第四讲图形变换与二次函数docx.docx

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第四讲函数与几何变换结合的综合题（两课时〉

教学目标：

（1）教学知识点

轴对称、中心对称、正比例函数、一次函数和二次函数的图像及性质、平行四边形的性质、菱形的性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形和直角三角形的判定、圆的有关知识、解二元一次方程组、点的坐标、全等三角形的判定与性质等。

（2）能力训练要求

进一步强化学生的对称思想，培养学生综合运用多种知识和多种数学思想方法解决问题的能力。

教学重点：

几何变换在函数综合题中的应用

教学难点：

准确掌握儿何变换前后图形的本质特征，寻找变换前后的联系。

教学过程：

—、引入：

从近年的屮考试题来看，函数结合儿何变换的题目已成为屮考压轴题的热点题型。

涉及到的几何变换常见的有轴对称（含翻折）、平移、旋转等。

二、例题讲解:

题型仁结合轴对称变换的函数综合题

例1（2006*烟台）如图1,已知抛物线11:

y=x-4的图像与x轴

交于A,C两点.

（1）若抛物线/2与儿关于x轴对称，求/2的解析式；⑵若点B是抛物线/1上的一动点（B不与A,C重合），以AC为对角线,A,B,C三点为顶点的平行四边形的第4个顶点定为D,求证:

点0在/2±；（3）探索：

当点B分别位于儿在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的而积是否存在最大值和最小值?

若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积;若不存在，请说明理由.

解析：

（1）设/2的解析式为y二a（x-h）Jk,因为/2与X轴的交点为A（-2,0）,C（2,0）,顶点坐标是（0,-4）,/1与/2关于x轴对称，所

以/2过A（-2,0）,C（2,0），顶点坐标是（0,4），可得/2的解析式为y=ax2+4,且有0=4a+4,解得a=-l.因此/2的解析式为y=-x2+4.

（2）设B（X）,旳），由点B在几上，可得B（xbx〜4）,又因为四边形ABCD是平行四边形,A,C

关于点0对称，所以B,D关于点0对称，可得D（-x“-xf+4）,将D（-xb-X12+4）的坐标代入

12：

y二-x~+4,可知等式左边等于等式右边.所以点D在Z2上。

（3）设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2Saabc=AC・|yd=4|yi|,

1当点B在x轴上方时,yi>0,此时S二4yi,它是关于yi的正比例函数且S随yi的增大而增大，所以S既无最大值也无最小值;

2当点B在x轴下方时，-4WyK0,此时S=-4yb它是关于y】的正比例函数且S随*的增大而减小,所以当yi=-4时,S有最大值16,但它没有最小值.

由①,②可知，点B（0,-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上.所以AC丄BD.因此平行四边形ABCD是菱形，此时S城大=16.

例2（2005-北京）已知：

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴

交于点A,抛物线y=cLX2+bx+c经过0、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在OD内，它所在的圆恰与0D相切，求OD半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足

（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得ZPOA=^OBA2若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

理由。

解析：

（1）解法一：

・・•一次函数y=kx-4k的图彖与x轴交于点A,・••点A的坐标为（4,0）

抛物线y=c/+Z?

x+c经过0、A两点，c=0,16a+4Z?

