固体物理学习题答案朱建国版.docx
《固体物理学习题答案朱建国版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《固体物理学习题答案朱建国版.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
固体物理学习题答案朱建国版
固体物理学习题答案（朱建国版）
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以r和r代表面心立方和体心立方结构中最fb
近邻原子间的距离，试问r/r等于多少,fb
答:
由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a:
2对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为:
r=af2
3对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为:
r=ab2
2a6rf那么，==3rb3a
1.2晶面指数为（123）的晶面abc是离原点o最近的晶面，oa、ob和oc分别与基失a，1a和a重合，除o点外，oa，ob和oc上是否有格点,若abc面的指数为（234），情况又23
如何,
答:
根据题意，由于oa、ob和oc分别与基失a，a和a重合，那么123
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答:
二维布拉维点阵只有五种类型:
正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示:
正方六方矩形带心矩形平行四边形
a=ba=ba?
ba=ba?
b
a^b=90?
a^b=90?
a^b=120?
a^b=90?
a^b?
90?
1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120?
的共平面轴a，a，a上的截距a/h，a/k，a/i，第四个指数123123表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明:
i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示:
（001）（100）（010）（133）（110）（323）（213）
答:
证明
设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n?
。
因为晶面族（hkil）
中最靠近原点的晶面abc在a、a、a轴上的截距分别为a/h，a/k，a/i，因此123123
oanhd,1
oankd,………
（1）2
oanid,3
1
由于a=–（a+a）312
ooanaan,,，（）313
把
（1）式的关系代入，即得
idhdkd,,，（）
ihk,,，（）
根据上面的证明，可以转换晶面族为
（001）?
（0001），?
，?
，?
，（100）?
，33）1（（1323）（110）（1100）（323）（3213）（1010）（010）?
，?
（0110）（213）（2133）
1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为
（1）简立
3,2,2,,方:
（2）体心立方:
（3）面心立方:
（4）六方密堆积:
（5）金刚石:
68663,。
16
答:
令z表示一个立方晶胞中的硬球数，ni是位于晶胞内的球数，nf是在晶胞面上的球数，ne是在晶胞棱上的球数，nc是在晶胞角隅上的球数。
于是有:
111znnnn,，，，ifec248
边长为a的立方晶胞中堆积比率为
34r,,fz*33a
假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么:
34/3,r,θ==36
（2）r
4
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为，那么:
r
3
33,2（4/3）,,rθ==38（4/3）r
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为r，那么:
22
32,4（4/3）,,rθ==36（22）r
2
（4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此
43，,2（）r2,3θ==632ac2
（5）对于金刚石结构
3443r3,3z=8那么=.,,，，,,ar38,fz*8（）316338a
1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问:
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子,
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少,
答:
（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。
-10显然，a、b、c′构成一个边长为3*10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。
因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
-303,
（2）晶胞的体积===27*10（m）c（ab），3k（3i3j），
1-303原胞的体积===13.5*10（m）c（ab），（333）（33）ijkij，，，2
3a3a1.7六方晶胞的基失为:
，，k,aaij,，baij,,，2222
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答:
根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得:
32正格子的体积Ω=a?
（b*c）=ac2
22,,22,,2（）,bc，2（）,ca，,，,,，那么，倒格子的基矢为，，ijijb,b,12aa,,3a3a
2（）,ab，2,,kb,3c,
其第一布里渊区如图所示:
1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证:
晶面族（hkl）的面间距为
1d,hklhkl222，，（）（）（）abc
答:
根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a，a，a上的截距123
3
aaa312分别为，，。
该平面（abc）法线方向的单位矢量是hkl
dhdkdlnxyz,，，aaa123
这里d是原点到平面abc的垂直距离，即面间距。
由|n|=1得到
dhdkdl222（）（）（）1，，,aaa123
1,hkl2222故d,，，[（）（）（）]aaa123
1.9用波长为0.15405nm的x射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
序号12345θ/（?
