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夯实基础
夯实基础，培养能力；加强研究，优化教学
夺取2010年初中数学毕业学业考试的全面胜利
一、把握方向，明确目标，准确定位
初中数学毕业学业考试是对中小学数学教育实施评价的一个重要手段，对基础教育课程改革有着重要的、直接的影响。
益阳市初中数学毕业学业考试是基于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）的学业水平考试，同时又是升学考试，即两考合一。
考试的目的是全面、准确地评估初中毕业生达到国家课程标准所规定的毕业水平的程度，且考试的结果既是确定学生是否达到义务教育阶段数学学科毕业标准的主要依据，也是各类高中学校招生的重要依据之一。
因此，命题的依据是《课标》及当年的《湖南省初中毕业数学学业考试标准》（以下简称《考标》）和《益阳市初中毕业数学学业考试补充说明》（以下简称《考试说明》）。
命题时也将考虑益阳市的数学教育的实际情况。
试卷的命制充分发挥各种题型的功能，使试卷有利于考生展示自己在数学课程学习中所取得的成就，有利于落实《课标》所倡导的数学学习方式与数学教学方式，有利于推进课程改革，推进素质教育，并充分考虑试卷的效度、信度、区分度、难度、教育性等要素。
因此，我们要认真研究《课标》、《考标》、《考试说明》及教材，才能把握方向，明确目标，定位准确。
下面以2009年初中数学毕业学业考试试题为例进行分析
1、命题
2009年初中数学毕业学业考试试题全为原创题或教材题改编，通过对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”“实践与应用”等四个领域来考查学生知识与能力、过程与方法、情感态度和价值观等三个维度的达成情况。
对每一道试题从内容到叙述、再到标点符号、字体的使用、排版等，我们都是反反复复研究，一丝不苟，精益求精，同时尽可能使试题不落俗套，富有创意。
2、试卷整体结构
按照《课标》及《考标》和《考试说明》的要求和规定，结合益阳市数学教学的实际情况，数学毕业学业考试采用闭卷、笔试的形式，全卷满分为120分，考试时间为90分钟，试卷设置试题卷和答题卡两部分，在题型结构、内容分布、层次要求等方面与往年保持基本稳定，但因考试时间减少，故相应减少了题量。
（1）题型结构与分值比例（见表1）
表1：
题型结构与分值比例
题型
选择题
填空题
解答题
合计
题量（个）
8
6
6
20
分值（分）
32
24
64
120
试卷严格控制了题量和阅读量，全卷约2400字，设计图表15个，有效减轻了学生在考试中不必要的负担，保证了学生的答题时间。
同时，主、客观题的比例适中，其中客观题占46.7％，主观题占53.3％，解答题中包含了代数计算题、几何计算题、几何证明题、作图操作题、应用性问题，探究性问题等多种题型。
（２）内容分布与分值比例
① 试题涵盖了《课标》所有一级和二级知识点，其中“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”“实践与应用”（其中实践与应用渗透在前面三个领域之中）的分值比例见右图。
② 试卷题目与内容的关系见表2
表2益阳市2009年数学中考试卷题目与内容的关系表
题型
分布
考查目标
选择题
（8个）
填空题
（6个）
解答题
（6个）
分数合计（占百分比）
数
与
式
有理数、实数
1（4分），2（4分）
9（4分）
15（2分）
27分
（22.5%）
61分
（50.8%）
代数式、整式、因式分解、分式、二次根式
6（4分）
12（2分）
15（7分）
方
程
与
不
等
式
一元一次方程（组）、一元二次方程
19（2分）
20（2分）
16分
（13.3%）
二元一次方程（组）