=0b=-4t/

解法二：

•・•一次函数y=kx-^k的图象与x轴交于点A,・•・点八的坐标为（4,0）

・・•抛物线y=ax2^bx+c经过0、A两点，・••抛物线的对称轴为直线^=-—=2,2a

•Ib=-4a

（2）

解：

由抛物线的对称性可知，D0=DA,

・••点0在OD上，且ZD0A=ZDA0

又由

（1）知抛物线的解析式为尸启_4皿

点D的坐标为（2,-4。

）

①当匚>0时，如图1,设OD被x轴分得的为弧为处,翻折后所得劣弧为Q，显然所在的圆与OD关于X轴对称，设它

的圆心为0,,・・・点D'与点D也关于x轴对称

・・•点0在OD'上，且0D与OD'相切，・••点0为切点，・"'0丄0D

・・・ZDOA=ZD'OA=45°,AAAD0为等腰直角三角形，OD=2^2

・：

点D的纵坐标为一2,-4a=-2»a=—,b=-4ci—-2

・•・抛物线的解析式为y=^x2-2x

②当a"时，同理可得：

OD=2j2

抛物线的解析式为尸-非+2x

综上，OD半径的长为近抛物线的解析式为y=或尸-*宀2丫

（3）抛物线在％轴上方的部分上存在点卩，使得,心冷,则

设点P的坐标为（X,y）,My>0

①当点P在抛物线y=jx2-2x上时（如图2）

•・•点B是G»D的优弧上的一点，・・・ZOBA二丄Z4DO=45。

ZPOA=-ZOBA=60°,过点P作PE丄x轴于点E,

•:

tanZPOE=,/•—=tan60°,/•y=VJx

OEx

由卜十小解得片4+2密卜弓（不合题意，舍y=^x卜严6+朋5"

去）

・••点P的坐标为（4+2巧，6+4侖）

②当点P在抛物线y=-詳+2“时（如图3）

同理可得，y=^3x

舍去）,・••点P的坐标为（4-2侖，-6+4^3）

综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为（4+2侖，6+4侖）或（4_2羽,-6+4侖）.注：

函数与轴对称结合的综合题主要有两类：

一类是函数图像自身进行了轴对称变换;

另一类是英他图形进行了轴对称变换。

题型2：

与旋转变换结合的函数综合题：

例3（2006*山西）如图，已知抛物线G与坐标轴的

交点依次是A（-4,0）,B（-2,0）,

R（0,8）•

（1）求抛物线C.关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C.的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点（点C在点D的左侧），顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此吋，点M,N同吋以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系

式,并写出自变量t的取值范I韦I;（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此

最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?

若能，求出此时I的值;若不能，请说明理由.

解析：

（1）点A（-4,0）,点B（-2,0）,点E（0,8）

关于原点的对称点分别为D（4,0）,C（2,0）,F（0,-8）

设抛物线C2的解析式是y=ax2+bx+c{a主0）

a--\

解得/=6

c=-8

16a+4b+c=0

则*4。

+2b+c=0c=—8

・••所求抛物线的解析式是y=-x2+6%-8

（2）由

（1）可计算得点M（-3,-1）,N（3,1）过点'作NH丄AD,垂足为H.

当运动到时刻t地,AD=20D=8-2t,NH=l+2t

根据中心对称的性质0A=0D,OM二ON,・••四边形\1DNA是平行四边形

・・・S=2SgN，四边形MDNA的面积S=（8-2r）（l+2t）=-4t2+14r+8

・・•运动至点A与点D重合为止，据题意可知0Sf<4.

・・・所求关系式是S二—4f$+⑷+8,t的取值范围是05fV4

（3）+里，<0

I4丿4

・•・/=?

时，S有最大值里.

提示：

也可用顶点坐标公式来求。

（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形。

由

（1）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADsMN,・••当AD二MN时四边形MDNA是矩形.・・・0D二07,AOD2=ON2=OH2+NH2,/.r2+4r-2=0

解得r,=V6-2.（不合题意，舍去）.

・・・在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此吋r=V6-2.

题型3：

函数与平移变换结合的综合题：

例4（2006•上海）如图，在直角坐标系中,0为原点.点A在x轴的正半轴上，点B在y

轴的正半轴上，tanZ0AB=2.二次函数y=x2+mx+2的图像经过点A、B,顶点为D.

（1）求这个二次函数的解析式；⑵将AOAB绕点A顺吋针旋转90°后，n点B落到点C的位置.将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式；（3）设

（2）中平N移后所得二次函数的图像与y轴的交点为b,顶点为％点P在平移后的二次|、彳

函数的图像上,且满足APB出的面积是△PDDi面积的2倍.求点P的坐标.一—

解析：

（1）由题意，点B的坐标为（0,2）,所以,0B二2.因为tanZ0AB=2,即0B0A=2,所以0A=l.则点A的坐标为（1,0）.又因为二次函数y=x2+mx+2的图像过点A,所以有O=1W2.解得m二-3.故所求二次函数的解析式为y=x2-3x+2.

（2）由题意，可得点C的坐标为（3,1）,所求二次函数的解析式为y=x2-3x+l.

