7.命题p:
x∈R且满足sin2x=1.命题q:
x∈R且满足tanx=1,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由sin2x=1,得2x=+2kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z;
由tanx=1,得x=+kπ,k∈Z,
所以p是q的充要条件,故选C.
8.在△ABC中,cosA=,cosB=,则sin(A-B)等于( )
A.-B.C.-D.
答案 B
解析 ∵A,B∈(0,π),∴sinA=,sinB=,
∴sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=.
9.已知圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程是( )
A.(x-2)2+y2=13B.(x+2)2+y2=17
C.(x+1)2+y2=40D.(x-1)2+y2=20
答案 D
解析 设圆C的圆心坐标为(m,0),则由|CA|=|CB|,得=,解得m=1,圆的半径为2,所以其方程为(x-1)2+y2=20,故选D.
10.已知a<0,-1
A.a>ab>ab2B.ab>a>ab2
C.ab>ab2>aD.ab2>ab>a
答案 C
解析 由题意得ab-ab2=ab(1-b)>0,
所以ab>ab2,ab2-a=a(b+1)(b-1)>0,
所以ab2>a,故选C.
11.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则这个几何体的侧面积是( )
A.(1+)cm2B.(3+)cm2
C.(4+)cm2D.(5+)cm2
答案 C
解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示,所以侧面积为(4+)cm2.故选C.
12.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最小值是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 由题意得x1+x2=4a,x1x2=3a2,
则x1+x2+=4a+,
因为a>0,所以4a+≥,
当且仅当a=时等号成立.
所以x1+x2+的最小值是,故选C.
13.已知函数f(x)=若函数y=f有四个零点,则实数a的取值范围为( )
A.[-2,2)B.[1,5)
C.[1,2)D.[-2,5)
答案 C
解析 函数y=f有四个零点,
则f=0有四个解,
则方程f(x)+a=-1与f(x)+a=2各有两个解,
作出函数f(x)的图象(图略)可得
解得所以1≤a<2.故选C.
14.已知等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,若S3=,则S6等于( )
A.B.
C.63D.
答案 B
解析 由题意得S6=S3(1+q3)=×(1+23)=,故选B.
15.已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为( )
A.10B.20C.100D.200
答案 C
解析 a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=a+2a4a6+a=(a4+a6)2=102=100,故选C.
16.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,1)B.[0,2]
C.[-2,2)D.[-1,2)
答案 D
解析 由题意知g(x)=
因为g(x)有三个不同的零点,
所以2-x=0在x>a时有一个解,由x=2得a<2.
由x2+3x+2=0,得x=-1或x=-2,
则由x≤a得a≥-1.
综上,a的取值范围为[-1,2),故选D.
17.已知F1(-c,0),F2(c,0)分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上的一点且满足·=-c2,则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.[,+∞)
C.[,+∞)D.
答案 C
解析 设P(x0,y0),则·=(-c-x0)(c-x0)+y=x+y-c2,
所以x+y-c2=-c2.
又-=1,所以x=a2,
所以a2+y-c2=-c2,
整理得=-a2,
所以-a2≥0,所以c≥a,e≥,故选C.
18.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,点P为对角线AC1上的动点,点Q为底面ABCD上的动点(点P,Q可以重合),则B1P+PQ的最小值为( )
A.B.C.D.2
答案 A
解析 P在对角线AC1上,Q在底面ABCD上,
PQ取最小值时P在平面ABCD上的射影落在AC上,
将△AB1C1沿AC1翻折到△AB1′C1,使平面AB1′C1与平面ACC1在同一平面内,B1P=B1′P,
所以(B1′P+PQ)min为B1′到AC的距离B1′Q.
由题意知,△ACC1和△AB1′C1为有一个角为30°的直角三角形,∠B1′AC=60°,AB1′=,
所以B1′Q=·sin60°=.
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分)
19.若坐标原点到抛物线x=-m2y2的准线的距离为2,则m=________;焦点坐标为________.
答案 ± (-2,0)
解析 由y2=-x,得准线方程为x=,
∴=2,∴m2=,
即m=±,∴y2=-8x,
∴焦点坐标为(-2,0).
