函数的凸性及应用文献综述.docx

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函数的凸性及应用文献综述

函数的凸性及应用文献综述

文献综述

函数的凸性及应用

一、前言部分（说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点）

凸函数是一类重要的函数。

对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。

特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。

凸函数的定义,最早是由Jersen给出的。

各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只研究具有二阶导数的凸函数。

本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。

然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。

对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:

凸函数在证明Jensen不等式时的应用;凸函数在Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。

二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向,以及对这些问题的评述）

凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。

1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展,在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。

凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。

2.1凸函数的定义

2.1.1凸函数一些基本定义

通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:

曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。

通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。

对于凸的我们称其函数为凸函数。

数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:

设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。

葛丽萍[3]介绍了以下的结论:

若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。

同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:

在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。

并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。

2.1.2严格凸函数的定义

江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方法。

定义:

凸函数的定义为函数满足以下不等式,其中为区间上的函数,,为上的任意两点和。

当上面的不等式变为时,其余条件不变,该函数称为严格凸函数。

判定方法:

1、设为区间上可导函数,在上严格递增,则在区间上是严格凸函数。

反之,不成立;2、设为区间上二阶可导函数,在上.则在区间上是严格凸函数。

2.1.3凸函数的等价描述

林银河[5]详细论述了凸函数的等价描述,由此得出:

若在上有定义,则以下3个命题等价:

在上为凸函数;

,有;

且不全为零,有

。

其中命题就是著名的Jensen不等式。

在Jensen不等式中令就得到如下定义:

设在区间上有定义,称为上的凸函数,当且仅当有。

葛丽萍[3]介绍了函数在区间上可导的等价条件:

若为区间上的可导函数,可得出以下等价条件。

（1）为上的凸;

（2）为上的增函数;（3）对上的任意两点,,有。

2.2凸函数的一些性质

2.2.1凸函数的连续性

凸函数是数学分析中的一类重要函数,而函数的连续性又是函数性态的一项基本而又重要的特征。

由于Jensen定义中并没有对函数作出连续性及可导性假设,Jensen意义下凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数,从凸函数的定义出发,研究连续函数与凸函数的关系。

那么我们就会提出这样的问题:

当连续函数满足何种条件时,是区间上的凸函数;当凸函数满足何种条件时,是区间上的连续函数;连续凸函数在区间上具有何种性质?

例如函数,我们容易证明在上是凸函数,但在上不连续。

存在函数,可以得出函数在上是连续的,但是函数在上不是凸函数。

上面这个例题说明凸函数并不一定是连续函数,而连续函数也不一定是凸函数。

宋方[6]提出,如果连续函数为凸函数,必定满足以下定义:

对任意的及,恒有:

。

例:

证明连续函数是一个凸函数。

分析:

因为,只要存在就能说明函数是一个凸函数。

显然能够找到满足条件的

性质[7]:

若在区间上连续,且满足

或

其中,则是上的凸函数。

2.2.2凸函数的微积分性质

刘鸿基,张志宏[8]指出凸函数是一类重要的函数,有着较好的分析性质,而关于凸函数,一般教材大都从几何意义方面引出定义,描述为:

凸曲线弧段上任意两点联结而成的弦,总是位于曲线弧段的下方;或者,当曲线各点处存在切线时,凸曲线弧全部位于曲线上各点处切线的下方。

前者往往作为定义使用,后者是凸函数的充分必要条件,也可以作为定义作用。

刘鸿基,张志宏[8]举证了凸函数的4个等价性定义,并对凸函数的微积分性质予以讨论,得到两个重要的微积分性质:

1.设在区间内可导,则在上是凸函数的充分必要条件是:

对任意点,恒有。

2.设是上的凸函数,则

性质2分析:

因为是闭区间上的凸函数,因而是连续的,也是可积的。

当时,,

因此有。

根据定义,可得即。

根据定积分性质对于,

令则

所以

再者,若令,则,于是

综上所述,结论成立。

2.2.3关于凸函数性质的总结

王华[9]提出常见的凸函数定义有八个,此处就其中几个定义间的关系、几何意义作进一步思考,来得出有关凸函数的性质。

根据文中所阐述和定义的,归纳出以下性质:

1.当在上一阶可导,在凸。

由于是过点的曲线的切线,不等式的几何意义是:

上凸曲线总在曲线上任一点的切线之上。

2.在上二阶可导,在凸。

3.若在上可导,则下述两个不等式等价

（1）;

（2）。

4.若在凸,则下述两个不等式等价

（1）有;

（2）有。

5.若在凸,则

（1）,有,都存在,且;

（2）在连续。

例:

证明上（下）凸函数都是连续的。

针对性质5分析:

取,据定义得式（?

）又据其几何意义,函数是单调函数,故当时单调有上界;时单调有下界,于是极限及存在,而这两个极限即及,故对式（*）取极限,即可得。

同时可知

即。

故在的内点连续,即在上连续是在上（下）凸的必要条件。

2.3凸函数的一些应用

2.3.1凸函数的应用概述

凸函数的应用领域非常广泛,特别是在不等式的证明中,函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。

利用凸函数的性质证明有关不等式,可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化为证明比较容易,证明过程简单的问题,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的。

凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。

邹自德[10]指出:

凸函数具有较好的几何和代数性质,由凸函数可以引导出各种平均值并对这些平均值进行比较。

例:

几何平均值不大于算数平均值（利用凸函数导出常用的不等式）

分析:

设,考虑指数函数,是凸函数,从而对

有

成立。

令,则得到

。

这就是人们熟知的“几何平均值不大于算数平均值”定理。

梁艳[11]指出:

凸函数是一类非常重要的函数,在不等式的研究中,凸函数所发挥的作用是无可替代的,可以根据凸凹函数的特性,结合典型事例,来说明凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中的应用。

例:

证明下列不等式:

对任意实数有.