（3）由

（2）,经过平移后所得的图像是原二次函数的图像向下平移1个单位后的图像，那

么，对称轴直线x=-不变，且BBfDD^I.因为点P在平移后所得的二次函数的图像上，设点P2

的坐标为（x,x2-3x+1）.在Z\PBB1和Z\PDD1中，因为Sapbbi=2SApddi,所以边BBi上的高是边DD,上的高的2倍.

1当点P在对称轴的右侧时,x=2（x--）,解得x=3•所以点P的坐标为（3,1）；

2当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时,x=2（--x），解得x=l.

所以点P的坐标为（1,-1）；

3当点P在y轴的左侧时,x<0.又-x=（X-—），解得x=3>0（舍去）.

综上，所求点P的坐标为（3,1）或（1,-1）.

三、小结

函数与几何变换结合的综合题主耍有两类：

一类是函数图像自身进行了几何变换；另一类是其他图形进行了儿何变换。

通过以上儿例，我们不难发现新课程下中考压轴题的一个新走势：

以直角坐标系和函数为载体，融代数、几何为一体，在几何图形的操作变换过程中感悟数学知识，体验数学规律,突出对考生的发散思维能力、探究能力、创新能力、综合运用能力等方面的考察。

课后练习：

1.（2006*十堰）已知抛物线Ci:

y=-x2+2mx+n（m,n为常数，且mHO,n>0）的顶点为A,与y轴交于点C,抛物线C2与抛物线G关于y轴对称，其顶点为B,连接AC,BC,AB.

（1）请在横线上直接写出抛物线C2的解析式；

（2）当m二1时，判定AABC的形状，并说明理由；

（3）抛物线G上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?

如果存在,请求出m的值；如果不存在，请说明理由.

解析：

（1）抛物线Ci:

y=-x2+2mx+n的顶点坐标为A（m,m2+n）与y轴的交点坐标为C（0,n）.

・・•C2与G关于y轴对称，

C2的顶点坐标为B（-m,m2+n）,与y轴的交点坐标为C（0,n）.

C2的解析式为y=-x2-2mx+n.

（2）当m=l时，Ci的解析式为y二-x'+2x+n,A（1,1+n）,

C（0,n）,C2的解析式为y=-x2-2x+n,B（-l,1+n）,C（0,n）.它们的图像如右图所示，此时AABC为等腰直角三角形.

设AB交y轴于H,因为A、B关于y轴对称,C在y轴上，所以AOBC,又因为A（1,1+n）,B（-l,l+n）,C（O,n）,所以AH=BH=CH=1.因此AABC为直角三角形,BPAABC为等腰直角三

角形.

（3）存在.

在厶ABC中，由题意知，AC二BC,CH丄AB.

当四边形ABCP为菱形吋，AABC为等边三角形，ZACB=60°,所以ZACH二30°.

在RtAAHC中，CH二VJAH,因为CH=|m2+n-n|=m2,AH=|m,所以m2=31m|,可得m=±侖.

因此当in二土V3时，四边形ABCP是菱形，此时，点P的坐标为（土2侖，n）・

（2005-南宁）OABC是一张平放在直角坐标系屮的矩形纸片,0为原点，点八在无轴上，点C在y轴上，0A二10,006.

（1）如图，在AB上取一点使得△CBM沿CM翻折后，点B落在X轴上,记作点，求点3的坐标.

（2）求折痕CM所在直线的解析式.（3）作B'GIIAB交CM于点G,若抛物线）,=丄尤2+加过点G,求抛物线的

-6’

解析式，并判断以原点0为圆心，0G为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？

若有，请直接写出交点的坐标.

解析：

（1）•:

\CB'M三4CBM,・*.CB'=CB=OA=\0

.OB1=y/oA^-OC2=7102^62=8,3（&0）

（2）设贝=6-n,AB'=10—8=2

n2+22=（6—n）2解得n=—

...亍=10E解得“-亍・・・直线CM的解析式为严丄+6.

6=/?

b=63

•22

••m=9

■

（3）设G（&q）・\a=一丄x8+6=—,・*.G（8,—）,・*.—=丄x*+加，

33336

除交点G外，另有交点为G关于y轴的对称点，其坐标为（-8,耳）.