）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求:
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数;
（2）上述各晶面族的面间距;
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答:
对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定:
2222iffnhklfnhkl,,，，，，，，|[1cos（）]sin（）,,hkl
考虑一级衍射，n=1。
显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。
只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。
因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。
由布喇格公式
2sin
（1）dn,,,,hkl
1.5405,10得dm,,,，2.29510（）110o2sin2sin19.611,1
同法得
,10dm,,，1.633410（）2002sin,2
,10dm,,，1.337710（）2112sin,3
,10dm,,，1.160910（）2202sin,3
,10dm,,，1.040310（）3102sin,4
4
应用立方晶系面间距公式
ad,hkl222hkl，，
222可得晶格常数adhkl,，，hkl
-10把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10m为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
10am,，3.272510（）1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢;画出第一和第
二布里渊区.
答:
参看下图，晶体点阵初基矢量为aai,1
13aaiaj,，222
0ij,用正交关系式ba,,2,,,,,ijijij2,
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。
设
bbibj,，bbibj,，111xy222xy
由ba,2,ba,0ba,0ba,2,11122122得到下面四个方程式
（1）aibibj（）2，,,11xy
13
（2）aiajbibj，，,（）（）011xy22
aibibj（）0，,（3）22xy
13（4）aiajbibj，，,,（）（）222xy22
2,由
（1）式可得:
b,1xa
2,b,,由
（2）式可得:
1ya3
5
由（3）式可得:
b,02x
4,由（4）式可得:
b,2ya3
于是得出倒易点阵基矢
22,,4,,,,bijbj12a3a3a
6
第三章习题答案
273.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m,8.35×10kg，恢复
1力常数β,15n?
m
i（,t,qna）解:
一维单原子链的解为x,aen
据周期边界条件，此处n=5,代入上式即得x,x1n，1
i（5a）qe,1
所以,2（为整数）5aq,,,
55,,由于格波波矢取值范围:
。
则,,,,q,,,aa22
故可取,2，,1，0，1，2这五个值,
24,,42,,相应波矢:
,0,,,,5a5a5a5a
4qa,由于sin，代入，m及q值,,,m2
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）
131313138.06×10，4.99×10，0，4.99×10，8.06×10
3.2求证由n个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
1,2n224,2式中是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为，，,,,（,,,）,,mmm,
n
ˆ，，，，解:
对一维单原子链，dn,,（,）d,,,qdq,2,qdq
q2，，,,，，所以
（1）,d,
dq
4qa,sin由色散关系求得,,m2
d4qaa4aqa,,,a421/221/2
（2）,cos,,（1,sin）,[（）,,]dqm22m222m
lna,q,,而，则由
（1）式可得，，2,2,
242naan21/222,1/2，，,,,[,,],（,,,）m22,,m
4由于，则总的振动模数为,,mm
wwmm2n2,1/2，，n,,,d,,（,,,）d,m2,,00,
7
令，则积分限为0到，故,sin,,/2,m
,2,n221,2，，n,,,d,,,,ncoscos,0,,0
9n23.3设晶体由n个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为，，,,,,3,m
23,解:
由书上（3,69）式可得
（1）gv，，，，,,,,,232v,
1/32由（3,71）可得，，,,,,6,nvdm
233由此可得，代入
（1）式得2,v,,3nm
9n2，，,,,,3,m
273.4对一堆双原子链，已知原子的质量m,8.35×10kg，另一种原子的质量m,4m，力常数
1β,15n?
