历届国际数学竞赛试题.docx
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历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题
求证（21n4）/（14n3）对每个自然数n都是最简分数。
2.
√2；（b）A=1；（c）A=2。
3.a
试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平
均值。
5.
、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交
于M、N，
（a.）
当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。
6.
找出所有具有下列性质的三位数N：
N能被11整除且N/11等于N的各位数
字的平方和。
2.
√（1
2x））2
3.
已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.
求XY中点的轨迹；
b.
一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底
面上。
令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。
（a）.求证：
V1
不等于V2；
（b）.求V1/V2
的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。
7.
设a、b是常数，解方程组
xyz=
a;x2y2z2=
b2;xy=z2
并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？
2.
解方程cosx-sinx=1,其中n是一个自然数。
4.P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求
证AP/PD,BP/PE,CP/PF中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。
5
三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。
在p上任意取三个点A',B',C'，A'',B'',C''设分别是边AA',BB',CC'
的中点，O是三角形A''B''C''的重心。
问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什
么？
nn
第4届IMO
1.
试找出满足下列不等式的所有实数x：
√（3-x）-√（x1）>1/2.
3.
解方程cosx
cos2xcos3x=1。
5.
一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的
圆心的距离是√（R（R-2r））。
7.
222
第5届IMO
1.
给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足角
APX
在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是
a1>=a2>=...>=an，
求证：
所有边长都相等。
4.
求证
cospi/7-cos2pi/7cos
3pi/7=1/2.
6.
求证不存在正整数n使得2n1能被7整除。
2.
a2（bc-a）
b2（ca-b）c2（ab-c）
3.
十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。
在他们的信上一共讨论有三个
不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：
这些人当中至少有三个人他们所
讨论的话题是一样的。
5.
四面体ABCD的中心是D0，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交
平面BCD、CAD、ABD于点A0、B0、C0，求证：
ABCD的体积是A0B0C0D0的三分之
一；再问如果D0为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？
试找出所有位于区间[0,2pi]的x使其满足
2cosx
如下方程组的系数aij，
a11x1a12x2a13x3=
0
a21x1a22x2
a23x3=0
a31x1a32x2
a33x3=0
满足：
a.a11、a22、a33是正数，其余是负数；
b.
四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到
AB
四个实数它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个
数的所有可能值。
5.
平面上给定了n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的
最大值被定义为这个点集的直径，求证：
长度为直径的线断至多有n条。
第8届IMO
1.
的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。
又已知在所有恰好答对一
题的参赛者中，有一半没有答对A。
请问有多少学生只答对B？
2.
求证：
从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点
到各顶点距离之和。
4.
1/sin2x1/sin
4x...1/sin2nx=cotx-cot2nx.
5.ai（i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）
|ai-a1|x1|ai-a2|
x2|ai-a3|x3|ai-a4|x4=1。
6.
、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。
第9届IMO
1.
≤cosA√3sinA.
2.
3.k,m,n是自然数且mk1是一个大于n1的素数，令cs=s（s1），
求证
（cm1-ck）（cm2-ck）...（cmn-ck）
可被乘积c1c2...cn整除。
4.
），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。
5.a1,...,a8是不全为0的实数，令cn=a1na2n...a8n（n=1,
2,
3,...）
。
6.
三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的
两倍。
2.
3.a,b,c是不全为0的实数。
x1,x2,...,xn是满足下述方程组的未知数：
axi2bxic=xi
1,对于i=1,2,...,n-1；
axn2bxnc=x1；
若设M=（b-1）2-4ac，求证：
a.
若M=0，则方程组恰有一解；
c.
求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角
形的三边。
5.
对任何自然数n，试计算下式的值
[（n1）/2][（n
2）/4][（n4）/8]...[（n2k）/2k
1]...
其中[x]表示不超过x的最大整数。
第11届IMO
1.
令f（x）=
cos（a1x）1/2cos（a2x）1/4
cos（a3x）...1/2n-1cos（anx）,
其中ai是实数常量，x是实数变量。
现已知f（x1）=f（x2）=0，求证x1-x2是π的整数倍。
3.对每一个k=1,2,34,5，试找出a>0应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k个边的长度均为1。
4.以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。
K1是三角形ABC的内切圆，圆K2与CD、DA以及半圆都相切，圆K3与CD、DB及半圆相切。
求证：
圆K1、K2、K3除AB外还有一条公切线。
5.平面上已给定了n>4个点，无三点共线。
求证至少有（n-3）（n-4）/2个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。
6.给定实数x1,x2,y1,y2,
z1,z2,满足x1>0,x2>0,x1y1>z12,x2y2
>z22，求证：
811≤
（x1x2）（y1y2）
-（z1z2）2x2y2-z22x1y1-z12
并给出等号成立的充分必要条件。
第12届IMO
1.M是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的，q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。
求证：
r1r2q=rq1q2。
2.已知0≤xi0,xn-1>0。
如果a>b，xnxn-1...x0是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则
xn-1xn-2...x0表示了A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。
求证：
A'B
3.