（2005*西宁）如图，在等腰梯形ABCD中,ADIIBC.BA=CD,AD的长为4.S梯形皿=9。

已知A、B的坐标分别为（1,0）和（0,3）,点C在第二象限。

（1）求点c的坐标；

（2）取点E（0,1）,连结DE井延长变AB于F。

试猜想DF与八B之问的位置关系，并证明你结论；

（3）将梯形ABCD绕点A旋转180。

后形成梯形ABCD,求对称轴为直线x=3,且过A、B，两点的抛物线的顶点P的坐标；

解析：

（1）VA（1,0）,・・・0A=l.VAD=4,A0D=3,

VB（0,3）,A0B=3.・.・S拂=-（BC+AD）OB=-（BC+4）x3=9,/.BC=2

•・•BC//AD,且C点在第二象限，・・・C（-2,3）

（2）猜想：

DF丄AB

证明：

VE（0,1）,・・・0E二1.V0A=l,・・・0E二0A,ZAOB=ZDOE=90°f0B=0D=3

・•・\AOB=\EOD（S.A.S.）,乙EDO=ZABO

又・.•ZBAD+ZABO=90°,.IZBAD+ZEDO=90°,ZDFA=90°即DF丄AB.

（3）・・•梯形ABCD绕点A旋转180。

后形成梯形AB'C'D',B<2,-3）

・・・抛物线的对称轴为直线x=3,・••可设抛物线的解析式为y=a（x-3）2-^k

又T抛物线过A⑴0）、F（2厂3）两点

曲一3）2+"0a（2-3）2+k=-3

-4

・•・所求的抛物线解析式为y=（x-3尸-4=F一6乳+5.

4.（2005-长春）如图1所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为

o矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，

同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C,用了14秒。

（1）求矩形ABCD的周长。

（2）如图2所示，图形运动到第5秒时，求点P的坐标。

（3）设矩形运动的时间为t,当时，点P所经过的路

线是一条线段，请求出线段所在直线的函数关系式。

解析：

（1）AD二8,B点在y=3x±,则

B点坐标为（8,6）,AB二6,矩形的周长

（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F,则矩形PE0F是否能与矩形ABCD相似（或位似）？

若能，求出t的值；若不能，说明理由。

为28.

（2）由

（1）可知AB+BC二14,P点走过AB、BC的时间为14秒，因此点P的速度为每秒1个单位.

・・•矩形沿DB方向以每秒1个单位长运动，出发5秒后，0D二5,此时D点坐标为（4,3）,

同吋点P沿AB方向运动了5个单位，则点P坐标为（12,8）.

（3）点P运动前的位置为（8,0）,5秒后运动到（12,8）,已知它运动路线是一条线段，设线段所在直线为y=kx^b，

...也+"0,解得：

p=2・・・函数关系式为）=2y-16

\2k+/?

=8b=-16

（4）方法一：

①当点P在AB边运动吋，即05（56

点D的坐标为伶，討...点p的坐标为卜+*,

若PE_

~OE=

—/

弘,则5解得心6

%弭芻8

当

时，点P与点B重合，此时矩形PE0F与矩形BADC是位似形。

若PE

OE'

DArilll5Z8>解得/=20

加8+4z6

因为20>6,所以此吋点P不在AB边上，舍去。

②当点P在BC边运动时，即

点D的坐标为（占，占）,

若PEBAJ*°«

—,则=-

OEDA]4_匕6

点尸白勺坐标为（14-*/,|z+6解得心空

因为樂>14,此时点P不在BC边上，舍去。

综上，当

时，点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC是位似形。

方法二：

当点P在AB上没有到达点B时，pebe3,恋更不能等于彳。

V=一o

OE0E4OE3

则点P在AB上没到达点B时，两个矩形不能构成相似形当点P到达点B时，矩形PEOF与矩形BADC是位似形，此时。

当点P越过点B在BC上时，PE>3

若=i时,

0E3

由点P在BC上时,

坐标为

5『+64

"亍

因此当P在BC上（不包括B点）时，矩形PEOF与矩形BCDA不相似.

综上，当时，点P到达点B,矩形PEOF与矩形BADC是位似形.

解得2孚，但空〉

1313

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