m，试求
,
（1）光学波的最高频率和最低频率和;,,maxmin
a
（2）声学波的最高频率;,max
（3）相应的声子能量（以ev为单位）;
a,（4）在300k可以激发频率为，和的声子的数目;,,,minmaxmax
（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
mm4解:
（1）,,,mm，m5
2,1313,,,6.70，10rad/sec,1.07，10hzmax,
2,,1313,,5.99，10rad/sec,0.95，10hz,minm
2,a1313,,3.00，10rad/sec,0.48，10hz,maxm
,2
（2）,,,4.41，10evmax
,2,,,3.95，10evmin
a,2,,,1.97，10evmax
1n,（3）,w/kte,1
8
,a，，n,,0.276？
n,,0.221n,,0.873maxmaxmin
,2,5（4）光速，？
c,,v？
,,,2.8，10m,28,m,v,max
3.5设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10，且,,
最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。
，，q,0q,,,/a,qa/2
解:
设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
β10ββ10β
am2
xxxx2n-12n2n+12n+2
，，,,,,,,mx10xxxx，，，，,2n2n，12n2n2n,1原子的运动方程应是,，，，，，，mx,,x,x,10,x,x2n，12n，22n，12n，12n,
，，即，，mx,,10x，x,11x2n2n，12n,12n
，，，，mx,,x，10x,11x2n，12n，22n2n，1
求格波解，令
qaqa，，，，221i，，n,,ti，，n，,,t,,,,22，，，，，x,aex,be212，nn
代入运动方程，可导出线性方程组为:
,,11,,2iqa/2,iqa/2,,,，,a10eeb0,,,,,,mm,,,,,11,,iqa/2,iqa/22,,,,，，,,e10ea,b0,,,mm,,,
2令，从a，b有非零解的系数行列式等于零的条件可得,,0m
2224iqa/2,iqa/2iqa/2,iqa/2,,，，11,,,,,（10e，e）（e，10e）,000
可解出
22，，,,,11,20cosqa，101色散关系见下图0
时，，，q,0cosqa,1,,22,,,0，0,
9
时，，，qcosqa,,1,,20,,,2,,,，0,0a
3.6（在一维双原子链中，如，求证mm,,1
2,,sinqa,1m
2m,2,（1，cosqa）,2m2m
[证]由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支
4mm,221/2，，,m，m{1,[1,sinqa]},12mm（m，m）
4mmn，由近似式，，，（当x,,1）？
,11,x,1,nx？
m,,mmm
m，m14mm，，,221/2得,{1,[1,sinqa]},12mm2（m，m）
22,,22，,sinqa,sinqam，mm
2,？
sinqa,1m
2对，由于，,m,,mm，m,m2
（m，m）4mm,21/2，，,{1，[1,sinqa]},22mm（m，m）
m，m4mm4mm,221/2,{1，[（）,，cosqa]}22mm，m，，，，m，mm，m
m,m4m,221/2,{1，[（），cosqa]}mm，mm
10
14m,2,{1，1，cosqa}m2m
2m,2,{1，cosqa}mm
2m2m,,22？
1，cosqa,（1，cosqa）,2m2mmm
3.7在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有q,,2a轻原子m静止，而光学支格波中所有重原子m静止。
画出这时原子振动的图象。
a2cosqa,[证]由（3,18）第一式得,，当时且对声学q,,cosqa,02b2,,m,2a
1/22,,,支，代入上式即得:
,,,m,,
a0，故a,0，轻原子静止,,0mb,,2,2m
b2cosqa,,再由（3,18）第二式得，当时q,,cosqa,02a2,,m,2a
1/22,,,且对光学支，，代入上式即得,,,,m,,
b0故b,0，重原子静止,,0ma,,2,2m
3.8设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距的10,的振动，推证，对于简单晶格，tam
1/2250kt,,bm接近熔点时原子的振动频率，其中m是原子质量。
,,,am,,
[解]当质量为m的原子以频率及等于原子间距的10,的振幅振动时，其振动能为:
a
211a,,222e,ma,m,,在熔点t时，原子的能量可按照能量均分定理处理，,,m2210,,
21a,,2即一个一维原子的平均能量为，于是有m,,kt，由此得kt,,bmbm210,,
1/2250kt,,bm,,,,am,,
11
21,,,d3.9按德拜近似，试证明高温时晶格热容3[1]c,nk,,,vb20t,,
x4,texdxd3证明:
由书（3.73）式可知,,9（/）kttvbd2,0x,1e，，在高温时，，则在整个积分范围内为小量，因此可将上式中被积函数化简为t,,,xd
x44422,,exxxxx2,,1,,,,,x2x,x22/2/2,,x3，，x12,ee，，1,e,,,,x1，,,，x,,1224,,
35，，,,11,,,,3dd将上式代入的表达式，得cktt,,,9（/）,,vvbd,,,,tt360,,,,,,，，
32，，,,11,,,,3dd,,,nktt9（/）1,,bd,,,,tt320,,,,,,，，
2，，,1,,d,,nk31,,b,,t20,,,,，，
,3.10设晶格中每个振子的零点振动能为，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能2
23v,gv解:
由（3,69）式知，状态密度，，，，,,,,,232v,
2,,13,vdd,则，，e,,,,d,,,d,0023,,0022v,
d,3,v13,vd34,d,,,,2323,04v16v,,0
3v,4,,d2316v,
1/3v,,2？
,6,v,,dn,,
3,vn923？
e,,6,v,,,n,dd02316vv8,
3.11在德拜近似的基础上，讨论由一个n个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下
2t其比热正比于
证明:
此题可推广到任意维m，由于
m1m,1，，，，dn,gqdq,cdq,cqdq,g,d,
12
1,,d,m1,1,,？
g，，,cq,,,dq,,
m,1m,1而德拜模型中，故，，,,vqg,,q,,
2,,ktb,,egd，，,,,,,,？
c,kvb2,,,,,ktbkt，，e,1,,b
,令，则上式变为,xkt
11xmxm，，xexexp1mm,,,cttdxtdxv22,,xx0，，，，,1,1ee
,d在低温时x,,,dkt
1xm，,ex则积分为一个于t无关的常数dx2,x0，，,1e
m3故对三维m,3c,tc,tvv
2对本题研究的二维m,2c,tv
对一维m,1c,tv
2ebur,,，3.12设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为，，，b为待定常数，平arr
10衡间距，求线膨胀系数。
r,3，10m0
3gkb解:
由书上（3.114）式知，线膨胀系数,,,24fr0
32,,,,1du1du,,,,g,,f,,其中:
，23,,,,2dr3!
