高中数学 必修1第一章 集合与函数概念 113第2课时.docx

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高中数学必修1第一章集合与函数概念113第2课时

第2课时　补集及综合应用

学习目标

　1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.

知识点一　全集

思考　老和尚问小和尚：

“如果你前进是死，后退是亡，那你怎么办？

”小和尚说：

“我从旁边绕过去.”在这一故事中，老和尚设定的运动方向共有哪些？

小和尚设定的运动方向共有哪些？

答案　老和尚设定的运动方向只有2个：

前进，后退.小和尚偷换了前提：

运动方向可以是四面八方任意方向.

梳理　

定义

如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集

记法

全集通常记作U

知识点二　补集

思考　实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？

答案　剩下不大于1的数，用集合表示为{x∈R|x≤1}.

梳理　

文字语言

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA

符号语言

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

图形语言

类型一　求补集

例1　

（1）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于（　　）

A.{x|0

C.{x|0

答案　C

解析　∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，

A＝{x∈R|－2≤x≤0}，

∴∁UA＝{x|0

（2）设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁UA，∁UB.

解　根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，

所以∁UA＝{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}.

（3）设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U（A∪B）.

解　根据三角形的分类可知A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，

∁U（A∪B）＝{x|x是直角三角形}.

反思与感悟　求集合的补集，需关注两处：

一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解.

跟踪训练1　

（1）设集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁UA＝________.

答案　{3,4,5}

（2）已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，则∁UA＝________.

答案　{x|－1

（3）已知全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合A＝{（x，y）|xy>0}，则∁UA＝________.

答案　{（x，y）|xy≤0}

类型二　补集性质的应用

命题角度1　补集性质在集合运算中的应用

例2　已知A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B.

解　∵A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，

∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.

而∁UB＝{－1,0,2}，

∴B＝∁U（∁UB）＝{－3,1,3,4,6}.

反思与感悟　从Venn图的角度讲，A与∁UA就是圈内和圈外的问题，由于（∁UA）∩A＝∅，（∁UA）∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.

跟踪训练2　如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝________________.

答案　{x|0≤x≤1或x＞2}

解析　A∩B＝{x|1

由图可得A*B＝∁（A∪B）（A∩B）＝{x|0≤x≤1或x＞2}.

命题角度2　补集性质在解题中的应用）

例3　关于x的方程：

x2＋ax＋1＝0，①

x2＋2x－a＝0，②

x2＋2ax＋2＝0，③

若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.

解　假设三个方程均无实根，则有

即

解得－

∴当a≤－

或a≥－1时，三个方程至少有一个方程有实根，

即a的取值范围为{a|a≤－

或a≥－1}.

反思与感悟　运用补集思想求参数取值范围的步骤：

（1）把已知的条件否定，考虑反面问题；

（2）求解反面问题对应的参数的取值范围；（3）求反面问题对应的参数的取值集合的补集.

跟踪训练3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围.

解　假设集合A中含有2个元素，

即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，

则

解得a<

，且a≠0，

则集合A中含有2个元素时，实数a的取值范围是

{a|a<

且a≠0}.

在全集U＝R中，集合{a|a<

且a≠0}的补集是

{a|a≥

或a＝0}，

所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥

或a＝0}.

类型三　集合的综合运算

例4　

（1）已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1,2}，则A∩（∁UB）等于（　　）

A.{3}B.{4}

C.{3,4}D.∅

答案　A

解析　∵∁U（A∪B）＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，

又∵B＝{1,2}，∴∁UB＝{3,4}，

A中必有3，可以有1,2，一定没有4.

∴A∩（∁UB）＝{3}.

（2）已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是________.

答案　a≥2

解析　∵∁RB＝{x|x<1或x>2}且A∪（∁RB）＝R，

∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.

反思与感悟　解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.

跟踪训练4　

（1）已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，（∁UA）∩（∁UB）＝{1,3,7}，A∩（∁UB）＝{4,9}，则B等于（　　）

A.{1,2,3,6,7}B.{2,5,6,8}

C.{2,4,6,9}D.{2,4,5,6,8,9}

答案　B

解析　根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图（如图所示），可得B＝{2,5,6,8}，故选B.

（2）已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

解　如图所示.