∑（1-ak-1/ak）/√ak
其中求和是k从1到n。
a.
设c满足0≤cc成立。
4.试找出所有的正整数n使得集合n,n1,n2,n3,n4,n5可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。
5.
平面上给定100个点，无三点共线，求证：
这些点构成的三角形中至多70%是锐角三角形。
第13届IMO
1.令En=（a1-a2）（a1-a3）...
（a1-an）（a2-a1）（a2-a3）...（a2-an）
...（an-a1）（an-a2）...（an-an-1）.求证
En>=0对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。
2.凸多边形P1的顶点是A1,A2,...,A9，若将顶点A1平移至Ai时则P1平移成了多边形Pi，求证P1,P2,...,P9之中至少有两个具有一共同内点。
3.
四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。
求证：
a.
如果∠DAB∠BCD＝∠CDA∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们
的长度是2ACsin（k/2），其中k=∠BAC∠CAD∠DAB。
5.对任何自然数m，求证存在平面上一有限点集S，满足：
对S中的每一个点A，存在S中的恰好m个点与A的距离为单位长。
6.设A=（j）,其中i,j=1,2,...,n，是一个方阵，元素aij都是非负整数。
若i、j使得aij=0，则第i行和第j列的元素之和大于或等于n。
求证：
该方阵中所有元素之和
大于或等于n2/2。
第14届IMO
1.
设n>4，求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。
3.m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。
（2m）!
（2n）!
m!
n!
（mn）!
4.
，
又已知f不恒等于0且|f（x）|
6.
1.OP1,OP2,...,OP2n1是平面上的单位向量，其中点P1,P2,...,P2n1都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证
|OP1...OP2n
1|>=1.
2.问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。
3.
一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？
5.G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f（x）=axb，其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质：
如果f,g都属于G，则fg（x）=f（g（x））也属于G；
-1?
对任何f属于G，存在一个实数xf使得f（xf）
=xf成立。
求证：
存在实数M使得f（M）=M对所有G中的函数f都成立。
6.a1,a2,...,an是正实数，实数q满足0
a.ai
b.q
c.b1b2
...bn
第16届IMO
1.三个玩家玩游戏。
在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。
在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。
当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。
假设游戏至少进行了两轮以上。
在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。
又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。
试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？
2.
试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑C（2n1,2k1）23k，
上式中的求和是k从0到n，符号C（r,s）表示二项式系数r!
/（s!
（r-s）!
）。
4.沿着一个8x8象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。
求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。
5.a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：
a/（abd）b/（ab
c）c/（bcd）d/（acd）
设P（x）是一个指数d>0的整系数多项式，n是P（X）=1或-1的不同整根的个数，则有
n
2
第17届IMO
1.已知x1>=x2>=
...>=xn,以及y1>=y2>=...>=yn都是实数，求证
若z1,z2,...,zn是yi的任意排列则有
∑（xi-yi）2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。
2.令a1=1，存在无穷多个an可以写成an=raisaj的形式，其中r，s是正实数且j>i。
3.任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。
求证角QRP是直角并且QR=RP。
4.
判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。
6.
rII.对某一正整数n及所有实数t、x、y有P（tx,ty）=tP（x,y）成立；对所有实数x、y、z有
P（yz,x）
P（zx,y）P（xy,z）=0;
III.
P（1,0）=1。
n
第18届IMO
1.
令P1（x）=x2-2,Pi1=
P1（Pi（x））,i=1,2,3,...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn（x）=x的所有根都是互不相同的实数。
3.一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。
4.
其中i=1,2,...,n。
求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1,
x2,...,xm）使得|xi|
6.
u0=2,u1=5/2,un1=un（un-12-2）-
u1，n=1,2,...
求证
[un]=2（2n-（-1）n）/3,
其中[x]表示不大于x的最大整数。
第19届IMO
1.在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。
2.
3.n>2是一给定整数，Vn是所有1kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn中的一个数m，如果不存在Vn中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。
求证：
Vn
中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn中不可分解数的乘积。
（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。
）
4.定义f（x）=1-acosx-bsin
x-Acos2x-Bsin2x，其中a,b,A,B都是实数常量。
如果f（x）>=0对所有实数x都成立，求证
ab
5.a,b是正整数，设a2b2除以ab得到商为q，余数是r。
试求出所有的正整数对（a,b）使得q2r=1977。
6.f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数，求证如果f（n1）>f（f（n））对所有正整数n都成立，则f（n）=n对每个n都成立。
2222
第20届IMO
1.m、n都是正整数且n>m。
如果1978m和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使mn达到最小的m与n。
2.P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹。
3.两不交集合f
（1）,f
（2）,f（3）,
...和g
（1）,g
（2）,g（3）,...的并集是全部的正整数，其中f
（1）
4.等腰三角形ABC，AB=AC。
在三角形ABC的外接圆的内部有一与其相切的一个小圆，该小圆又分别与AB、AC相切于P、Q两点。
求证：
线段PQ的中点恰为三角形ABC内切圆的圆心。
5.
