教学设计一元二次方程根的判别式.docx

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教学设计一元二次方程根的判别式

一、教学内容分析

教学重点：

根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用

教学难点：

根的判别式定理及逆定理的运用。

教学关键：

对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。

二、学情分析

学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对

的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究

作用，它是前面知识的深化与总结。

从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。

所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。

三、教学目标

依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是：

知识和技能：

　1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；

　2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；

　3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

过程和方法：

　1、培养学生的探索、创新精神；

2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

情感态度价值观：

1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；

2、加深师生间的交流，增进师生的情感；

3、培养学生的协作精神。

四、教学策略：

本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。

具体如下：

序号

教师

学生

1

设置悬念引发兴趣

争先恐后，欲解疑团

2

设计练习，创设情境

动手解题，亲身感知

3

启发引导，发现结论

观察分析、得出结论

4

引导学生，理论验证

阅读理解，自学教材

5

揭示定理内涵

加深认识理解

6

应用定理，解决问题

巩固应用，形成技能

7

归纳小结

整体把握

8

布置作业

巩固提高

五、教学流程：

<一>、设置悬念，引发兴趣：

【教师】：

同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？

那么，现在章老师这儿还有一手绝活，就是：

我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！

同学们可以随便地出两个题考考我。

【学生】会争先恐后地编题考老师。

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。

【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？

那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。

用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）

（注：

找三名学生板演，其余学生在位上做）

【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。

【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

<三>启发引导，发现结论：

【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：

在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它的值——

，为什么要这样做呢？

【学生】会初步说出

的作用是：

它能决定方程是否可解。

【教师】

（1）由此可见：

在解

起着重要的作用，显然我们可以根据

的值的符号来判断

的根的情况，因此，我们把

叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△（读作delta，它是希腊字母）”来表示，即△=

。

我们说在今后的数学学习中还会遇到：

用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它体现了数学的简洁美。

（3）通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情

况有哪几种，谁能总结出来？

【学生】由于前面作了铺垫，所以学生很快可以答出结论。

【说明】：

这样设计

（1）是为了让学生明白：

的值的符号在解一元二次方程中所起的重要作用，从而很自然地引出了根的判别式概念。

（2）是为了培养学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣。

<四>引导学生，理论验证：

【教师】一元二次方程根的情况果真有三种吗？

请同学们认真阅读课本P39的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释。

【学生】带着老师提出的问题，会很认真地去看书，寻找答案。

【说明】这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证问题的习惯以及自学能力的培养。

<五>揭示定理：

【教师】

（1）由此我们就得出了关于

若△＞0则方程有两个不相等的实数根

若△=0则方程有两个相等的实数根

若△＜0则方程没有实数根

（2）我们说：

这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：

若方程有两个不相等的实数根，则△＞0

若方程有两个相等的实数根，则△=0

若方程没有实数根，则△＜0

（3）定理与逆定理的用途不同

定理的用途是：

在不解方程的情况下，根据△值的符号，用定理来判断方程根的情况。

逆定理的用途是：

在已知方程根的情况下，用逆定理来确定△值的符号，进而可求出系数中某些字母的取值范围。

（4）注意运用定理和逆定理时，必须把所给的方程化成一般形式后方可使用。

【说明】这样设计是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现的结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为定理及逆定理的正确运用做好铺垫。

重中之重

<六>应用定理，解决问题：

【教师】下面我们就来学习两个定理的应用。

例1：

不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）

分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，

（4）补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：

使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，也为今后解综合性问题打好基础。

在练习中作了相应地补充。

分析：

我先提出两个问题：

（1）是谁决定了方程有无实数根？

（2）现在要证方程无实数根，只要证明什么就行了？

例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与例1的第（4）的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。

注意；例1，例2之后我设计了一个小结：

（1）关于运用根的判别式定理来判断：

含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤以及关于△变形的一些经验，从而使学生真正搞清搞透。

小结

（1）关于运用根的判别式定理来判断：

含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是：

①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，计算△；

②用配方法等将△变形，使之符号明朗化后，判断△的符号。

③根据根的判别式定理，写出结论。

（2）注意关于△的变形；一般情况下，△由配方或因式分解后能变形成

等形式；那么△的符号就明朗了，即可判断其符号。

学生练习；

不解方程，判别下列方程根的情况

学以致用

【说明】以上例题的设计，主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会，同时也为了吸引和调动全班同学参与到积极动脑，各抒己见的活跃气氛中来，并培养学生分析问题，解决问题的能力。

