湘教版数学八年级下册第1章《直角三角形》.docx
《湘教版数学八年级下册第1章《直角三角形》.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《湘教版数学八年级下册第1章《直角三角形》.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![湘教版数学八年级下册第1章《直角三角形》.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-12/16/4ea9e92a-a71e-4393-a6d4-c64ca544d881/4ea9e92a-a71e-4393-a6d4-c64ca544d8811.gif)
湘教版数学八年级下册第1章《直角三角形》
初中数学试卷
2016—2017学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》1.1—1.2同步练习与解析
一.选择题(共8小题)
1.如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是( )
A.35°B.55°C.60°D.70°
2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=( )
A.40°B.30°C.20°D.10°
3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是( )
A.图中有三个直角三角形B.∠1=∠2
C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A
4.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=( )
A.6B.6
C.6
D.12
5.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为斜边AC的中点,BD=6cm,则AC的长为( )
A.3B.6C.
D.12
6.如图,△ABC中,AB=AC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.10B.6C.8D.5
7.一直角三角形的两直角边长为12和16,则斜边上中线长为( )
A.20B.10C.18D.25
8.如图,每个小正方形的边长都相等,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
二.填空题(共8小题)
9.如图,直线m∥n,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,则∠1= 度.
10.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于 度.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′,若∠B=50°,则∠ACB′= .
12.如图,一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵树在折断前的高度为 米.
13.若一直角三角形的两个锐角的差是20°,则其较大锐角的度数是 .
14.直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°,则直角三角形中最小的角的度数为 .
15.若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm,则斜边长为 ,面积为 .
16.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM= .
三.解答题(共5小题)
17.如图,在△ABC中,CE,BF是两条高,若∠A=70°,∠BCE=30°,求∠EBF与∠FBC的度数.
18.如图,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
(1)求证:
∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F,求证:
∠CEF=∠CFE.
19.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗?
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,DE⊥AB于点D,交AC于点E.
(1)若BC=3,AC=4,求CD的长;
(2)求证:
∠1=∠2.
21.在△ABC中,CE,BD分别是边AB,AC上的高,F是BC边上的中点.
(1)指出图中的一个等腰三角形,并说明理由.
(2)若∠A=x°,求∠EFD的度数(用含x的代数式表达).
四.回顾与思考(1小题)
22.在等边△ABC中,
(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②小茹通过观察、实验提出猜想:
在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM,小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;
想法2:
在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;
想法3:
将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).
2016—2017学年湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》1.1—1.2同步练习解析
一.选择题(共8小题)
1.如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是( )
A.35°B.55°C.60°D.70°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD,再根据角平分线的定义解答.
【解答】解:
∵CD⊥BD,∠C=55°,
∴∠CBD=90°﹣55°=35°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°.
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,角平分线的定义,熟记性质是解题的关键.
2.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其折叠,使点A落在边CB上A′处,折痕为CD,则∠A′DB=( )
A.40°B.30°C.20°D.10°
【分析】在直角三角形ABC中,由∠ACB与∠A的度数,利用三角形的内角和定理求出∠B的度数,再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A,而∠CA′D为三角形A′BD的外角,利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数.
【解答】解:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°,
由折叠可得:
∠CA′D=∠A=55°,
又∵∠CA′D为△A′BD的外角,
∴∠CA′D=∠B+∠A′DB,
则∠A′DB=55°﹣35°=20°.
故选:
C.
【点评】此题考查了直角三角形的性质,三角形的外角性质,以及折叠的性质,熟练掌握性质是解本题的关键.
3.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是( )
A.图中有三个直角三角形B.∠1=∠2
C.∠1和∠B都是∠A的余角D.∠2=∠A
【分析】在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,因而△ACD∽△CBD∽△ABC,根据相似三角形的对应角相等,就可以证明各个选项.
【解答】解:
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,
∴△ACD∽△CBD∽△ABC.
A、∵图中有三个直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC;故本选项正确;
B、应为∠1=∠B、∠2=∠A;故本选项错误;
C、∵∠1=∠B、∠2=∠A,而∠B是∠A的余角,∴∠1和∠B都是∠A的余角;故本选项正确;
D、∵∠2=∠A;故本选项正确.
故选B.
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质,直角三角形斜边上的高,把这个三角形分成的两个三角形与原三角形相似.
4.(2016•百色)如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,则BC=( )
A.6B.6
C.6
D.12
【分析】根据30°所对的直角边等于斜边的一半求解.
【解答】解:
∵∠C=90°,∠A=30°,AB=12,
∴BC=
AB=12×
=6,
故答选A.
【点评】本题考查解直角三角形,解题的关键是正确的利用合适的边角关系.
5.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为斜边AC的中点,BD=6cm,则AC的长为( )
A.3B.6C.
D.12
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC=2BD,进而可得答案.
【解答】解:
∵∠ABC=90°,点D为斜边AC的中点,
∴AC=2BD,
∵BD=6cm,
∴AC=12cm,
故选:
D.
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质,关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
6.如图,△ABC中,AB=AC=10,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则DE的长为( )
A.10B.6C.8D.5
【分析】由等腰三角形的性质证得BD=DC,根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论.
