第八章 学案44 空间的垂直关系.docx

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第八章学案44空间的垂直关系

学案44　空间的垂直关系

导学目标：

1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．

自主梳理

1．直线与平面垂直

（1）判定直线和平面垂直的方法

①定义法．

②利用判定定理：

一条直线和一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

③推论：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也______这个平面．

（2）直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内______直线．

②垂直于同一个平面的两条直线______．

③垂直于同一直线的两个平面________．

2．直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

一直线垂直于平面，说它们所成角为________；直线l∥α或l⊂α，则它们成________角．

3．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的判定方法

①定义法．

②利用判定定理：

一个平面过另一个平面的__________，则这两个平面垂直．

（2）平面与平面垂直的性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直于________的直线与另一个平面垂直．

4．二面角的平面角

以二面角棱上的任一点为端点，在两个半平面内分别作与棱________的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

自我检测

1．平面α⊥平面β的一个充分条件是（　　）

A．存在一条直线l，l⊥α，l⊥β

B．存在一个平面γ，γ∥α，γ∥β

C．存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β

D．存在一条直线l，l⊥α，l∥β

2．（2010·浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

3．（2011·长沙模拟）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；

②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；

③存在直线l⊂α，直线m⊂β，使得l∥m；

④存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.

其中，可以判定α与β平行的条件有（　　）

A．1个B．2个

C．3个D．4个

4．（2011·十堰月考）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

5．（2011·大纲全国）已知点E、F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________．

探究点一　线面垂直的判定与性质

例1

　Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC.求证：

BD⊥平面SAC.

变式迁移1　

在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.证明：

AB⊥VD.

探究点二　面面垂直的判定与性质

例2

　（2011·邯郸月考）如图所示，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：

平面O1DC⊥平面ABCD.

变式迁移2　（2011·江苏）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

探究点三　直线与平面，平面与平面所成的角

例3

　（2009·湖北）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，AD＝

a，点E是SD上的点，且DE＝λa（0<λ≤2）．

（1）求证：

对任意的λ∈（0,2]，都有AC⊥BE；

（2）设二面角C—AE—D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθtanφ＝1，求λ的值．

变式迁移3　（2009·北京）如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.

（1）求证：

BC⊥平面PAC.

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值．

（3）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？

并说明理由．

转化与化归思想综合应用

例

　（12分）已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是∠A＝60°的

菱形，又PD⊥底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.

（1）证明：

DN∥平面PMB；

（2）证明：

平面PMB⊥平面PAD.

多角度审题

（1）在平面PMB内找到（或构造）一条直线与DN平行即可；

（2）要证面PMB⊥面PAD，只需证明MB⊥面PAD即可．

【答题模板】

证明　

（1）

取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QN∥BC∥MD，且QN＝MD，故四边形QNDM是平行四边形，

于是DN∥MQ.

又∵MQ⊂平面PMB，DN⊄平面PMB

∴DN∥平面PMB.[6分]

（2）∵PD⊥平面ABCD，MB⊂平面ABCD，∴PD⊥MB.

又因为底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且M为AD中点，

所以MB⊥AD.又AD∩PD＝D，所以MB⊥平面PAD.

又∵MB⊂平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD.[12分]

【突破思维障碍】

立体几何的证明问题充分体现线面关系的转化思想，其思路为：

1．证明线面垂直的方法：

（1）线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

（2）判定定理1：

⇒l⊥α；（3）判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；（4）面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；（5）面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

2．证明线线垂直的方法：

（1）定义：

两条直线的夹角为90°；

（2）平面几何中证明线线垂直的方法；（3）线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；（4）线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

3．证明面面垂直的方法：

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2011·滨州月考）已知直线a，b和平面α，β，且a⊥α，b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

3．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；

③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.

其中正确命题的序号是（　　）

A．①②B．①④C．②④D．③④

4．（2011·浙江）下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

5．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（　　）

A．一条直线B．一个圆

C．一个椭圆D．双曲线的一支

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝

a，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．

7．（2011·金华模拟）如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，

垂足为点H，有下列三个命题：

①点H是△A1BD的中心；

②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是____________．

8．正四棱锥S－ABCD底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010·山东）在如图所示的

几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

（1）求证：

平面EFG⊥平面PDC；

（2）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

10．（12分）（2009·天津）如图，

在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2

.

（1）证明：

PA∥平面BDE；

（2）证明：

AC⊥平面PBD；

（3）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．

11．（14分）（2011·杭州调研）如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．

（1）求直线B1C与DE所成角的余弦值；

（2）求证：

平面EB1D⊥平面B1CD；

（3）求二面角E－B1C－D的余弦值．

学案44　空间的垂直关系

自主梳理

1．

（1）②相交　③垂直　

（2）①任意　②平行　③平行

2．射影　直角　0°　3.

（1）②一条垂线　

（2）交线　4.垂直

自我检测

1．D　2.B　3.B　4.D　5.

课堂活动区

例1

　解题导引　线面垂直的判断方法是：

证明直线垂直平面内的两条相交直线．即从“线线垂直”到“线面垂直”．

证明　

（1）取AB中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，

故DE∥BC，且DE⊥AB，

∵SA＝SB，

∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.

