七年级数学下册知识点.docx

七年级数学下册知识点.docx

《七年级数学下册知识点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学下册知识点.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

七年级数学下册知识点

第一章：

整式的运算

单项式

整式

多项式

同底数幂的乘法

幂的乘方

　积的乘方

幂运算同底数幂的除法

零指数幂

负指数幂

整式的加减

单项式与单项式相乘

单项式与多项式相乘

整式的乘法多项式与多项式相乘

　整式运算平方差公式

完全平方公式

单项式除以单项式

整式的除法

多项式除以单项式

一、单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

4、单独一个数或一个字母也是单项式。

5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

7、单独的一个非零常数的次数是0。

8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

9、单项式的系数包括它前面的符号。

10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。

12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

二、多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：

去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

（1）列出代数式：

用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简。

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：

am﹒an=am+n。

4、此法则也可以逆用，即：

am+n=am﹒an。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。

（am）n表示n个am相乘。

2、幂的乘方运算法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（am）n=amn。

3、此法则也可以逆用，即：

amn=（am）n=（an）m。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：

积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=anbn。

3、此法则也可以逆用，即：

anbn=（ab）n。

八、三种“幂的运算法则”异同点

1、共同点：

（1）法则中的底数不变，只对指数做运算。

（2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。

（3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。

2、不同点：

（1）同底数幂相乘是指数相加。

（2）幂的乘方是指数相乘。

（3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。

九、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：

am÷an=am-n（a≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：

am-n=am÷an（a≠0）。

十、零指数幂

1、零指数幂的意义：

任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：

a0=1（a≠0）。

十一、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：

注：

在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十二、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即：

m（a+b+c）=ma+mb+mc。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。

相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。

在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab。

十三、平方差公式

1、（a+b）（a-b）=a2-b2，即：

两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：

a2-b2=（a+b）（a-b）。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

（a+b）•（a-b）的形式，然后看a2与b2是否容易计算。

十四、完全平方公式

1、

即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。

3、掌握理解完全平方公式的变形公式：

（1）

（2）

（3）

4、完全平方式：

我们把形如:

的二次三项式称作完全平方式。

5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。

6、完全平方公式可以逆用，即：

十五、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：

一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

用字母表示为：

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。

第二章　平行线与相交线

余角

余角补角

补角

　　角两线相交对顶角

平行线与相交线

同位角

三线八角内错角

同旁内角

平行线的判定

　平行线

平行线的性质

　尺规作图

一、余角与补角

1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

5、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）

则

（同角的余角（或补角）相等）。

（2）

且

则

（等角的余角（或补角）相等）。

6、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。

二、对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。

3、对顶角的性质：

对顶角相等。

4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。

5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。

三、同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：

两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

四、六类角

1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。

2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。

3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。

4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。

五、平行线的判定方法

1、同位角相等，两直线平行。

2、内错角相等，两直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。

4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。

六、平行线的性质

1、两直线平行，同位角相等。

2、两直线平行，内错角相等。

3、两直线平行，同旁内角互补。

4、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：

在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。

七、尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

（1）在两点间连接一条线段；

（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5、熟练掌握以下作图语言：

（1）作射线××；

（2）在射线上截取××=××；

（3）在射线××上依次截取××=××=××；

（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；

（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；

（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；

（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；

6、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。

（1）画线段××=××；

（2）画∠×××=∠×××；

第三章　生活中的数据

单位换算

科学记数法

近似数

生活中的数据精确数

有效数字

精确度

统计图（象形统计图）

一、单位换算

1、长度单位：

（1）百万分之一米又称微米，即1微米=10-6米。

（2）10亿分之一米又称纳米，即1纳米=10-9米。

（3）1微米=103纳米。

（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109纳米。

2、面积单位

（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018纳米2。

3、质量单位

（1）1吨=103千克=106克。

二、科学计数法表示绝对值小于1的较小数据

1、用科学计数法表示绝对值小于1的较小数据时，也可以表示为a×10n的形式，其中1≤〡a〡<10,n为负整数，n等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前面的一个零）的相反数。