18（5分）
分式方程
一元一次不等式（组）
7（2分）
18（5分）
函
数
平面直角坐标系、函数
5（4分）
10（2分）
20（2分）
18分
（15.0%）
一次函数
20（2分）
反比例函数
10（2分）
二次函数
20（6分）
图
形
的
认
识
与
证
明
点、线、面、角，相交线与平行线
8（1分）
16（2分）
31分（25.8%）
41分（34.2%）
三角形
16（7分）
19（2分）
20（2分）
四边形、多边形
19（5分）
圆
7（2分）
11（4分）
尺规作图，动手操作
12（2分）
投影与视图
4（4分）
图
形
的
变
换
轴对称，平移，旋转
13（2分）
19（3分）
10分
（8.4%）
图形的相似，锐角三角函数
8（3分）
13（2分）
统计概率
统计知识
3（4分）
17（7分）
11分（9.2%）
18分（15.0%）
概率初步
14（4分）
17（3分）
7分（5.8%）
合计
32分
24分
64分
120分
（３）试题来源与考点内容见表3
表3试题来源与考点内容
题号
题型
试题来源
考点内容
分值
难度预估
1
选择
原创
实数（绝对值的应用）
4
0.95
2
选择
原创
幂的运算
4
0.85
3
选择
原创
统计
4
0.85
4
选择
原创
视图
4
0.80
5
选择
教材八（上）改编
函数的图像表示
4
0.91
6
选择
原创
二次根式
4
0.80
7
选择
原创
圆的位置关系及不等式解集的表示
4
0.70
8
选择
原创
三角函数的应用
4
0.75
9
填空
原创
科学计数法
4
0.95
10
填空
原创
反比例函数与一次函数的图像
4
0.75
11
填空
原创
圆的切线性质及垂径定理
4
0.70
12
填空
原创
根据图形找规律
4
0.70
13
填空
原创
图形的平移及三角函数定义
4
0.65
14
填空
原创
统计（概率的应用）
4
0.70
15
计算
原创
整式运算，因式分解
9
0.72
16
解答
教材八（下）改编
平行线，三角形内角和，直角三角形性质
9
0.70
17
解答
原创
统计（频数，频率）及概率
10
0.85
18
解答
原创
二元一次方程组，一元一次不等式组的应用
10
0.60
19
解答
原创
轴对称、全等三角形的应用及勾股定理的应用
12
0.42
20
解答
原创
二次函数的应用，相似三角形，一元二次方程
14
0.30
3、试题的主要特点
（１）严格把握命题标准，体现一考两用特征
试题严格按照《课标》、《考标》及《考试说明》的要求命制，充分考虑了益阳市的初中数学教育教学实际和初中学生的认知特点，无论是从试题的内容到试题的叙述，还是从试题中体现的数学思想到试题的背景材料，都力争对每一个学生都是公平的。
试题难度适中，比较客观地反映出了初中毕业生达到国家课程标准所规定的毕业水平的程度，同时也有一定数量的区分度较高的试题（如第7、13、16、19、20题），整卷得分标准差达28.7，有利于各类高中学校的招生选拔。
（２）注重对基础知识、基本技能与基本数学思想方法的考查，尤其突出了对主干知识及思想方法中的通性通法的考查
试题注重对初中阶段学生必须掌握的基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。
知识点覆盖广，突出了对“数与式”、“方程与不等式”、“函数及其图象与性质”、“图形的认识与证明”、“统计知识”等主干知识的考查，具体情况见“试卷题目与内容关系表”。
试卷从不同角度设计试题，对思想方法中的通性通法进行了全方位的重点考查，如第5、7、10、19、20题中的数形结合思想、第18、19、20题中的方程思想、第5、8、10、20题中的函数思想、第20题中的待定系数法等，至于转化与化归思想是随处可见。
