命题和几何证明学生版.docx
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命题和几何证明学生版
序号:
01
初中数学备课组
教师:
班级:
初二
日期
上课时间
学生:
学生情况:
主课题:
命题和证明
教学目标:
1.了解演绎证明(证明)的概念,理解定义、命题(真命题、假命题)的概念;
2.掌握命题的结构,会把一个命题写成“如果……那么……”的形式,会指出命题的题设和结论;会判断一个命题的真假;
3.理解公理和定理的概念,会区分定义、命题、公理和定理;
4.体会证明的分析过程,了解证明的表达格式,会按规定格式证明简单命题;
5.掌握证明的方法和表述,从实验几何向推理几何的过渡.
教学重点:
1.命题的概念;
2.判断一个命题的真假;
3.证明的含义和表述格式;
4.证明的方法和表述;
教学难点:
1.将条件和结论不十分明显的命题改写成“如果…那么…”形式;
2.公理.命题和定义的区别;
3.按规定格式表述证明的过程;
4.由较复杂的题设条件得出若干结论,用到多个定理的证明;
5.逆向思维的思考方法.
【知识精要】
1.演绎证明的概念
(1)定义:
从已知的概念.条件出发,依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推导出某结论为正确的过程。
(2)证明几何问题的方法:
①综合法:
若证明A,可证明BCD…由因导果,由已知出发,逐步证得前提成立的必要条件,最后证得结论成立。
②分析法:
有结论逐步追溯到题设的一种方法,要证命题D,可证C,要证明C,可证B;要证B,可证已知条件A。
执果索因,即由结论出发,逐步追溯结论成立的充分条件,最后追溯到题设为止。
2.定义.命题.真命题及假命题的概念
(1)命题:
判断一件事情的句子叫做命题,如“两直线平行,同位角相等。
”
其中判断为正确的命题叫做真命题;判断为错误的命题叫做假命题。
(2)证明一个命题是真命题的步骤:
①根据题意作出图形,并在图上标出必要的字母或符号;
②根据题设和结论,结合图形,写出“已知”和“求证”;
③经过分析,找出由已知推出结论的途径,写出证明的过程。
3.公理和定理的概念
(1)公理:
人们在实践中反复验证过的,公认的,不需要加以证明也无法证明的命题。
公理是不证自明的真理,无须证明,如“两点之间,线段最短”。
(2)定理:
定理就是可以证明的正确命题。
具有总结性的特点。
如“直角三角形的两个锐角互余。
”
4.几何证明中常用的证明方法
(1)证两线平行
利用平行线的性质和判定,即证有关的角相等或互补;
(2)证两线段相等
利用①三角形全等的性质和判定;②等腰三角形的性质和判定;
(3)证两角相等
利用①平行线性质;②三角形全等的性质和判定;③等腰三角形的性质和判定;
(4)证两直线互相垂直
利用①垂直定义;②一个三角形中两锐角互余;③等腰三角形“三线合一”的性质。
【精解名题】
基础题:
例1.下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题?
(1)若a
;
(2)三角形的三条高交于一点;
(3)在ΔABC中,若AB>AC,则∠C>∠B吗?
(4)两点之间线段最短;
(5)解方程
;(6)1+2≠3.
例2.指出下列命题的题设和结论,并改写成“如果……那么……”的形式,并指出题设和结论:
(1)在同一个三角形中,等边对等角;
(2)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。
(3)三角形的内角和等于180°;
(4)角平分线上的点到角的两边距离相等。
例3.观察下列这些数,找出它们的共同特征,给以名称,并作出定义:
-52,-2,0,2,8,14,20,…
例4.下列命题中,哪些是真命题,并写出假命题的反例
(1)过已知直线上一点及直线外的一点的直线与已知直线必是相交直线;
(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行
(3)有两个锐角的三角形是锐角三角形;
(4)将一个角分成两个相等的角的射线是这个角的角平分线。
例5.求证:
等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等。
例6.如图:
已知
,AE平分∠DAB,EB平分∠ABC,点E在CD上。
求证:
AB=AD+BC
例7.如图①,AB⊥BD,ED⊥BD,C为BD上的一点,AB=CD,BC=DE.
(1)求证:
AC⊥CE;
(2)若将CD沿DB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,
(1)中结论还成立吗?
请说明理由.
①②③④⑤
提高题:
例8.如图:
在
中,AB=AC,
,BD平分
交AC于点D,
交BD延长线于点E。
求证:
BD=2CE。
例9.如图:
是等边三角形,D为AC上的一点,E为AB的延长线上的一点,CD=BE,DE交BC于点P。
(1)判断线段DP于EP有怎样的数量关系,并证明你的判断;
(2)设等边
的边长为a,当D为AC的中点时,求BP的长。
例10.求证:
有两条边及第三边上的中线分别对应相等的两个三角形全等。
例11:
用反证法:
证明等腰三角形底边上的高与一腰的夹角小于90度。
例12.如图,已知在正方形ABCD中,E是AD的中点,BF=CD+DF,若∠ABE=α°。
求∠CBF的度数。
(用含α的代数式表示)
【巩固练习】
一、填空题
1.下列语句是命题的是()
A.红扑扑的脸蛋;B.你吃过午饭了吗?
