

）。

取细线上的微元：

，有：

，

∴

（

为

方向上的单位矢量）

（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：

（

，

为电势零点）。

对细线上的微元

，所具有的电势能为：

，

∴

。

11-18.一电偶极子的电矩为

，放在场强为

的匀强电场中，

与

之间夹角为

，如图所示．若将此偶极子绕通过其中心且垂直于

、

平

面的轴转

，外力需作功多少？

解：

由功的表示式：

考虑到：

，有：

。

11-19．如图所示，一个半径为

的均匀带电圆板，其电荷面密度为

（＞0）今有一质量为

，电荷为

的粒子（

＞0）沿圆板轴线（

轴）方向向圆板运动，已知在距圆心

（也是

轴原点）为

的位置上时，粒子的速度为

，求粒子击中圆板时的速度（设圆板带电的均匀性始终不变）。

解：

均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上

处产生的电势为：

，那么，

，

由能量守恒定律，

，

有：

思考题11

11-1．两个点电荷分别带电

和

，相距

，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?

答：

由

，解得：

，即离点电荷

的距离为

。

11-2．下列几个说法中哪一个是正确的？

（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；

（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；

（C）场强方向可由

定出，其中

为试验电荷的电量，

可正、可负，

为试验电荷所受的电场力；

（D）以上说法都不正确。

答：

（C）

11-3．真空中一半径为

的的均匀带电球面,总电量为

（

＜0），今在球面面上挖去非常小的一块面积

（连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去

后球心处的电场强度大小和方向.

答：

题意可知：

，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，

有：

，方向指向小面积元。

11-4．三个点电荷

、

和

在一直线上，相距均为

，以

与

的中心

作一半径为

的球面，

为球面与直线的一个交点，如图。

求：

（1）通过该球面的电通量

；

（2）

点的场强

。

解：

（1）

；

（2）

。

11-5．有一边长为

的正方形平面，在其中垂线上距中心

点

处，

有一电荷为

的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量

为多少？

解：

设想一下再加5个相同的正方形平面将

围在正方体的中心，

通过此正方体闭合外表面的通量为：

，那么，

通过该平面的电场强度通量为：

。

11-6．对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？

（A）如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；

（B）如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；

（C）如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；

（D）如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。

答：

（A）

11-7．由真空中静电场的高斯定理

可知

（A）闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；

（B）闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；

（C）闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；

（D）闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。

答：

（C）

11-8．图示为一具有球对称性分布的静电场的

关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。

（A）半径为

的均匀带电球面；

（B）半径为

的均匀带电球体；

（C）半径为

、电荷体密度

（

为常数）的非均匀带电球体；

（D）半径为

、电荷体密度

（

为常数）的非均匀带电球体。

答：

（D）

11-9．如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P'点的电势为

（A）

（B）

（C）

（D）

答：

（B）

11-10．密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生．实验中，半径为

、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为

．当电势差增加到4

时，半径为2

的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？

解：

┄①，

┄②

∴①②联立有：

。

11-11．设无穷远处电势为零，则半径为

的均匀带