【解答】解:
∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,
∴BD=DC,
∵E为AC的中点,
∴DE=
AB=
×10=5,
故选D.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的中位线,熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键.
7.一直角三角形的两直角边长为12和16,则斜边上中线长为( )
A.20B.10C.18D.25
【分析】根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出答案.
【解答】解:
∵两直角边分别为12和16,
∴斜边=
=20,
∴斜边上的中线的长为10,
故选B.
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和勾股定理,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
8.如图,每个小正方形的边长都相等,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【分析】根据勾股定理即可得到AB,BC,AC的长度,进行判断即可.
【解答】解:
连接AC,设每个小正方形的边长都是a,
根据勾股定理可以得到:
AC=BC=
a,AB=
a,
∵(
a)2+(
a)2=(
a)2,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
故选B.
【点评】本题主要考查了勾股定理,利用勾股定理判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键.
二.填空题(共8小题)
9.(2016•安顺)如图,直线m∥n,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,则∠1= 45 度.
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC的度数,再由平行线的性质即可得出结论.
【解答】解:
∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵m∥n,
∴∠1=45°;
故答案为:
45.
【点评】此题考查了等腰直角三角形和平行线的性质,用到的知识点是:
两直线平行,同位角相和等腰直角三角形的性质;关键是求出∠ABC的度数.
10.如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,将△BCD沿CD折叠,B点恰好落在AB的中点E处,则∠A等于 30 度.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE,从而得到∠A=∠ACE,再由折叠的性质及三角形的外角性质得到∠B=2∠A,从而不难求得∠A的度数.
【解答】解:
∵在Rt△ABC中,CE是斜边AB的中线,
∴AE=CE,
∴∠A=∠ACE,
∵△CED是由△CBD折叠而成,
∴∠B=∠CED,
∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A,
∴∠B=2∠A,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠A=30°.
故答案为:
30.
【点评】此题主要考查:
(1)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;
(2)三角形的外角性质:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′,若∠B=50°,则∠ACB′= 10° .
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A的度数,根据直角三角形的性质分别求出∠BCD、∠DCA的度数,根据翻折变换的性质求出∠B′CD的度数,计算即可.
【解答】解:
∵∠ACB=90°,∠B=50°,
∴∠A=40°,
∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,
∴CD=BD,CD=AD,
∴∠BCD=∠B=50°,∠DCA=∠A=40°,
由翻折变换的性质可知,∠B′CD=∠BCD=50°,
∴∠ACB′=∠B′CD﹣∠DCA=10°,
故答案为:
10°.
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、翻折变换的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
12.如图,一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵树在折断前的高度为 12 米.
【分析】如图,由于倒下部分与地面成30°夹角,所以∠BAC=30°,由此得到AB=2CB,而离地面米处折断倒下,即BC=4米,所以得到AB=8米,然后即可求出这棵大树在折断前的高度.
【解答】解:
如图,
∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,
∴AB=2CB,
而BC=4米,
∴AB=8米,
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米.
故答案为:
12.
【点评】此题主要利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题,然后解题时要正确理解题意,把握题目的数量关系.
13.若一直角三角形的两个锐角的差是20°,则其较大锐角的度数是 55° .
【分析】设较大的锐角度数是x°,根据直角三角形两锐角互余表示出较小的锐角,然后列出方程求解即可.
【解答】解:
设较大的锐角度数是x°,则较小的锐角为(90﹣x)°,
由题意得,x﹣(90﹣x)=20,
解得x=55,
即较大锐角的度数是55°.
故答案为:
55°.
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,熟记性质并列出方程是解题的关键.
14.直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°,则直角三角形中最小的角的度数为 40° .
【分析】设直角三角形中一个锐角为x,另一个锐角为2x﹣60°,根据两个锐角之和为90度即可求出答案.
【解答】解:
设直角三角形中一个锐角为x,另一个锐角为2x﹣60°,
根据两个锐角之和为90°可得,
x+2x﹣60°=90°,
解的x=50°,
较小角为90°﹣50°=40°,
故答案为40°.
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质,解题的关键是掌握直角三角形中两个锐角之和为90°,此题基础题.
15.若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm,则斜边长为 12cm ,面积为 30cm2 .
【分析】根据直角三角形的斜边上中线性质求出AB,根据三角形的面积公式求出即可.
【解答】解:
∵CD是Rt△ACB斜边AB上的中线,
∴AB=2CD=2×6cm=12cm,
∴Rt△ACB的面积S=
AB×CE=
12cm×5cm=30cm2,
故答案为:
12cm,30cm2.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用,解此题的关键是根据性质求出AB的长,注意:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
16.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM= 3 .
【分析】过P作PC垂直于MN,由等腰三角形三线合一性质得到MC=CN,求出MC的长,在直角三角形OPC中,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长,由OC﹣MC求出OM的长即可.
【解答】解:
过P作PC⊥MN,
∵PM=PN,
∴C为MN中点,即MC=NC=
MN=1,
在Rt△OPC中,∠AOB=60°,
∴∠OPC=30°,
∴OC=
OP=4,
则OM=OC﹣MC=4﹣1=3,
故答案为:
3
【点评】此题考查了含30度角的直角三角形,以及等腰三角形的性质,熟练掌握性质是解本题的关键.