∵A＝{x|－2

∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，

∁UB＝{x|x<－3或2

A∩B＝{x|－2

∴（∁UA）∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，

A∩（∁UB）＝{x|2

1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于（　　）

A.UB.{1,3,5}

C.{3,5,6}D.{2,4,6}

答案　C

2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（　　）

A.{1,3,4}B.{3,4}

C.{3}D.{4}

答案　D

3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T等于（　　）

A.{x|－2

C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}

答案　C

4.设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是（　　）

A.Z∪∁UNB.N∩∁UN

C.∁U（∁U∅）D.∁UQ

答案　A

5.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩（∁UN）＝{2,4}，则N等于（　　）

A.{1,2,3}B.{1,3,5}

C.{1,4,5}D.{2,3,4}

答案　B

1.全集与补集的互相依存关系

（1）全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究问题而异.

（2）补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.

（3）∁UA的数学意义包括两个方面：

首先必须具备A⊆U；其次是定义∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.

2.补集思想

做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁UA，再由∁U（∁UA）＝A求A.

课时作业

一、选择题

1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（　　）

A．{1,2,4}B．{2,3,4}

C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}

答案　C

解析　∁UA＝{0,4}，所以（∁UA）∪B＝{0,2,4}，选C.

2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁UM等于（　　）

A．{x|－2

C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}

答案　C

解析　∵M＝{x|－2≤x≤2}，

∴∁UM＝{x|x<－2或x>2}．

3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于（　　）

A．0或2B．0

C．1或2D．2

答案　D

解析　由题意，知

则a＝2.

4．已知集合U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>4}，B＝{x|－3≤x≤3}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A．{x|－3≤x≤4}

B．{x|－2≤x≤3}

C．{x|－3≤x≤－2或3≤x≤4}

D．{x|－2≤x≤4}

答案　B

解析　∁UA＝{x|－2≤x≤4}．

由图知（∁UA）∩B＝{x|－2≤x≤3}．

5．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则（　　）

A．∁UN⊆∁UMB．M⊆∁UN

C．∁UM⊆∁UND．∁UN⊆M

答案　C

解析　由M∩N＝N知N⊆M.∴∁UM⊆∁UN.

6．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}

答案　B

解析　因为A＝{x∈N|x≤－

或x≥

}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

7．如图，已知I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（　　）

A．（∁IA∩B）∩CB．（∁IB∪A）∩C

C．（A∩B）∩（∁IC）D．（A∩∁IB）∩C

答案　D

解析　由题图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是（A∩∁IB）∩C.

二、填空题

8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）＝______，（∁UA）∩（∁UB）＝________.

答案　{x|0

解析　A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∁U（A∪B）＝{x|00}，∁UB＝{x|x<1}，∴（∁UA）∩（∁UB）＝{x|0

9．若全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）|x>0，y>0}，则点（－1,1）________∁UA.（填“∈”或“∉”）

答案　∈

解析　显然（－1,1）∈U，且（－1,1）∉A，

∴（－1,1）∈∁UA.

10．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7），∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.

答案　{2,3,5,7}

解析　因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．

又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．

11．设U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且（∁UA）∪B＝R，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤1

解析　∁UA＝{x|x≤1}，

∵（∁UA）∪B＝R，∴B⊇{x|x>1}，

∴a≤1.

12．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，则图中阴影部分所表示的集合为________．

答案　{x|x≤1或x>2}

解析　如图，设U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1

∴阴影部分为∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x>2}．

13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a

答案　a≥－

解析　由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．

①若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA；

②若B≠∅，则由B⊆∁RA，得

所以－

≤a<3.

综合①②可得a≥－

.

三、解答题

14．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪（∁UA）＝R，B∩（∁UA）＝{x|0

解　∵A＝{x|1≤x≤2}，

∴∁UA＝{x|x<1或x>2}．

又B∪（∁UA）＝R，A∪（∁UA）＝R，

可得A⊆B.

而B∩（∁UA）＝{x|0

∴{x|0

借助于数轴

可得B＝A∪{x|0

15．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，求实数m的值．

解　A＝{－1,2}，B∩（∁UA）＝∅等价于B⊆A.

当m＝0时，B＝∅⊆A；

当m≠0时，B＝{－

}．

∴－

＝－1，或－

＝2，即m＝1或m＝－

.

综上，m的值为0,1，－

.

16．设全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合M＝{（x，y）|

＝1}，P＝{（x，y）|y≠x＋1}，求∁U（M∪P）．

解　集合M表示的是直线y＝x＋1上除去点（2,3）的所有点，集合P表示的是不在直线y＝x＋1上的所有点，显然M∪P表示的是平面内除去点（2,3）的所有点，故∁U（M∪P）＝{（2,3）}．