初中数学复习总动员第7讲一元一次方程.docx

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初中数学复习总动员第7讲一元一次方程

2017年暑期初中数学复习总动员第7讲一元一次方程

【知识巩固】

1．定义

（1）含有未知数的等式叫做方程；

（2）只含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次，这样的整式方程叫做一元一次方程；

（3）含有两个未知数，且含未知数的项的次数为一次，这样的整式方程叫做二元一次方程．

（4）将两个或两个以上的方程联立在一起，就构成了一个方程组．如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做二元一次方程组．

2．方程的解

（1）能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程．

（2）解在具体情境中的应用

3．解法

解一元一次方程主要有以下步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.

4.一元一次方程的应用

【典例解析】

典例一、一元一次方程定义

．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）

A．x2﹣4x=3B．x=0C．x+2y=1D．x﹣1=

【考点】一元一次方程的定义．

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．

【解答】解：

A、x2﹣4x=3的未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，故A错误；

B、x=0符合一元一次方程的定义，故B正确；

C、x+2y=1是二元一次方程，故C错误；

D、x﹣1=

，分母中含有未知数，是分式方程，故D错误．

故选：

B．

【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．

典例二、一元一次方程的解法

方程﹣2x=

的解是（　　）

A．x=

B．x=﹣4C．x=

D．x=4

【考点】解一元一次方程．

【专题】计算题．

【分析】此方程比较简单，这是一个系数不为1的方程，系数化为1得，就可得到方程的解．

【解答】解：

方程﹣2x=

，

系数化为1得：

x=

．

故选A．

【点评】解方程的过程就是一个方程变形的过程，变形的依据是等式的基本性质，变形的目的是使方程接近x=a（a为常数）的形式．

【变式训练】

方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2，则a等于（　　）

A．﹣8B．0C．2D．8

【考点】方程的解．

【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．

【解答】解：

把x=﹣2代入方程2x+a﹣4=0，

得到：

﹣4+a﹣4=0

解得a=8．

故选D．

【点评】本题主要考查了方程解的定义，已知x=﹣2是方程的解实际就是得到了一个关于a的方程．

典例三、一元一次方程的应用

（2017湖北荆州）为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款多少元？

（　　）

A．140元B．150元C．160元D．200元

【考点】8A：

一元一次方程的应用．

【分析】此题的关键描述：

“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．

【解答】解：

设李明同学此次购书的总价值是人民币是x元，

则有：

20+0.8x=x﹣10

解得：

x=150

即：

小慧同学不凭卡购书的书价为150元．

故选：

B．

【变式训练】

整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时．现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作．假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】工程问题．

【分析】等量关系为：

所求人数1小时的工作量+所有人2小时的工作量=1，把相关数值代入即可求解．

【解答】解：

设先安排整理的人员有x人，

依题意得：

．

解得：

x=10．

答：

先安排整理的人员有10人．

【点评】解决本题的关键是得到工作量1的等量关系；易错点是得到相应的人数及对应的工作时间．

典例四、关于一元一次方程创新题

公园门票价格规定如下表：

购票张数

1～50张

51～100张

100张以上

每张票的价格

13元

11元

9元

某校初一

（1）、

（2）两个班共104人去游公园，其中

（1）班人数较少，不足50人．

经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：

（1）两班各有多少学生？

（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？

（3）如果初一

（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】经济问题；图表型．

【分析】若设初一

（1）班有x人，根据总价钱即可列方程；

第二问利用算术方法即可解答；

第三问应尽量设计的能够享受优惠．

【解答】解：

（1）设初一

（1）班有x人，

则有13x+11（104﹣x）=1240或13x+9（104﹣x）=1240，

解得：

x=48或x=76（不合题意，舍去）．

即初一

（1）班48人，初一

（2）班56人；

（2）1240﹣104×9=304，

∴可省304元钱；

（3）要想享受优惠，由

（1）可知初一

（1）班48人，只需多买3张，

51×11=561，48×13=624＞561

∴48人买51人的票可以更省钱．

【点评】在优惠类一类问题中，注意认真理解优惠政策，审题要细心．

【能力检测】

1.已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（　　）

A．3a﹣5=2bB．3a+1=2b+6C．3ac=2bc+5D．a=

【考点】等式的性质．

【分析】利用等式的性质：

①等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；②：

等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式，对每个式子进行变形即可找出答案．

【解答】解：

A、根据等式的性质1可知：

等式的两边同时减去5，得3a﹣5=2b；

B、根据等式性质1，等式的两边同时加上1，得3a+1=2b+6；

D、根据等式的性质2：

等式的两边同时除以3，得a=

；

C、当c=0时，3ac=2bc+5不成立，故C错．

故选：

C．

【点评】本题主要考查了等式的基本性质，难度不大，关键是基础知识的掌握．

2.（2016·湖北荆州·3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（　　）

A．120元B．100元C．80元D．60元

【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价=（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：