∵SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，

∴AB⊥面SDE.而SD⊂面SDE，∴AB⊥SD.

在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.

∵SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，

∴SD⊥平面ABC.

（2）若AB＝BC，则BD⊥AC，

由

（1）可知，SD⊥面ABC，而BD⊂面ABC，

∴SD⊥BD.

∵SD⊥BD，BD⊥AC，SD∩AC＝D，

∴BD⊥平面SAC.

变式迁移1　证明　∵平面VAD⊥平面ABCD，

AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

AD＝平面VAD∩平面ABCD，

∴AB⊥平面VAD.

∵VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD.

例2

　解题导引　证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行．

证明　如图所示，连接AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点．

由棱柱的性质知：

A1O1∥OC，且A1O1＝OC，

∴四边形A1OCO1为平行四边形，

∴A1O∥O1C，

又A1O⊥平面ABCD，∴O1C⊥平面ABCD，

又O1C⊂平面O1DC，

∴平面O1DC⊥平面ABCD.

变式迁移2　

证明　

（1）如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以直线EF∥平面PCD.

（2）连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

例3

　解题导引　高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一．有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查．

求这两种空间角的步骤：

（几何法）．

根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）→认（指）→求．

（1）证明　如图所示，连接BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD.

∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE.

（2）解　如图所示，由SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴SD⊥CD.

又底面ABCD是正方形，

∴CD⊥AD.又SD∩AD＝D，

∴CD⊥平面SAD.

过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C—AE—D的平面角，即∠CFD＝θ.

在Rt△BDE中，∵BD＝2a，DE＝λa，

∴tanφ＝

＝

.

在Rt△ADE中，∵AD＝

a＝CD，DE＝λa，

∴AE＝a

，

从而DF＝

＝

.

在Rt△CDF中，tanθ＝

＝

，

由tanθ·tanφ＝1，得

·

＝1⇒

＝2⇒λ2＝2.

由λ∈（0,2]，解得λ＝

，即为所求．

变式迁移3　

（1）证明　∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又AC∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAC.

（2）解　∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝

BC.

又由

（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.

又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形．

∴AD＝

AB.

在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝

AB.

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝

＝

＝

.

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为

.

（3）解　∵DE∥BC，又由

（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC.

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE.

∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.

∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.

这时，∠AEP＝90°，

故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．

课后练习区

1．C　2.D　3.C

4．D　[两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．]

5．A

6．5

解析　面PAB⊥面PAD，

面PAB⊥面ABCD，面PAB⊥面PBC，

面PAD⊥面ABCD，面PAD⊥面PCD.

7．①②③

解析　由于ABCD—A1B1C1D1是正方体，所以A—A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°.

8.

＋

解析　如图取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，GF，GE.

则AC⊥平面GEF，故动点P的轨迹是△EFG的三边．

又EF＝

DB＝

，

GE＝GF＝

SB＝

，

∴EF＋FG＋GE＝

＋

.

9．

（1）证明　因为MA⊥平面ABCD，

PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.（2分）

因为四边形ABCD为正方形，

所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.（4分）

在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.（6分）

（2）解　因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，

则PD＝AD＝2，

所以VP－ABCD＝

S正方形ABCD·PD＝

.（8分）

由题意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA，

所以DA即为点P到平面MAB的距离，

所以VP－MAB＝

×

×1×2×2＝

.（10分）

所以VP－MAB∶VP－ABCD＝1∶4.（12分）

10．

（1）证明　

设AC∩BD＝H，连接EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，

所以PA∥平面BDE.（4分）

（2）证明　因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由（Ⅰ）可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，

故AC⊥平面PBD.（8分）

（3）解　由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．

由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝2

，可得DH＝CH＝

，BH＝

.

在Rt△BHC中，tan∠CBH＝

＝

.

所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为

.

（12分）

11．

（1）解　连接A1D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成角即为A1D与DE所成角．（2分）

连接A1E，可设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，

则A1D＝

a，

A1E＝DE＝

a，

∴cos∠A1DE＝

＝

.

∴直线B1C与DE所成角的余弦值是

.（6分）

（2）证明　取B1C的中点F，B1D的中点G，

连接BF，EG，GF.∵CD⊥平面BCC1B1，

且BF⊂平面BCC1B1，∴CD⊥BF.

又∵BF⊥B1C，CD∩B1C＝C，

∴BF⊥平面B1CD.（8分）

又∵GF綊

CD，BE綊

CD，

∴GF綊BE，∴四边形BFGE是平行四边形，

∴BF∥GE，∴GE⊥平面B1CD.

∵GE⊂平面EB1D，

∴平面EB1D⊥B1CD.（10分）

（3）解　连接EF.

∵CD⊥B1C，GF∥CD，∴GF⊥B1C.

又∵GE⊥平面B1CD，∴GE⊥B1C.

又∵GE∩GF＝G，∴B1C⊥平面GEF，∴EF⊥B1C，

∴∠EFG是二面角E－B1C－D的平面角．（12分）

设正方体的棱长为a，则在△EFG中，

GF＝

a，EF＝

a，GE⊥GF，∴cos∠EFG＝

＝

，

∴二面角E－B1C－D的余弦值为

.（14分）