某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1,2,...,1978。
求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍。
第21届
IMO
1.m,n
m/n=1-1/21/3-
1/4...-1/13181/1319.
求证：
m可被1979整除。
2.一个棱柱的上底和下底分别是正五边形A1A2A3A4A5、B1B2B3B4B5。
这两个正五边形的每条边以及每个AiBj边都被染上红色或蓝色。
又已知每个边都被着色的三角形（其顶点即这个棱柱的顶点）必有两边着不同色，求证：
上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。
3.平面上的两个圆相交，A是其中一个交点。
现有两质点同时从A出发各自以恒定的速度，同以顺时针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动，在绕过一周之后这两点又同时回到了A点。
求证：
在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。
4.给定一平面k，在这个平面上有一点P，平面外有一点Q，试找出平面k上的所有的点R使得（QPPR）/QR为最大值。
5.试求出所有的实数a，使得存在非负实数x1,x2,x3,x4,x5满足下列关系式：
x12x23x34x45x5=a；
x12x2
3x34x45x5=a
。
6.令A、E是一个正八边形的两相对顶点，一只青蛙从A点开始跳动，除了E点外，从八边形中的其他每一个顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一个。
当它跳到E点时就停止运动。
设an为恰好经过n步跳动以后到达E点的所有可能线路的个数，求证：
a2n-1=0
a2n=（2√2）n-1/√2-（2-√2）n-1/√2。
5555333332
第22届IMO
1.P是三角形ABC内部一点，D、E、F分别是从P点向边BC、CA、AB所引垂线的垂足。
试找出BC/PD
CA/PEAB/PF式达到最小值的所有P点。
2.
设m、n是属于1,2,...,1981的整数并且满足（n-mn-m）=1。
试计算m2n2的最大值。
4.
为何值时，存在一个由n个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元
是其它n-1个元素最小公倍数的因子？
b.n
三个都通过点O的等半径的圆位于一个给定三角形的内部，并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。
求证：
这个三角形的内心、外心、O点三点共线。
6.函数f（x,y），对于任何非负整数x,y都满足f（0,y）=y1,f（x1,0）=
f（x,1）,f（x1,y1）=f（x,f（x1,y））。
试计算f（4,1981）的值。
第23届IMO
1.f（n）是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f
（2）=0,f（3）>0,f（9999）=3333，并对所有m,n有f（mn）-f（m）-f（n）=0或1。
试求出f（1982）。
2.A1A2A3是不等腰三角形，其三边为a1,a2,a3，其中ai是角
Ai的对边，设Mi是边ai的中点，Ti是三角形的内切圆在边ai上的切点，记Si为点Ti关于内角Ai的角平分线的对称点，求证线M1S1,M2S2和M3S3共点。
3.考虑无限正实数序列xn满足x0=1及x0>=x1>=x2>=...，a.求证对每个这样的序列都有存在一个n>=1使得
x02/x1x12/x2
...xn-12/xn>=3.999.
b.
4.n使正整数，求证如果方程x3-3xy2y3=n有关于整数x,y的一个解，则其至少有三个解；当n=2891时再证明这个方程无整数解。
5.正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且AM/AC=CN/CE=r，如果B、M、N共线，试求r的值。
6.设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1,A1A2,A2A3,...,An-1An并且A0与An不重合。
已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于1/2。
求证：
L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。
第24届IMO
1.试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数f，使其满足f（x（f（y））=yf（x）对所有x,y成立，并且当x趋向于无穷大时f（x）趋向于0.
2.圆C1、C2的圆心分别是O1、O2，它们相交于两个不同的点，设A是其中一个交点。
这两个圆的一条公切线切C1、C2分别于点P1、P2，另外一条公切线分别切C1、C2于点Q1、Q2，再设M1、M2分别是P1Q1和P2Q2的中点，求证：
角O1AO2
=角M1AM2。
3.a,b,c是整数，并且它们中的任何两个都没有大于1的公约数。
求证2abc-ab-bc-ca是不能表示成形式xbcycazab的最大整数，其中x,
y,z是非负整数。
4.等边三角形ABC，设集合E是该三角形的所有边界点（即边AB,BC,CA），任意将E分拆成两个不相交的子集合（它们的并集是E），试证明这两个集合中
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