设该商品的进价为x元/件，

依题意得：

（x+20）÷

=200，

解得：

x=80．

∴该商品的进价为80元/件．

故选C．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程（x+20）÷

=200．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．

3.下图是2003年12月份的日历，现用一长方形在日历中任意框出4个数

，请用一个等式表示a，b，c，d之间的关系　a+b=d+c或a+d+2=c+b或a+c=b+d﹣14　．

【考点】等式的性质．

【分析】例如：

a=9，b=17，c=10，d=16，一个等式表示a，b，c，d之间的关系a+b=c+d或a+d+2=c+b或a+c=b+d﹣14．

【解答】解：

∵a+b=c+d，c﹣a=b﹣d=1，d﹣a=b﹣c=7，

∴a+b=c+d或a+d+2=c+b或a+c=b+d﹣14．

【点评】此题应根据等式的性质解答，只要写出任意一种数量关系即可以根据等式的性质变形，所以答案不唯一．

4.某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（　　）

A．不赔不赚B．赚了10元C．赔了10元D．赚了50元

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】设盈利的进价是x元，亏本的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，可列方程求解．

【解答】解：

设盈利的进价是x元，

80﹣x=60%x

x=50

设亏本的进价是y元

y﹣80=20%y

y=100

80+80﹣100﹣50=10元．

故赚了10元．

故选B．

【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据利润=售价﹣进价，求出两个商品的进价，从而得解．

5.如果关x的方程

与

的解相同，那么m的值是　±2　．

【考点】同解方程．

【分析】本题中有两个方程，且是同解方程，一般思路是：

先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．

【解答】解：

解方程

=

整理得：

15x﹣3=42，

解得：

x=3，

把x=3代入

=x+4

+2|m|

得

=3+

+2|m|

解得：

|m|=2，

则m=±2．

故答案为±2．

【点评】本题考查了同解方程，使方程左右两边相等的未知数的值是该方程的解，因此检验一个数是否为相应的方程的解，就是把这个数代替方程中的未知数，看左右两边的值是否相等．

6.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A港和B港相距　504　千米．

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】行程问题．

【分析】轮船航行问题中的基本关系为：

（1）船的顺水速度=船的静水速度+水流速度；

（2）船的逆水速度=船的静水速度一水流速度．若设A港和B港相距x千米，则从A港顺流行驶到B港所用时间为

小时，从B港返回A港用

小时，根据题意列方程求解．

【解答】解：

设A港和B港相距x千米．

根据题意，得

，

解之得x=504．

故填504．

【点评】本题的相等关系，逆流航行时间﹣顺流航行时间=3．注意：

船的顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系．

7.用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】应用题．

【分析】设x张制盒身，则可用（150﹣x）张制盒底，那么盒身有16x个，盒底有43（150﹣x）个，然后根据一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒就可以列出方程，解方程就可以解决问题．

【解答】解：

设x张制盒身，则可用（150﹣x）张制盒底，

列方程得：

2×16x=43（150﹣x），

解方程得：

x=86．

答：

用86张制盒身，64张制盒底，可以正好制成整套罐头盒．

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

8.在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？

分析：

设该队共胜了x场，根据题意，用含x的式子填空：

（1）该队平了　11﹣x　场；

（2）按比赛规则，该队胜场共得　3x　分；

（3）按比赛规则，该队平场共得　11﹣x　分．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】可设该队胜场为x，根据“11场比赛保持连续不败”，那么该队平场的场数为11﹣x，由题意可得出：

3x+（11﹣x）=23，解方程求解．

【解答】解：

（1）11﹣x；

（2）3x；

（3）（11﹣x）；

根据题意可得：

3x+（11﹣x）=23，

解得：

x=6．

答：

该队共胜了6场．

【点评】本题主要考查列一元一次方程解足球比赛得分问题，列一元一次方程解足球赛问题的关键是抓住胜的场数与平的场数的关系，根据积分总数列出方程．

9.解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

.

解：

（1）

，

去括号，得

移项，得

，

系数化为1，得

（2）

，

去分母，得

，

去括号，得

，

移项，得

，

合并同类项，得

系数化为1，得

（3）

，

去括号，得

，

移项，得

，

合并同类项，得

，

系数化为1，得

（4）

，

去分母，得

，

去括号，得

，

移项，得

，

合并同类项，得

，

系数化为1，得

10.为了拓展销路，商店对某种照相机的售价做了调整，按原价的8折出售，此时的利润率为14%，若此种照相机的进价为1200元，问该照相机的原售价是多少元？

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】应用题．

【分析】设该照相机的原售价是x元，从而得出售价为0.8x，等量关系：

实际售价=进价（1+利润率），列方程求解即可．

【解答】解：

设该照相机的原售价是x元，根据题意得：

0.8x=1200×（1+14%），

解得：

x=1710．

答：

该照相机的原售价是1710元．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，与实际结合，是近几年的热点考题，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解

11.（2016·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：

使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．

（1）请直接写出第5节套管的长度；

（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．

【考点】一元一次方程的应用．

【分析】

（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；

（2）同

（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【解答】解：

（1）第5节套管的长度为：

50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．

（2）第10节套管的长度为：

50﹣4×（10﹣1）=14（cm），

设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，

根据题意得：

（50+46+42+…+14）﹣9x=311，

即：

320﹣9x=311，

解得：

x=1．

答：

每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．