高中数学人教选修11课件12充分条件与必要条件.docx
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高中数学人教选修11课件12充分条件与必要条件
充分条件与必要条件
知识点一
在物理中，我们经常遇到这样的电路图:
问题1：
图中A开关闭合时B灯一定亮吗?
提示：
一定亮.
问题2：
B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示：
不一定，还可能是C开关闭合.
［导入新知］
充分条件与必要条件
真是”
Jg则奇题
"命
假是则勤题
出系推关
-
件条分-充
的是
P
TTT二.一
系关
虫一的曰『
件条要5
［他解疑瑋】
1.P是q的充分条件是指“P成立可充分保证g成立，但是如果没有p，g也可能成立”•
2.g是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若g不成立，则p—定不成立”；但即使有g成立，卩未必会成立.
泡B亮，开关A—定闭合吗?
提示：
一定闭合.
问题2：
开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题的
结论©你能判断p,g之间的推出关系吗?
提不:
poq.
［导入新知］
充要条件
如果既有PW,又有gp,记作上竺_・则P是？
的充分必要
条件，简称充要条件.
［祀解疑碓］
P是g的充要条件时，g也是P的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件？
是等价的，如果卩和g是两个命题，则这两个命题是等价命题.
［例1］判断下列各题中卩是g的什么条件.
⑴在AABC中，p：
A>B9qzBC>AC；
（2）p：
x>l,qzx2>l；
（3）p：
（a—2）（a—3）=0,q：
a=3；
a
（4）p：
a方Vl・
［解］⑴由三角形中大角对大边可知，若A>B,贝I）BC>AC；反之,若则A>B.因此，p是g的充要条件.
（2）由兀>1可以推出x2>l；由x2>l,得x<-l,或x>l,不一定有x>l.因此，p是g的充分不必要条件.
（3）由（a—2）（a—3）=0可以推出a=2,或a=3,不一定有”=3；由a=3可以得出@一2）（“一3）=0.因此，p是g的必要不充分条件.
（4）由于a1；
当方>0时，彳<1,故若不一定有彳VI；
当a>0,方>0,时，可以推出ab.
因此P是q的既不充分也不必要条件.
［类题通法］
充分、必要、充要条件的判断方法
判断P是g的什么条件，其实质是判断“若卩，则及其逆命题“若g,则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则P是g的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是彳的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用.
［活学活用］
指出下列各组命题中p是q的什么条件.
（2）p：
（x—l）2+（y—2）2=0,q：
（x—l）（y—2）=0.
解：
（I）'••四边形的对角线相等片四边形是平行四边形,
四边形是平行四边形冷四边形的对角线相等，
:
.p是q的既不充分也不必要条件.
（2）V（x-1）2+（y-2）2=0=>x=1且j=2=>（x-l）-（y-2）=0,
W（x-l）（y-2）=0#>（x-l）2+（y-2）2=0,
•'•p是q的充分不必要条件•
［例2］试证:
一元二次方程ax2+Z>x+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
［解］⑴必要性：
因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
所以A=b2—4ac>09XiX2=^<0（Xi，七为方程的两根），所
以GCV0.
⑵充分性：
由“cVO可推得A=b2—4ac>0及x1x2=|<0（Xi，勺为方
程的两根）.
所以方程ax2+Z>x+c=0有两个相异实根,且两根异号，
即方程ax2+^x+c=0有一正根和一负根.
综上所述，一元二次方程ax2+bx-\-c=^有一正根和一负根的充要条
件是ac［类题通法］
充要条件的证明思路
（1）在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明.在证明时，要注意：
若证明“P的
充要条件是,那么“充分性”是q=p,"必要性”是円;若证明“P是？
的充要条件”，则与之相反.
（2）证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明.
［活学活用］
11
已知兀，丁都是非零实数，且X>J,求证：
的充要条件是
xyxj>0.
证明：
⑴必要性：
由£v；,得!
一fvo,即二^vo,又由X>yt得y—A：
V0,所以xy>0.
（2）充分性：
由巧>0及x>yf得為>身，即
综上所述，的充要条件是xj>0.
xy
［例3］己知p：
—q：
1—fwWxWI+加，且p是g的
充分不必要条件，求实数加的取值范
［解］因为p是g的充分不必要条件,
所以p=>g但g=>/p,
即*1—2WxW10｝是闭1—加WxWl+加｝的真子集,
所以实数血的取值范围为同汝$9｝.