注意：

做以上练习时，学生板演，其余学生在位上做；板演后如果发现有错或有其他解法，下面同学可主动上去纠正或写出自己的不同解法，然后教师进行讲评。

从而调动学生的参与意识。

分析：

要解决这个问题，应先假设方程有实根，然后根据根的判别式的逆定理，得出△≥0，再由△≥0解这个不等式，从而求出a的取值范围，进而得出a的正整数解。

注意：

本思考题是我补充的一个用逆定理来解决的问题，以巩固逆定理的运用方法，本题让学生自己分析，教师只帮助学生理清思路，最后让学生自己完成。

<七>归纳小结

（2）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：

一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。

判别式的情况

根的情况

定理与逆定理

△＞0

△＝0

△＜0

【说明】这样设计是为了使学生系统地了解和掌握本节课的内容，与前后知识的联系以及它在教材中的地位，能起到提纲挈领的作用。

<八>布置作业：

1、阅读课本P39的内容；

2、不解方程判定下列方程根的情况：

注（第3、4题供学有余力的学生做）

【说明】这样设计是为了使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间。

方差教学设计

教学目标：

1．通过一系列富有启发性、层层深入的问题，引起学生广泛思考和探索，

体验方差、标准差公式的合理性；逐步明确方差、标准差的意义和作用

2．会用公式计算数据的方差和标准差；

3．会用方差来估计一组数据的波动情况。

4．创设情境，留给学生探索空间，培养探索能力.

教学重点：

1.方差公式的探索得出过程

2.方差公式；

3.会利用方差公式计算方差.

教学难点：

方差的定义及方差公式的推导.

课   型：

新授课

教学过程：

一、引入

情境设计：

显示打靶场面，提出问题1:

为了从甲、乙、丙三名射手中选拔一人参加射击比赛,请你设计一种简单易行的选拔方案。

学生：

回答可分别计算甲、乙、丙三名射手射击成绩的平均数，谁的平均水平高，就选谁。

我们在前面的课程中，已经研究了描述一组数据的集中趋势的统计特征量，问：

它们分别是什么？

（平均数、众数、中位数）

【由“射击问题”引入：

当平均数相同时，如何判断一组数据的波动大小的问题】

   问：

同学们，谁看过射击比赛？

相信大多数同学都看过。

接下来，要让同学们自己想办法，解决有关射击的问题。

二．  新课

教师：

提供甲、乙、丙三名射手的射击成绩如下：

甲：

10 7 7 7 7 7 4 7 7 7

乙：

9  6 5 9 8 5 5 9 5 9 

丙：

8  6 6 7 6 4 7 5 5 6

 学生：

①分小组计算甲、乙、丙的射击成绩;

        ②发现除丙外，其它二人成绩均为=7;

        ③思维第一次受阻

教师：

激活思维：

①问题2：

平均数相等,射击水平就完全一样吗?

                   ②观察数据特点。

                    ③可从数据的稳定性上考虑。

学生：

①小组讨论，得出甲、乙数据特点如下：

      甲：

波动幅度大,但波动的数据少;

      乙：

波动幅度小,但波动的数据多

      ②不能断定哪个稳定性好，思维第二次受阻.

教师：

①单看个别数据的波动幅度不能衡量一组数据的整体波动大小._

       ②问题3:

怎样才能衡量整个一组数据的波动大小呢?

      ③提供一种方案，供学生参看：

 将甲、乙两数据以点的形式标注在平面直角坐标系里，然后用折线连接，确定7为中心线，从而观察波动情况:

  ?

.能比较明显地看到有多少数据在振动;

  ?

.数据偏离中心线的幅度有多少.

   甲                             乙

④结论:

?

必须确定波动标准（一般取数据的平均数）;

      ?

每个数据对整个波动情况都起作用;

      ?

这种绘制图象的方法仍然是定性的综合印象

⑤问题4：

怎样定量地计算整个波动大小呢？

⑥对数据：

甲：

10 7 7 7 7 7 4 7 7 7

乙：

9  6 5 9 8 5 5 9 5 9 

学生：

计算偏差:

每个数据与标准数据（）的差

甲：

3 0   0 0 0  0?

3 0  0 0

乙：

2?

1?

2 2 1 -2?

2 2 -2 2

教师：

问题5：

如何累计偏差？

学生：

①计算偏差的代数和，都为0（无法比较，否定此法）

教师：

问题6：

如何使正负偏差不互相低消？

学生：

讨论后得出两种方法1.给每个偏差加上绝对值后再相加

                                2.给每个偏差平方后再相加 

教师：

①通常采用方法2

        ②请你小结计算偏差和的步骤

学生：

①讨论后得出步骤如下：

?

.计算数据平均数

?

.计算偏差:

每个数据与标准数据（ ）的差

?