（３）关注时代热点与地方特色，体现数学的应用价值
试题关注社会热点与地方特色，在学生熟悉的情境中命制试题，体现数学的应用价值，在考试评价中实现数学的教育功能，这已成为益阳数学试题的特色之一。
如第3、6、8、9、14、17、18题等都是发生在学生身边的数学问题，如第9题具有明显的地方特色。
（４）试卷设计难易层次分明，尝试多点压轴
整套试卷中，从整体上由易到难，层次分明。
选择、填空、解答题三大题型内部又由易到难，层次分明。
容易题考查考生最基本的数学知识和技能，使数学低水平层次考生也有很多得分的机会，体现了以人为本的教育理念。
较难题考查考生综合性水平的数学思维能力和学习潜能，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的机会。
各题的难度分布情况见后面“答卷抽样分析中的‘答题情况分析’”。
试卷尝试多点压轴，在不同题型中，设置整卷压轴点。
如第7题、13题、19题第
（2）问、20题第（3）问等都是试卷中的压轴点，最后的综合题保持“入门容易，深入较难”的特点。
这样做有利于老师以科学、严谨、务实的态度进行教学，避免在单纯的知识点上猜题、押题等情况发生，使得整卷具有较高的的信度与效度。
（５）重视回归课本，注重试题的改革创新，重视考查学生在新情景中解决问题的能力及潜在的学习潜能
本试卷中第5、16题都是对教材原题进行改编而成的，第13题的图案来源于课本（八册下P126），这样回归课本能将学生从题海中解救出来，减轻学生的学习负担。
本试卷中除第5、16题外，其余均为原创题，试题情景新颖，特别突出的是第19、20题，能考查学生在新情境中解决问题的能力及潜在的学习潜能。
（６）整卷注意发挥各种题型及数学内容联系的相互校正功能，有较好的自洽性。
试题设计考虑了相互校正随机测量误差的功能，试卷确保同一水平考试结果成绩一致，试卷逻辑结构合理，各题目标不自相矛盾，教育导向不自相矛盾，各题围绕一个核心观点展开。
不少题目间具有相互校正的功能。
如第5、10、20题都是考查函数的题目，但第5题是考查函数的概念与图象，第10题是考查反比例函数与一次函数的图象与性质，第20题是考查一次函数、二次函数的解析式的求法。
本卷利用这些题目考查知识间的内在联系，逐步展开和深入地对学生进行考查，相关题目的相互校正功能较为鲜明。
４、考试效果。
考试效果较好，得到不同层次考生和学校的认可。
认为试卷较好地考查了《课标》所规定的数学核心内容，注重对能力的考查，同时也符合本市数学教学实际，有利于各类高中的选拔，对初中的数学教学有较好的导向作用。
5、答卷情况分析
今年评卷是集中进行网上评卷。
试卷分析数据由网上评卷协作单位提供。
数据显示，合格率、优秀率、平均分等各项指标均基本达到命题的设计要求。
命题严格控制好了难度，确保了评价信度与效度。
（1）答卷基本情况
据数据分析（试卷分析数据由网上评卷协作单位提供），平均分为70.9分，以分数段为单位进行统计（5分为一个分数段），得分众数为80～85分，得分平均中位数为70～75分；得分极差为119分（低分0分除外），整卷得分标准差为28.7。
及格率为56.7%（72分为及格分数），优秀率为22.5%（96分为优秀分数）。
数据显示，整体两极分化较为严重，并且城镇学生对《课标》所规定的教学核心内容、基本能力和基本思想方法掌握程度优于乡村中学的学生，且差异程度较大。
（2）整卷得分分段人数分布
数据显示，5分段人数呈现偏正态分布，115分以上高分段人数占到4.5%，同时，30分以下的低分群占到了9.2%，整卷具有较高的区分度。
（说明：
图中横坐标5指0～5分数段，25指20～25分数段，……）
（3）试题难度分布
数据显示，尝试多点压轴的设计思路得到成功体现，各种题型的压轴点基本达到了预期目标，如选择题第7题、填空题第13题、解答题第19题、20题的得分率分别为0.48、0.57、0.35、0.21，较好地实现了试卷的选拔功能。