20.在数列{an}中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为{an}的前n项和,则S2017=________.
答案 -1007
解析 由a1=1,an+1=(-1)n(an+1),
可得a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1,
该数列是周期为4的循环数列,
所以S2017=504(a1+a2+a3+a4)+a1=504×(-2)+1=-1007.
21.已知向量a=(-5,5),b=(-3,4),则a-b在b方向上的投影为________.
答案 2
解析 由a=(-5,5),b=(-3,4),则a-b=(-2,1),(a-b)·b=(-2)×(-3)+1×4=10,|b|==5,则a-b在b方向上的投影为==2.
22.已知函数f(x)=x2+px-q(p,q∈R)的值域为[-1,+∞),若关于x的不等式f(x)<s的解集为(t,t+4),则实数s=________.
答案 3
解析 因为函数f(x)=x2+px-q=2--q的值域为[-1,+∞),所以--q=-1,即p2+4q=4.因为不等式f(x)<s的解集为(t,t+4),所以方程x2+px-q-s=0的两根为x1=t,x2=t+4,则x2-x1==
===4,解得s=3.
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(10分)等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解
(1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2.
所以an=2·2n-1=2n(n∈N*).
(2)由
(1)得a3=8,a5=32,
则b3=8,b5=32.
设{bn}的公差为d,则有
解得
所以bn=-16+12(n-1)=12n-28.
所以数列{bn}的前n项和Sn=
=6n2-22n(n∈N*).
24.(10分)如图,已知椭圆+y2=1(a>1),过直线l:
x=2上一点P作椭圆的切线,切点为A,当P点在x轴上时,切线PA的斜率为±.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,求△POA面积的最小值.
解
(1)当P点在x轴上时,
P(2,0),PA:
y=±(x-2).
联立
化简得x2-2x+1=0,
由Δ=0,解得a2=2,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)设切线方程为y=kx+m,P(2,y0),A(x1,y1),
则
化简得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
由Δ=0,解得m2=2k2+1,
且x1=,y1=,y0=2k+m,
则|PO|=,直线PO的方程为y=x,则点A到直线PO的距离d=,
设△POA的面积为S,
则S=|PO|·d=|y0x1-2y1|
=
==|k+m|.
当m=时,S=|k+|.
(S-k)2=1+2k2,则k2+2Sk-S2+1=0,
Δ=8S2-4≥0,解得S≥,当S=时k=-.
同理当m=-时,可得S≥,
当S=时k=.
所以△POA面积的最小值为.
25.(11分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a≥2时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.
解
(1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a,因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1,当a≤0时,0≤1,显然成立;
当a>0时,则有|a|+a=2a≤1,
所以a≤,所以0综上所述,a的取值范围是.
(2)f(x)=
对于u1=x2-(2a-1)x,其对称轴为x==a-对于u2=x2-(2a+1)x+2a,其对称轴为x==a+>a,开口向上,
所以f(x)在(-∞,a)上单调递减.
综上所述,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减.
(3)由
(2)得f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2.
①当a=2时,f(x)min=f
(2)=-2,
f(x)=
令f(x)+=0,即f(x)=-(x>0),
因为f(x)在(0,2)上单调递减,所以f(x)>f
(2)=-2,
而g(x)=-在(0,2)上单调递增,所以g(x)(2)=-2,
所以y=f(x)与g(x)=-在(0,2)上无交点;
当x≥2时,f(x)=x2-3x=-,即x3-3x2+4=0,
所以x3-2x2-x2+4=0,所以(x-2)2(x+1)=0,
因为x≥2,所以x=2,
综上当a=2时,f(x)+有一个零点x=2.
②当a>2时,f(x)min=f(a)=a-a2,
当x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,
而g(x)=-在(0,a)上单调递增,
当x=a时,g(x)=-,下面比较f(a)=a-a2与-的大小,
因为a-a2-=
=<0,
所以f(a)=a-a2<-.
结合图象不难得到当a>2时,y=f(x)与g(x)=-有两个交点.
综上所述,当a=2时,f(x)+在区间(0,+∞)内有一个零点x=2;
当a>2时,f(x)+在区间(0,+∞)内有两个零点.