［类题通法］应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合
间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之
间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合
思想的应用.
［活学活用］
已知P={x\a—4是xGg的必要条件，求实数“的取值范围.
解：
由题意知，e={xll所以
a—4W1，a+4M3,
■
解得一1WgW5・故实数"的取值范围是[一1，5]・
）三
I?
]
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯
穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切,
F面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法.
1.定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若P,则
q”与“若©贝V”的判断，根据两个命题是否正确，来确定P与g之间的充要关系.其基本步骤是：
［例1］（广东高考）在AABC中，角A,B,C所对应的边分
别为a,b,g则“aWb”是“sinAWsinB”的（）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.
必要不充分条件
径），得a=2RsinA9b=2RsinB.
aW方o2/?
sin4W2/?
sinBosinAWsinB.
［答案］A
［活学活用］
11
1."sina=y是"cos2a=J的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：
由cos2a=；可得sin2a=|,即sin«—故sincos2么=£的充分不必要条件.
答案：
A
2.等价转化法
等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题
的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.其
基本步骤为:
化简>化简相关条件人、利用互为逆否命题的两个命题的等价性,将判断判更A7与y之间的充要关系转化为判断之间的充要关系卞结逐A根据定义法判断之间的关系
［例2］已知兀，丿为两个正整数,p：
xH2或yH3,g：
x+yH5,则卫是？
的条件.
［解析］締p：
x=2fix=3,締彳：
兀+尸5.可知繍p=＞締彳，而続qnl絲p.所以絲q是繍p的必要不充分条件，故卩是？
的必要不充分条件.
［答案］必要不充分
［活学活用］
2.“加工3”是“I加IH3”
的条件.
答案：
必要不充分
3.集合法
集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关
系来判断充要关系的方法.主要解决两个相似的条件难以进行
区分或判断的问题.其解决的一般步骤是:
［例3］指出下列命题中p是g的什么条件.
⑴p：
（X—l）（x+2）^0,q：
x<2；
（2）p：
x2—2x—8=0,q：
兀=—2或兀=4・
［解］⑴令A={xl（x-l）（x+2）^0}=
{xl-2WxWl}，集合B={xlxV2}・
显然，AB9所以p=>q9但q^p,
即p是？
的充分不必要条件.
（2）令A={xlx2—2r—8=0}={xlx=—2或x=4}={—2,4},
B={x\x=—2或x=4}={—2,4}・
VA=B,:
.poq9即p是g的充要条件.
髻方程宀+1十。
）有-个正根和-个负根的：
分不必要条件是
A.«<0B.小
D.a解析：
丁一元二次方程a/+2x+1=0（。
H0）有一正根和一负根•
由于{a\a<-l}{«1«<0},故选C.
答案：
C
1・给定空间中的直线Z及平面的条件“直线/与平面疣内无数条直
线都垂直”是“直线/与平面rz垂直”的
解析：
直线Z与平面内无数直线都垂直，不能得到直线2丄心因为有可能是直线I在平面«内与一组平行直线垂直.若Z±a,则直线I垂直于«内的所有直线.
答案：
B
2.已知非零向量“，b9c9则“a・b=ivc"是“b=c”的
解析:
Va丄b,a丄c时，a・b=a・c,但方与c不一定相等,
反之,b=ga・b=a・c・答案:
B
3.己知M={jdOVxW3},N={xlOVxW2},那么“aUM”是“aUN”
的条件.
解析：
：
•宙aWMn/aWN,但aWNaaWM,...“aGM”是“aWN”的必要不充分条件•
答案：
必要不充分
4.在平面直角坐标系兀Oy中，直线x+（m+l）y=2-m与直线
zwx+2j=—8互相垂直的充要条件是加=
2（加+1）・2=0O/W=_亍
答案：
-1
5.若p：
x2+x—6=0Mq：
ax+l=0的必要不充分条件，求实数a的值.
解：
p：
x2+x—6=0,即x=2或兀=—3.q：
«x+l=0,当a=0时，方程无解；
1
当“H0时，x=—~.
由题意知p=>/g,qnp,故”=0舍去;当aHO时，应有一严=2或一£=一3,解得a=—£或4=牛
弁鞭冀中靈糕
^AFis中！
•»•
M一篠遢黛社終血弋
罐铮酸加於册琨。
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