（4）各知识板块、题型分类统计情况（见表4）
表4：
各知识板块、题型分类统计情况
项目
数与代数
空间与图形
统计与概率
综合与探究
学科与应用
客观题
主观题
卷面分
61
41
18
34
40
56
64
平均分
37.8
19.2
13.9
11.5
22.5
40.5
30.4
得分率﹪
62.0
46.8
77.2
33.8
56.3
72.3
47.5
（5）答题情况分析
在评卷过程中，我们采用随机抽样（样本150份）对学生答题情况作了统计分析，归纳出一些典型错误并分析导致失误的主要原因。
每题的得分率（填空题各小题由样本得出）由网上评卷协作单位提供。
第1题，得分率为0.93，说明学生对实数的绝对值的认识不存在问题，极少数学生混淆了绝对值与倒数的概念。
第2题，得分率为0.83，出错的主要原因是混淆了幂的运算法则。
第3题，得分率为0.84，出错的主要原因是对平均数和众数的概念不清楚及计算出错。
第4题，得分率为0.82，出错的主要原因是学生对几何体的三视图与几何体的对应关系没有弄清楚。
第5题，得分率为0.92，出错的主要原因是不能从函数图象中提取相关信息，并将它转化为实际问题的结论。
第6题，得分率为0.70，出错的主要原因是学生对含字母的式的运算能力较差，没有注意实际问题中“U”的非负性。
第7题，得分率为0.48，出错的主要原因是不能正确地由两圆的位置关系转化为它们的半径与圆心距的关系，用数轴表示不等式的解时未注意端点的取舍。
本题得分太低,表明学生解简单学科内的综合题的能力较差。
第8题，得分率为0.67，出错的主要原因是不能正确运用三角函数解直角三角形。
第9题，得分率为0.92，出错的主要原因是没有数清楚“0”的个数。
第10题，得分率为0.74，出错的主要原因是没有发现A与B关于原点对称，说明学生对中心对称图形的直观感知能力不强，对一次函数、反比例函数的图象特征掌握不牢，坐标书写错误，如将坐标写成[2,-1]或（2－1）等。
第11题，得分率为0.59,出错的主要原因是对圆的切线的性质与含30°角的直角三角形的性质等基础知识掌握不好，不能灵活运用。
第12题，得分率为0.61，出错的主要原因是不能正确找到规律并进行归纳，说明学生的观察能力与归纳能力较弱，同时列代数式也有一定的困难。
第13题，得分率为0.57，出错的主要原因是不能利用三角函数的定义将问题转化为直角三角形中边的比值，辅助线作不出来，化归思维能力不强。
第14题，得分率为0.58，出错的主要原因是不能正确理解概率的含义，逆向思维能力不强。
第15题，得分率为0.60，出错的主要原因是不能正确地进行因式分解、约分、去括号，也有的是数的运算出错；零分率较高说明学生对式的运算能力较差。
第16题，得分率为0.54，出错的主要原因是平行线的性质掌握不牢，解题思路不清晰，对用三角函数解直角三角形或直角三角形的性质掌握不好，数学表达能力不强。
第17题，得分率为0.82，得分较高，说明学生对统计概率等基础知识掌握得较好，但也有少数学生不能从图表中获取相关的信息。
第18题，得分率为0.51，出错的主要原因是列不出方程组与不等式，同时对计算出的结果不能作出符合实际情况的解释，说明学生将实际问题抽象成数学问题及根据数学结论作出符合实际问题的解释的能力不强。
第19题，得分率为0.35，出错的主要原因是不能正确理解并运用轴对称知识去解题，不能将问题进行转化，找不到可利用的直角三角形BGC，说明学生的观察能力与分析问题的能力太弱，有不少学生不能正确求解一元二次方程，未注意到x为正数。