dr,,,,rr00
22edue9b,,8由平衡条件？
b,r,,,0,,02109drrr,,r000
2222,,16e990b52e2e90b4e,,g,,,,，？
f,,，,31134124,,6rr3r2r2rr000,00,0
8,10由于r,3，10m，e,4.806，10cgse0
13
16k,1.381，10erg/kb
13rkb0,5？
,,1.46，10/k216e
3.13已知三维晶体在附近一支光学波的色散关系为q,0
222，试求格波的频谱密度，，，，,q,,,，，aq，bq，cq,,0xyz
222解:
？
,,,aq，bq，cq0xyz
222qqqyxz，，,1则,,,,,,,,,000
abc
4这是q空间的一个椭球面，其体积为，而,abc3
1/21/21/2,,,,,,,,,000a，b，c,,,abc
3lv,,,q空间内的状态密度，故椭球内的总状态数n为，，q,,,,32,（2,）,,
1/2,v413/2,,n,,,,,,,03abc3，，2,,,
1/21/2dnv1v,,,1/2,,0故，，,,,,,,,,,,022d4abc4abc,,,,,
14
第四章
4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同,为什么,
答:
晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。
在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。
4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向.
4.3如果已知空位形成能为eu=0.67ev，试问当温度为300k时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少,
答:
设肖特基缺陷数为n，格点数为n。
那么由公式
eu,nktb,en
可得
190.671.610，，,n,23-121.3810300，，=5.682*10,en
154.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。
该间隙原子在晶格中振动的频率为2*10s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1ev，求该原子在1s内跳跃的次数。
答:
由公式
ea,ktbvve,o
可得
0.1ev,,231513，，1.3810300=2*10*0.02=4*10vve,o
4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n代表正、负离子空位的对数，w是产生一对缺陷所需要的能量，n是原有的正、负离子对的数目。
（1）试证明:
n/n=bexp（-w/2kt）;b
（2）试求有肖特基缺陷后体积的变化?
v/v，其中v为原有的体积。
答:
（1）设n对肖特基缺陷是从晶体内部移去n个正离子和n个负离子而形成的。
从n个正离子中形成n个正离子空位的可能方式数为
n!
w,1（）!
!
nnn,
同时，从n个负离子中形成n个负离子空位的可能方式数也是
n!
w,2（）!
!
nnn,
于是，在整个晶体中形成n对正、负离子空位的可能方式数
n!
2,,[]12（）!
!
nnn,
由此而引起晶体熵的增量为
15
n!
,,skinwkin2bb（）!
!
nnn,
设形成一对正、负离子空位需要能量w，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变
n!
（1）,,,,,,,futsnwktin2b（）!
!
nnn,
,f热平衡时，，并应用斯特令公式，从
（1）式得（）0innninnn!
,,t,n
,,,fnn（）2[（）（）]2[（）]20,,,,,,,,,,,,,wktninnnninnnninnwktinnninnwktintbbb,,nnn
wn2ktb,e,nn
因为实际上n?
n，于是得
n/n=bexp（-w/2kt）b
（2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积
3增加。
当产生n对正、负离子空位时，所增加的体积应该是,,vna2
3式中a为离子最近邻距离。
因为为晶体原有的体积，有上式可得vna,2
3,vnan2,
升级会员 