三、近似数与精确数

1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。

2、近似数是指用测量或统计的方法、四舍五入、估计等得到的数。

3、近似数产生的原因有：

（1）由于测量工具和测量方法的局限性不可能得到物体的准确值；

（2）有些事件也不可能或没有必要得出它的精确值。

4、近似数a的真值的范围大于或等于a与它的最末位的半个单位的差而小于a与它的最末位的半个单位的和。

例如近似数1.60的真值范围为大于或等于1.595而小于1.605。

四、有效数字

1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。

2、对于科学计数法型的近似数，由a×10n（1≤〡a〡<10）中的a来确定，a的有效数字就是这个近似数的有效数字。

与×10n无关。

3、对带有记数单位的近似数，由数字来确定，与单位无关。

五、近似数的精确度

1、近似数的精确度是近似数精确的程度。

2、近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。

4、对于单独一个近似数，根据最后一位有效数字在该数中所处的位置直接确定精确度。

5、对用科学记数法表示的数应注意将其还原为原来的数后，再确定其精确度。

6、对带单位的近似数，也要还原为原来的数后再确定其精确度。

7、对近似数进行取舍时需要注意一般形式与科学记数法形式。

六、统计图（表）

1、条形统计图：

能清楚地表示出每个项目的具体数目。

2、折线统计图：

能清楚地反映事物的变化情况。

3、扇形统计图：

能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

4、象形统计图：

能直观地反映数据之间的意义。

5、从统计图中获取更多的有用信息，应做到以下几步：

（1）审清统计图横轴和纵轴代表的意义，若是象形统计图则要看准每个形象图标代表什么意义；

（2）把各部分的数据找出来；

（3）以图中读出的信息作为参考（已知），推测相关量的变化趋势或规律；

（4）对需要计算后回答的信息要准确地进行计算。

6、制作象形统计图

（1）象形统计图比一般的统计图更直观、更简洁生动，极富有个性和情感，但准确性差一些。

（2）制作象形统计图没有固定的格式，需要具有较强的想像力和创造力。

（3）制作象形统计图：

一是要明确制作的统计图的特点；

二是要结合具体问题，分析数据特点和规律，通过设计简明、直观、形象的统计图，加深对问题的理解。

第四章　概率

必然事件

事件不可能事件

不确定事件

概率等可能性游戏的公平性

概率的定义

概率几何概率

设计概率模型

一、事件

1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2、必然事件：

事先就能肯定一定会发生的事件。

也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。

3、不可能事件：

事先就能肯定一定不会发生的事件。

也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事件：

事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。

5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为100%，则为必然事件；若事件发生的可能性为0，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在0∽1之间，则为不确定事件。

6、简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确定事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。

7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：

（1）用语言叙述可能性的大小。

（2）用图例表示。

（3）用概率表示。

二、等可能性

1、等可能性：

是指几种事件发生的可能性相等。

2、游戏规则的公平性：

就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。

（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是不公平的；

（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。

（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样即可。

三、概率

1、概率：

是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。

2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；

3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；

4、不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作0

5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。

6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。

7、概率的计算：

（1）直接数数法：

即直接数出所有可能出现的结果的总数n，再数出事件A可能出现的结果数m，利用概率公式

直接得出事件A的概率。

（2）对于较复杂的题目，我们可采用“列表法”或画“树状图法”。

四、几何概率

1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率：

（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；

（2）然后计算出各部分的面积；

（3）最后代入公式求出几何概率。

五、设计概率模型（游戏或事件）

1、设计符合要求的简单概率模型（游戏或事件）是对概率计算的逆向运用。

2、设计通常分四步：

（1）首先分析设计应符合什么条件；

（2）其次确定选用什么图形表示更合理；

（3）然后再按一定要求和操作经验来设计模型；

（4）最后再通过计算或其他方法来验证设计的模型是否符合条件。

第五章　三角形

三角形三边关系

　三角形三角形内角和定理

角平分线

三条重要线段中线

高线

全等图形的概念

全等三角形的性质

SSS

三角形SAS

全等三角形全等三角形的判定ASA

AAS

HL（适用于RtΔ）

全等三角形的应用利用全等三角形测距离

作三角形

一、三角形概念

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。

3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；

4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。

二、三角形中三边的关系

1、三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b

2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：

（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；

（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。

3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即

.

三、三角形中三角的关系

1、三角形内角和定理：

三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类：

（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：

直角三角形的性质：

直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。

都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。

6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。

四、三角形的三条重要线段

1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

2、三角形的角平分线：

（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

3、三角形的中线：

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

4、三角形的高线：

（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。

（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

区　　别

相　　同

中　　线

平分对边

三条中线交于三角形内部

（1）都是线段

（2）都从顶点画出

（3）所在直线相交于一点

角平分线

平分内角

三条角平分线交于三角表内部

高　　线

垂直于对边（或其延长线）

锐角三角形：

三条高线都在三角形内部

直角三角形：

其中两条恰好是直角边

钝角三角形：

其中两条在三角表外部

五、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：

全等图形的形状和大小都相同。

3、全等图形的面积或周长均相等。

4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。

5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。

6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。

六、全等分割

1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。

2、对一个图形全等分割：

（1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点；

（2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。

七、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。

2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边、对