第20题，得分率为0.21，本题零分太多，学生不能快速准确地解答第一问（用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式），说明学生的基础知识掌握不牢，同时心理素质较差，不少学生看到本题是最后一题，就选择了放弃（有的学生对最后一题连题目都不看）。
本题阅读量较大，而学生从中获取信息的能力不强，尤其是对新定义的概念不能正确理解及运用，探索问题的能力欠缺，学生综合运用数学知识的能力亟待提高。
二、对《考标》及《补充说明》部分内容的解读
1、具体内容与考试要求细目列表（部分）（见表5）
表5：
具体内容与考试要求细目列表（部分）
具体内容
知识技能要求
过程性要求
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
乘法公式及计算
√
因式分解的概念
√
用提公因式法、公式法（直接用公式不超过2次）进行因式分解
√
一元二次方程及其解法
√
二次函数及表达式
√
√
二次函数的图象及性质
√
确定二次函数图象的顶点、开口方向及其对称轴
√
用二次函数解决简单实际问题
√
用二次函数图象求一元二次方程的近似解
√
注：
表中的
（1）、
（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）分别表示《考标》中的：
了解、理解、掌握、运用、经历（感受）、体验（体会）、探索。
由上表可以看出，利用配方法将二次函数的表达式化为y=a（x-h）2+k，再利用（x-h）2的非负性得出y=a（x-h）2+k的最值是与考纲相符的。
2、对《补充说明》的说明
《补充说明》:
一、考试形式：
采用闭卷笔试形式。
二、时量及分值：
考试时量90分钟，卷面满分120分。
三、试卷结构：
数学学业考试试卷设置试题和答题卡两部分，实施网上阅卷。
考生解答结果或过程填入答题卡中相关答题栏对应题号的答题区域内。
《考标》的部分内容
三、试卷结构和考试形式
（一）试卷结构
（1）填空题：
8-10小题，占分比例约为20%；
（2）选择题：
8-10小题，占分比例约为20%；
（3）解答题：
8-10个小题，占分比例约为60%，解答题包括计算题、证明题、应用性问题、实践操作题、拓展探究题等不同形式。
命题时应设计结合现实情境的开放性、探索性问题，杜绝人为编造的繁难计算题和证明题。
（二）试题难度
试卷整体难度控制在0.75左右，容易题约占70%，稍难题约占15%，较难题约占15%。
（三）试题比例
1.各能力层级试题比例:
了解约占10%，理解约占20%，掌握约占65%，灵活运用约占5%.
2.各知识板块试题比例:
数与代数约占50%，空间与图形约占35%，统计与概率约占15%，考试内容覆盖面要求达到《课程标准》规定内容的80%。
（四）考试形式
初中毕业数学学业考试采用闭卷笔试形式。
各地应重视现代信息技术在数学考试形式改革中的作用，有条件的地方应积极利用现代信息技术设计考试形式。
由上可以看出，益阳的初中数学毕业学业考试的题量因时间的原因比《考标》规定的要少，但各部分的比例与《考标》基本一致，请参考样卷。
由于实施网上阅卷，对学生的答题要求比较高，要认真对学生进行答题指导及模拟训练。
三、教学建议与反思
1、夯实基础，培养能力
（1）求真务实，注重“三基”
在教学中，教师必须切实抓好基本概念及其性质、基本能力、基本数学思想方法的教学，让学生真正理解和掌握，并形成系统的知识网络结构。
阅卷情况显示，一部分学生对基本的数学概念，如“绝对值”、“倒数”等都不能准确地理解和把握，该得的分得不到。
会做的书写不到位、不规范，如将坐标写成“[2，-1]”等。
计算能力太弱，如试卷中的第15题“15．先化简，再求值：
，其中
”，该题得分率仅为0.63，大大出乎命题者的意料之外，还有很大一部分学生对数与式的计算、解方程、解不等式及待定系数法等没有过关，综合解题能力之低令人难以想象。
（2）注重学生数学能力培养