分析:

（1）设,由于,而,故是上的凸函数,由定义可知,有,即.

小结:

在不等式的研究中,凸函数所发挥着很重要的作用,在数学规划中有着广泛的应用背景,我们可以根据凸凹函数的特性,来解决一系列拥有较大难度的不等式,以及导出一些较难的不等式,如上面所给出的指数不等式,三角函数不等式都能通过凸函数的性质来得到比较直观的证明,可以来导出如几何平均值不大于算数平均值这一类比较难的不等式,说明了凸函数在处理一些有较大难度不等式证明中有着较好的应用。

2.3.2凸函数在证明Jensen不等式时的应用

王秋亮[12]讨论了凸函数在证明Jensen不等式时的应用。

不论导出不等式还是证明不等式,利用Jensen不等式的关键在于选取适当的凸函数,并且根据想要构造或证明的不等式的形式选取恰当的值。

并且应用数学归纳法在用凸函数来证明Jensen不等式时,可以得到较好的效果。

定理1（Jensen不等式）:

若设区间上有定义,则以下两条件等价:

1在上为凸函数;

2,有（*）

分析:

21只要令即得。

12应用数学归纳法。

当时,可得函数为凸函数。

设时命题成立,即有,现设,及令,,。

由数学归纳法假设可推得

.

这就证明了对任何正整数,凸函数总有不等式（*）成立。

2.3.3凸函数在证明Hadamard不等式时的应用

郑宁国[13]给出了Hadamard不等式的两种证明方法。

讨论了凸函数在证明Hadamard不等式时的应用。

选取适当的凸函数来证明Hadamard不等式,并且根据要证明的不等式的形式选取恰当的值。

Hadamard不等式:

设是上连续的凸函数,则有.

分析:

根据积分区间具有可加性,有.

因为（其中令）,

所以

即有。

令,

则

.

即有

所以Hadamard不等式成立。

2.3.4凸函数在分析不等式中的应用

关于凸函数的理论及应用有许多专门的研究,利用凸函数的概念可以来解决不等式的证明有许多方便之处,现实中常常利用凸函数的概念来证明分析中的一些常见的不等式。

李艳梅,李雪梅[14]给出了凸函数在分析不等式证明中的应用,利用凸函数的性质及Jensen不等式,对数学分析中诸多不等式给予证明,从中可举一反三,利用Jensen不等式的一些特殊情况,可以得到一些常用的分析不等式。

例:

.

分析:

假设函数,

有,

由Jensen不等式取有于是

有

小结:

此处运用了凸函数的性质及Jensen不等式,可以很简洁的证得该分析不等式。

解决不等式的证明有着许多方便之处,凸函数适当的应用,使证明过程更加简洁,结论得出更加的方便。

三、总结部分（将全文主题进行扼要总结,提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）

凸函数具有一些非常优良的性质,有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用[15]。

凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的研究对象,它研究的内容非常丰富,研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用。

本文首先对凸函数定义进行介绍,凸函数的等价性质进行了概述;接下来介绍了凸函数的基本性质,然后由此延伸,进一步提出凸函数的应用,主要集中在下面几方面的应用:

凸函数在Hadamard不等式证明中的应用,凸函数在证明Jensen不等式时的应用,凸函数在分析不等式中的应用等方面进行了讨论。

四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）

[1]蒲义书、陈露.凸函数概论[J].高等数学研究,2006,9（4）:

34-71.

[2]数学分析[M].第三版.北京:

高等教育出版社,2006:

148-154.

[3]葛丽萍.关于凸函数的几个充分必要条件[J].文化教育,2010,5:

193-193.

[4]江芹、陈文略.严格凸函数的判定[J].高等函授学报,2006,194:

27-28.

[5]林银河.凸函数的等价描述与Jensen不等式[J].丽水师范专科学校学报,2001,23

（2）:

8-11.

[6]宋方.关于凸函数的定义和性质[J].数学的实践与认识,2007,278:

189-194.

[7]JonathanM.Borwein,JonVanderwerff.ConstructionsofUniformlyConvexFunctions[J].2000MathematicsSubjectClassification,2000,1-10.

[8]刘鸿基、张志宏.凸函数的等价定义及其微积分性质的讨论[J].商丘师范学院学报,2008,246）:

123-125.

[9]王华.关于凸函数性质的总结[J].科技教育,2005,235-236.

[10]邹自德.凸函数及应用[J].广州广播电视大学学报,2008,81:

104-112.

[11]梁艳.凸函数的应用[J].内江师范学院学报,2010,25:

90-91.

[12]王秋亮.凸函数在不等式中的应用[J].晋城职业技术学院学报,2009,2（3）:

95-96.

[13]郑宁国.凸函数的Hadamard不等式的两种证明方法[J].湖州师范学院学报,2005,27

（2）:

15-17.

[14]李艳梅、李雪梅.凸函数在分析不等式证明中的应用[J].高等职业教育天津职业大学学报,2003,131:

33-37.

[15]Zhenglujiang,XiaoyongFu,HongjiongTian.ConvexFunctionsandIneoualitiesForintegrals[J].//.eandAppl.Math,2006,75.