.计算偏差的平方和

②分别计算下列两组数据的偏差的平方和

 92.5 90 87.5

  92   89 92 88 91 88

教师：

①第一组的结果为12.5;第二组的结果为18,从计算可得出第一组比第二组稳定,但观察数据显然是第二组稳定.

      ②问题7:

观察和计算为什么矛盾?

学生:

因为两组数据个数不一样.

教师:

问题8:

在数据个数不一样的情况下,如何合理计算偏差?

学生:

计算偏差平方的平均数

教师:

请同学们分别计算上述两组数据偏差平方的平均数

学生:

算出第一组为4.17;第二组为3

教师:

现在观察和计算还矛盾吗?

学生:

…

教师:

①我们把一组数据偏差平方的平均数叫做这组数据的”方差”,板书课题---方差

　　②请同学们总结计算方差的步骤

学生:

小组讨论后给出下列步骤

    ?

.计算数据的平均数;

?

.计算偏差:

每个数据与标准数据（ ）的差;

?

.计算偏差的平方和;

Ⅳ.除以数据个数

教师:

问题9:

对一般性的数据x1、x2、…、xn，设其平均数为，你能写出方差计算公式吗？

学生：

S2= [（x1-）2+（x2-）2+?

?

?

 +（xn-）2]

教师：

①S= 叫一组数据的标准差

②问题10:

你能说出用公式计算方差和标准差的一般步骤吗?

学生：

?

.计算数据的平均数;

?

.代入公式计算方差

?

.计算方差的算术平方根即标准差.

教师:

现在你会回答本课开头提出的问题1了吗?

学生:

①分别计算甲、乙数据的方差，=1.8;=3.4

 ②经过计算平均数和标准差,知应选甲

教师:

问题11:

通过以上学习,你能讲讲方差的作用吗?

学生:

用来估计一组数据波动的大小,方差越大,波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,波动越小,数据越稳定.

教师:

①标准差是用来恒量数据波动大小的另一个数学量;

     ②方差的单位是原数据单位的平方;而标准差的单位与原数据单位一致.

【方差公式的应用】

下面，我们来完整的计算一题。

问题二 两台机床同时生产直径是40毫米的零件，为了检验产品质量，从产品中抽出10件进行测量，结果如下（单位：

毫米）

机床甲

40

39.8

40.1

40.2

39.9

40

40.2

39.8

40.2

39.8

机床乙

40

40

39.9

40

39.9

40.2

40

40.1

40

39.9

哪台机床生产的零件直径更符合规定？

1平均数

问题：

第一步求什么？

2差

3方

问题：

接下来求什么？

〖提示：

看着方差公式回答〗

4和

5均

∵，∴机床甲生产10个零件的直径比机床乙生产10个零件的直径波动要大。

【为了数据单位的统一，得出衡量一组数据波动大小的另一统计特征量：

标准差】

方差的度量单位是原数据度量单位的平方，与原数据的度量单位不一致，有时使用它不是很方便，因此，我们想到将方差开平方，取其算术平方根。

把它叫做这组数据的标准差。

记作：

，这个公式叫做标准差的计算公式。

问题：

标准差的作用是什么？

（衡量一组数据的波动大小）

问题：

标准差的单位是什么？

（原数据的单位）

现在，大家来计算问题二中，甲、乙的标准差各是多少？

∵，∴机床甲生产10个零件直径比机床乙生产10个零件直径波动要大。

比较两组数据的波动大小，从所得结果看，采用方差和标准差，实际上效果是一样的。

这是因为 （都是非负数）

方差、标准差都可以用来衡量一组数据的波动大小。

三．           练习

1．在样本方差计算中数字10和20分别表示样本    容量    和  平均数  

2．两名篮球运动员进行投篮比赛，若=0.081,=0.079，

由此估计  甲  的成绩比 乙  的成绩 波动大  .

3．一组数据的方差一定是（D）

A.正数  B.任意实数  C.负数  D.非负数

4．样本方差的作用是（D）

A.用来估计总体的数值大小

B.用来估计样本的数值大小

C.用于衡量样本容量的大小

D.衡量样本的波动大小以估计总体的波动大小

5．下面说法中正确的是（B）

A.样本数据与样本方差的单位一致

B.样本数据与样本标准差的单位一致

C.样本方差与样本标准差的单位一致

D.样本数据、样本方差、样本标准差的单位一致

6．从甲、乙两种玉米中各抽取10株，分别测得长度如下（单位：

cm）：

甲   25   41   42   40……

乙   27   16   44   27……

求哪种玉米的苗长的高应比较样本的 平均数 

求哪种玉米的苗长的齐应比较样本的 方差或标准差 

四．      小结

这节课你学到了什么？

 五、          作业

少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，则国胜于欧洲，少年雄于地球，则国雄于地球。