《考标》明确指出：
数学学业考试要重视对学生学习数学的结果与过程的评价，重视对学生数学思考能力和解决问题能力的发展性评价，重视对学生数学认识水平的评价。
我们的中考题也较好地体现了这一要求，如：
第7、13、14、19、20题等。
培养学生的数学能力主要是为学生创造一个发展能力的空间，让学生在课堂上自主、合作、探究学习就是一种好方法。
如：
教师在教学中，加强开放性、探索性问题的教学，就能培养学生发散思维能力；让学生通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想合理性的方法，就能培养学生的归纳能力及思维的严密性。
（3）用好教材，联系实际，注重应用
试卷中的很多问题直接来源于教材，植根于教材，如第5、16题都是对教材原题进行改编而成。
教材是数学课程标准的直接反映，是基本知识、基本技能、基本数学思想的直接载体。
教师应当用好教材、活用教材。
在充分理解教材编写意图、教学要求和教学理念的基础上，根据学生实际，从学生的已有经验出发，创设学生熟悉的教学情境，挖掘学科内各知识点之间的内在联系,加强学科间的相互渗透,加强数学与生活的联系，对教学内容进行适当的重组、补充和加工，创造性地使用教材。
从试题中可以看出，对实际应用问题的考查是很重视的,在教学中，教师要培养学生建立数学模型的能力，注意理论联系实际，形成应用数学的意识。
2、加强研究，优化课堂
（1）深化课改，改变课堂，提高能力
积极开展教研教改，改革课堂结构，坚决抛弃“满堂灌”、“填鸭式”教学法；反对不顾学生的反映，一讲到底，将老师变成一本活的参考书，将题目的正确结论一一呈现出来。
我认为首先应让学生去尝试、去探索，了解他们解题的困难是什么，指导他们去寻找克服困难的方法，而不是直接帮他们排除困难。
如有的学生对比较抽象的题目看不懂，就不想仔细去看，我们就不能直接解释题意，而是鼓励他多看几遍（让他们明白“书读百遍，其义自见”的道理），如果还不行，就让他们尝试用特殊去研究一般，将抽象问题具体化等。
老师们要多用自主、合作、探究的教学方式，把数学知识的教学设计为学生再发现、再创造的过程。
改变学生被动接受知识、简单记忆与模仿的现状，让他们主动观察、思考，去寻求解决问题的方法。
在解决问题中培养归纳、抽象、推理等数学思维能力，同时还要养成主动提出问题的习惯，不要将解题方法变成解题的信条，将学生的思维框死。
如：
我听某老师讲用加、减法解二元一次方程组时，老师对一学生消去常数项求解就没有给予充分的肯定，而是再一次强调用加、减法要消去的目标是“x或y”。
（2）整体规划，重在落实
整个初三数学教学以“明、暗”两条线进行整体规划。
明线是：
按课本章节编排的顺序进行复习（第一轮复习），然后进行专题讲座、冲刺训练与模拟考试（第二轮复习）。
暗线是：
提高学生的解题能力与数学素质，达到中考要求。
这是每一节课、每一次训练的主要目的，它贯穿于整个初三的教学工作。
第一轮复习重在全面铺开，打好基础，注重知识点的掌握落实，各知识点之间的联系，进行发散性思维训练（如采用一题多解等教学方式），提高学生的解题能力。
第二轮复习重在形成知识网络，查漏补缺，提高综合解题能力，侧重进行集中性思维能力的训练，如：
对常规题的解法进行归纳整理（可以采用多题一解等教学方式），对各种解题方法的优劣及适应范围做到心中有数等。
解题方法的总结、解题能力与数学素质的提高应贯穿整个初三教学的始终。
这一条更应时刻铭记在心，在备课中应有计划地落实到每一节课中去，这是初三教学的重点，也是难点。
集体备课时，对本周中应重点掌握的解题方法进行研究，如待定系数法就要研究它的载体情况，研究如何教才能使学生更好地掌握，研究用什么方法来检测
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