C.直角都相等;D.连接A,B两点.
2.以下四个命题中,属于公理的是()
A.两点确定一条直线;B.两条直线被第三条直线所截,同位角相等;
C.等腰三角形两个底角相等;D.等边对等角.
3.下列说法,其中是平行线性质的是()①两直线平行,同旁内角互补;②两直线平行,同位角相等;
③内错角相等,两直线平行;④同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.
A.①②;B.②③;C.④;D.①④.
4.如图,△ABC中,AB=AC,E在BC上,D在AE上(不与A重合),则下列说法中正确的个数是()
①若E为BC中点,则有BD=CD;②若BD=CD,则E为BC中点;
③若AE⊥BC,则有BD=CD;④若BD=CD,则有AE⊥BC.
A.1;B.2;C.3;D.4.
二、填空题
5.确认一个命题是真命题需经过________,而定义、________、_______都是推理证明的依据;
6.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:
AD//BC.
证明:
∵________(已知),
∴_________(内错角相等,两直线平行)
∴∠4+∠2+∠5=180°(_两直线平行,同旁内角互补_),
又∵_______________,(已知)
∴∠5+∠3+∠1=180°(_________________),即∠5+∠___________=180°,
∴AD//BC(____________________).
7.如图,已知△ABC中,AB=AC,D、E分别是AC、AB上的点,且ED//BC,若要证明∠ACE=∠ABD,则可证__________,从而AE=AD,可证___________≌__________,所以∠ACE=∠ABD.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AB上,将△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCD′,则有_________≌__________,从而________=_________=_________°,所以∠DBD′________°,得BD′_________AB.
第7题图第8题图
三、解答题
9.举反例,证明下列命题是假命题:
(1)a2
b2,那么a
b。
(2)有两条边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等。
10.已知如图,在△ABC中,CH是外角∠ACD的平分线,BH是∠ABC的平分线。
求证:
∠A=2∠H.
11.如图所示,AB∥CD,点E是AC的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△FBE,延长BF交CD于G,
求证:
CG=FG
12.如图:
C为AB上一点,
和
都是等边三角形,AE交DC于点M,BD交EC于点N。
求证:
(1)AE=BD;
(2)CM=CN。
13.如图:
在
中,AB=AC,D为AB上的一点,E为AC延长线上的一点,BD=CE,DE交BC于点F。
求证:
DF=EF。
14.如图:
在
中,AB=2AC,AD平分
,AD=BD。
求证:
。
【自我提高】
一、选择填空题
1.如图,△ABD和△ACE都是等边三角形,那么△ADC≌△ABE的根据是()
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
2.如图,等腰△ABC中,AB=AC,D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,图中全等三角形共有()
A.5对B.6对C.7对D.8对
3.如图1所示,点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O,且AD=AE,AB=AC,若∠ABE=20°,则∠ACD=________.
4.图2所示,O为□ABCD对角线AC、BD的交点,EF经过点O,且与边AD、BC分别交于点E、F,若BF=DE,则图中的全等三角形最多有()
A.2对B.3对C.5对D.6对
5.如图,在边长为4的等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,点E、F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是()
A.4
B.3
C.2
D.
二、证明题
1.如图,矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE于F,连结DE,求证:
DF=DC.
2.Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90º,直线
为经过点A的任一直线,BD⊥
于D,CE⊥
于E,若BD>CE,试问:
(1)AD与CE的大小关系如何?
请说明理由.
(2)线段BD,DE,CE之间的数量之间关系如何?
你能说明清楚吗?
不妨试一试.
3、如图,在△ABC中,
(1)若AB=AC,DG=EF,DG⊥AB于D交BC于G,EF⊥AC于E交BC于F,
求证:
AD=AE。
(2)若DG=EF,AD=AE,DG⊥AB于D交BC于G,EF⊥AC于E交BC于F,求证:
AB=AC。
4、已知如图,在△ABC中,AD是∠A的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
EF⊥AD
5、已知如图,AC=AD,DE=CE,B为AE上一点,求证:
BC=BD
6、已知如图,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上两点,且AE=CF,求证:
BF=DE
7、已知如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,求证:
DB=DE
8、已知,△ABC中,AB=AC,D、E、F分别在BC、AB、AC上,且BE=CD,∠EDF=∠B,求证:
∠DEF=∠DFE
9、已知如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,P为BC上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,求证:
PE+PF=BD
10、如图(a)所示,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论;
(2)将图(a)中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图(b),
(1)中的结论还成立吗,作出判断并说明理由;
(3)若将图(a)中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形(c)(草图即可),
(1)中的结论还成立吗?
作出判断不必说明理由;