答案 17
解析 当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17（个）．
触类旁通
使用分类加法计数原理时，应注意以下三方面：
（1）各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的；
（2）分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；
（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．
【变式训练1】
（1）从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有（ ）
A．30B．20C．10D．6
答案 D
解析 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法．故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．
（2）中国共产党第十九次全国代表大会（简称党的十九大）于2017年10月18日至10月24日在北京召开.10月31日，中共中央总书记习近平及中央政治局常委李克强，栗战书、汪洋、王沪宁、赵乐际、韩正等七人赴上海瞻仰中共一大会址、赴浙江嘉兴瞻仰南湖红船，沿着早期共产党人的足迹，探寻我们党的精神密码．为的是不忘初心，牢记使命，永远奋斗．假设从上海到嘉兴，有5架不同的专机，4趟不同时间发车的高铁，请问他们从上海到嘉兴，有________种方式可以到达？
答案 9
解析 从上海到嘉兴，有两种方式：
乘坐专机和乘坐高铁．乘坐专机有5种方式，乘坐高铁有4种方式，故共有9种方式．
考向
分步乘法计数原理
例 2
（1）[2016·全国卷Ⅱ]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24B．18C．12D．9
答案 B
解析 分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.
（2）从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．
答案 240
解析 分步完成此事，第一步选1人去巴黎有4种方法，第二步选1人去伦敦有5种方法，第三步选1人去悉尼有4种方法，第四步选1人去莫斯科有3种方法，由分步乘法计数原理可知：
共有4×5×4×3＝240种．
触类旁通
使用分步乘法计数原理应注意的问题
（1）各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘；
（2）分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下进行分步；
（3）完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤．
【变式训练2】
（1）某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）
A．180种B．360种C．720种D．960种
答案 D
解析 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960（种）．
（2）现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．
答案 1280
解析 完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：
第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．
考向
两个计数原理的综合应用
命题角度1 与数字有关的问题
例 3
（1）[2018·山东模拟]用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243B．252C．261D．279
答案 B
解析 由分步乘法计数原理知：
用0,1，…，9十个数字组成三位数（可有重复数字）的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.
（2）用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．（用数字作答）
答案 420
解析 依题意可知，千位不能是0，个位必须是0,2,4,6其中之一，所以可分为两类：
第一类，个位是0，则其他数位没有限制，从剩下的6个数中任选3个进行排列即可，有A
＝120（个）．第二类，个位不是0，需分步统计，第一步，个位可以从2,4,6三个数中任选一个，有3种选法，第二步排千位，不能是0，所以从剩下的5个数中任选一个，有5种选法，第三步排中间两位，没有限制，从剩下的5个数中任选两个，有A
＝20种选法，故第二类有3×5×20＝300（个）．所以符合条件的没有重复数字的四位偶数一共有120＋300＝420个．
命题角度2 与几何有关的问题
例 4
（1）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48B．18C．24D．36
答案 D
解析 分类讨论：
第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；
第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．
所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．
（2）如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）
A．60B．48C．36D．24
答案 B
解析 长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
命题角度3 与涂色有关的问题
例 5
（1）如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种．（用数字作答）
答案 480
解析 从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．
（2）如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．
答案 260
解析 区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：
若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．
触类旁通
1．应用两个原理解决实际问题的注意点
在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．
2．利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
（1）弄清完成一件事是做什么；
（2）确定是先分类后分步，还是先分步后分类；
（3）弄清分步、分类的标准是什么；
（4）利用两个计数原理求解．
核心规律
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；
（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；
（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步．
满分策略
1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
3.确定题目中是否有特殊条件限制.
板块三 启智培优·破译高考
创新交汇系列8——与计数原理有关的新定义问题
[2018·镇江模拟]回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：
11,22,33，…，99.3位回文数有90个：
101,111,121，…，191,202，…，999.（*）
则：
（1）4位回文数有________个；
（2）2n＋1（n∈N*）位回文数有________个．（**）
解题视点 由（*）式，理解“特殊”背景——回文数的含义，借助计数原理计算．
结合（**），可从2位回文数，3位回文数，4位回文数探索求解方法，从特殊到一般发现规律．
解析
（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．
共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．
（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．
由计数原理，共有9×10n种填空．
答案
（1）90
（2）9×10n
答题启示 1一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定回文数的问题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所学的数学知识来解决.
2从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再推广到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确.
跟踪训练
我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（ ）
A．18个B．15个C．12个D．9个
答案 B
解析 依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15个．
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有（ ）
A．7种B．8种
C．6种D．9种
答案 A
解析 要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：
买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡，而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．
买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7种．
2．[2018·昆明模拟]某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．504B．210
C．336D．120
答案 A
解析 分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．
3．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）
A．21种B．315种
C．143种D．153种
答案 C
解析 可分三类：
一类：
语文、数学各1本，共有9×7＝63种；
二类：
语文、英语各1本，共有9×5＝45种；
三类：
数学、英语各1本，共有7×5＝35种；
∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．
4．[2018·青岛模拟]如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现在要求在其余四个区域中涂色，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．64B．72
C．84D．96
答案 C
解析 分成两类：
A和C同色时有4×3×3＝36种；A和C不同色时有4×3×2×2＝48种，所以一共有36＋48＝84种．
5．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．16种B．18种
C．37种D．48种
答案 C
解析 自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37种．
6．[2018·福州模拟]有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）
A．8种B．9种
C．10种D．11种
答案 B
解析 设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9种．
7．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数共有（ ）
A．180种B．240种
C．360种D．480种
答案 D
解析 依题意，歌手乙、丙都排在歌手甲的前面的排法共有A
×4×5×6＝240种，因此满足题意的不同排法共有240×2＝480种．
8．从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是________．
答案 18
解析 从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法．故所求奇数的个数为2×3×3＝18.
9．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
答案 12
解析 由题意知本题是一个分类计数问题，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况，当有三个1时：
2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9种，当有三个2,3,4时：
2221,3331,4441，有3种，根据分类计数原理得到共有12种结果，故答案为12.
10．[2018·惠州模拟]在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
答案 2880
解析 分两步安排这8名运动员．
第一步：
安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24种．
第二步：
安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．
∴安排这8人的方式有24×120＝2880种．
[B级 知能提升]
1．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有（ ）
A．32个B．34个
C．36个D．38个
答案 A
解析 先把数字分成5组：
{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可．故共可组成25＝32（个）．
2．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ）
A．85B．56
C．49D．28
答案 C
解析 解法一：
（直接法）可分两类：
（1）甲乙有一人入选，有C
·C
＝42种方法；
（2）甲乙都入选，有C
·C
＝7种方法．∴共有42＋7＝49种方法．故选C.
解法二：
（间接法）C
－C
＝49种方法．故选C.
3．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成________个不同的三位数．
答案 168
解析 要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：
第一步：
首位可放8－1＝7个数；
第二步：
十位可放6个数；
第三步：
个位可放4个数．
故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．
4．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？
（六名同学不一定都能参加）
（1）每人只参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．
解
（1）每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729（种）．
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120（种）．
（3）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216（种）．
5．[2018·西安五校联考]编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1,2号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法有多少种？
解 根据A球所在位置分两类：
（1）若A球放在3号或5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步乘法计数原理得，2×3×2×1＝12种不同的放法．
（2）若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E有3×2×1＝6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，3×6＝18种不同的放法．
综上所述，由分类加法计数原理得不同的放法共有12＋18＝30种．
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