三.解答题(共5小题)
17.如图,在△ABC中,CE,BF是两条高,若∠A=70°,∠BCE=30°,求∠EBF与∠FBC的度数.
【分析】在Rt△ABF中,∠A=70,CE,BF是两条高,求得∠EBF的度数,在Rt△BCF中∠FBC=40°求得∠FBC的度数.
【解答】解:
在Rt△ABF中,∠A=70,CE,BF是两条高,
∴∠EBF=20°,∠ECA=20°,
又∵∠BCE=30°,
∴∠ACB=50°,
∴在Rt△BCF中∠FBC=40°.
【点评】本题考查了直角三角形的性质,三角形内角和定理,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
18.如图,在△ACB中,∠ACB=90゜,CD⊥AB于D.
(1)求证:
∠ACD=∠B;
(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F,求证:
∠CEF=∠CFE.
【分析】
(1)由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角,根据同角的余角相等即可得证;
(2)根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF,∠AED=90°﹣∠DAE,再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE,然后由对顶角相等的性质,等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.
【解答】证明:
(1)∵∠ACB=90゜,CD⊥AB于D,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B;
(2)在Rt△AFC中,∠CFA=90°﹣∠CAF,
同理在Rt△AED中,∠AED=90°﹣∠DAE.
又∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAE,
∴∠AED=∠CFE,
又∵∠CEF=∠AED,
∴∠CEF=∠CFE.
【点评】本题考查了直角三角形的性质,三角形角平分线的定义,对顶角的性质,余角的性质,难度适中.
19.如图,树AB垂直于地面,为测树高,小明在C处,测得∠ACB=15°,他沿CB方向走了20米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小明计算出树的高度吗?
【分析】根据三角形外角的性质得到∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°,根据等腰三角形的性质得到AD=CD=20,由直角三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,
∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°,
∴∠ACB=∠CAD,
∴AD=CD=20,
又∵∠ABD=90°,
∴AB=
AD=10,
∴树的高度为10米.
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质,三角形的外角的性质,熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,DE⊥AB于点D,交AC于点E.
(1)若BC=3,AC=4,求CD的长;
(2)求证:
∠1=∠2.
【分析】
(1)由勾股定理求出AB,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可;
(2)由直角三角形的锐角关系和等腰三角形的性质即可得出结论.
【解答】
(1)解:
∵∠ACB=90°,BC=3,AC=4,
∴AB=
=5,
∵CD是AB边上的中线,
∴CD=
AB=2.5;
(2)证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠A+∠1=90°,
∴∠B=∠1,
∵CD是AB边上的中线,
∴BD=CD,
∴∠B=∠2,
∴∠1=∠2.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质;熟记性质是解题的关键.
21.在△ABC中,CE,BD分别是边AB,AC上的高,F是BC边上的中点.
(1)指出图中的一个等腰三角形,并说明理由.
(2)若∠A=x°,求∠EFD的度数(用含x的代数式表达).
【分析】
(1)根据直角三角形的性质得到EF=
BC,DF=
BC,等量代换即可;
(2)根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算;
【解答】解:
(1)△DEF是等腰三角形.
∵CE,BD分别是边AB,AC上的高,F是BC边上的中点,
∴EF=
BC,DF=
BC,
∴EF=DF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)∵FE=FB,FD=FC,
∴∠FEB=∠FBE,∠FDC=∠FCD,
∴∠FEB+∠FDC=∠FBE+∠FCD=180°﹣∠A=180°﹣x°,
∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=180°﹣x°,
∴∠FED+∠FDE=360°﹣(180°﹣x°)﹣(180°﹣x°)=2x°,
∴∠EFD=180°﹣2x°;
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的判定,掌握直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
四.回顾与思考(1小题)
22.(2016•北京)在等边△ABC中,
(1)如图1,P,Q是BC边上的两点,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度数;
(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与点B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.
①依题意将图2补全;
②小茹通过观察、实验提出猜想:
在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM,小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
要证明PA=PM,只需证△APM是等边三角形;
想法2:
在BA上取一点N,使得BN=BP,要证明PA=PM,只需证△ANP≌△PCM;
想法3:
将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK…
请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM(一种方法即可).
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP,由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC,根据三角形外角的性质即可得到结论;
(2)如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP,由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC,由点Q关于直线AC的对称点为M,得到AQ=AM,∠OAC=∠MAC,等量代换得到∠MAC=∠BAP,推出△APM是等边三角形,根据等边三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:
(1)∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ=20°,
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°;
(2)如图2,∵AP=AQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴∠APB=∠AQC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∴∠BAP=∠CAQ,
∵点Q关于直线AC的对称点为M,
∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,
∴∠MAC=∠BAP,
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,
∴∠PAM=60°,
∵AP=AQ,
∴AP=AM,
∴△APM是等边三角形,
∴AP=PM.
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,三角形的外角的性质,轴对称的性质,熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键.