函数立体几何专题练习1.docx
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函数立体几何专题练习1
函数、立体几何专题练习1
一、选择题（共26小题）
1.已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （）
A.
B.
C.
D.
2.设定义在上的函数满足：
当时，；当时，，则在下列结论中：
①；
②在上是递减函数；
③存在，使；
④若．
正确结论的个数是 （）
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
3.在半径为的球内放入大小相等的个小球，则小球半径的最大值为 （）
A.
B.
C.
D.
4.已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （）
A.
B.
C.
D.
5.在正四面体的面上，到棱以及，两点的距离都相等的点共有 （）
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
6.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 （）
A.
B.
C.
D.
7.设直线平面，过平面外一点与、都成角的直线有且只有 （）
A.
条
B.
条
C.
条
D.
条
8.设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为 （）
A.
B.
C.
D.
9.如图，模块均由个棱长为的小正方体构成，模块由个棱长为的小正方体构成．现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为
A.
模块
B.
模块
C.
模块
D.
模块
10.设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是 （）
A.
B.
C.
D.
11.定义在上的函数满足，且函数为奇函数．给出以下个命题：
①函数的周期是；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象关于轴对称．
其中，真命题的个数是 （）
A.
B.
C.
D.
12.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为 （）
A.
B.
C.
D.
13.设集合，，函数，若，且，则的取值范围是 （）
A.
B.
C.
D.
14.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
（1）如果不超过元，则不给予优惠；
（2）如果超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；
（3）如果超过元，其元内的按第
（2）条给予优惠，超过元的部分给予折优惠．
某人两次去购物，分别付款元和元，假设他一次性购买同样的商品，则应付款是 （）
A.
元
B.
元
C.
元
D.
元
15.过正方体的顶点作直线，使与棱，，所成的角都相等，这样的直线可以作
A.
条
B.
条
C.
条
D.
条
16.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若则；
④若，则．
其中真命题的个数是 （）
A.
B.
C.
D.
17.已知函数．下列命题：
①函数的图象关于原点对称；
②函数是周期函数；
③当时，函数取最大值；
④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是 （）
A.
①③
B.
②③
C.
①④
D.
②④
18.与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 （）
A.
有且只有个
B.
有且只有个
C.
有且只有个
D.
有无数个
19.函数的最小值为 （）
A.
B.
C.
D.
20.已知奇函数的导函数为，，且，如果，则实数的取值范围为 （）
A.
B.
C.
D.
21.如图，在的二面角内，半径为的圆与半径为的圆分别在半平面、内，且与棱切于同一点，则以圆与圆为截面的球的表面积为
A.
B.
C.
D.
22.如图所示，已知空间四边形，，分别是对边，的中点，点在上，且，设，，，现用基底表示向量，即，则，，的值分别为
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
23.存在函数满足：
对于任意都有 （）
A.
B.
C.
D.
24.如图，在长方体中，，，，一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第次到第次反射点之间的线段记为，，将线段，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是
A.
B.
C.
D.
25.已知定义在上的奇函数和偶函数满足．若，则 （）
A.
B.
C.
D.
26.记方程①：
，方程②：
，方程③：
，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是 （）
A.
方程①有实根，且②有实根
B.
方程①有实根，且②无实根
C.
方程①无实根，且②有实根
D.
方程①无实根，且②无实根
二、填空题（共26小题）
27.已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
28.定义在上的函数满足，且函数为奇函数，给出下列结论：
（1）函数的最小正周期是；
（2）函数的图象关于点对称；
（3）函数的图象关于直线对称；
（4）函数的最大值为．
其中正确的结论的序号是 ．（写出你认为正确的所有结论的序号）
29.空间 （填：
"存在"或"不存在"）这样的四个点、、、，使得，，．
30.定义在上的偶函数满足：
，且在上是增函数，下面关于的判断：
①是周期函数；
②的图象关于直线对称；
③在上是减函数；
④在上是减函数．
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）．
31.棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，则球的表面积是 ；设，分别是该正方体的棱，的中点，则直线被球截得的线段长为 ．
32.如图，已知边长为的正，顶点在平面内，顶点在平面外的同一侧，点分别为在平面上的投影，设，直线与平面所成的角为．若是以为直角的直角三角形，则的范围为 ．
33.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则 ．（写出所有正确结论编号）
①四面体每组对棱相互垂直；
②四面体每个面的面积相等；
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于；
④连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
34.已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 ．
35.设函数满足和，且，则 ．
36.
（1）定义在上的函数是周期为的奇函数，则方程在闭区间上至少有 个实数根．
（2）函数零点的个数是 ．
（3）函数与函数的交点个数是 ．
37.若函数（其中且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
38.在体积为的球的表面上有，，三点，，，，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为 ．
39.对区间上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则 ．
40.如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围为 ．
41.一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为，则该三角形的斜边长为 ．
42.若函数的图象经过原点，函数在区间内与轴有交点，则实数的取值范围是 ．
43.设函数，给出四个命题：
①时，有成立；
②，时，函数只有一个零点；
③的图象关于点对称；
④函数至多有两个不同零点．
上述四个命题中所有正确的命题序号是 ．
44.如图，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好过点（如图）．
有下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；
③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；
④若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：
（写出所有真命题的代号）．
45.已知，为不垂直的异面直线，则，在内的射影有可能是 ．（写出所以正确结论的序号）
①两条平行直线；②两条垂直直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
46.我国古代数学名著《数书九章》中有＂天池盆测雨＂题：
在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：
①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
47.已知函数是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数，满足，，，．考察下列结论：
①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列．
其中正确的结论是 ．
48.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则 ．
49.将长度为的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 ．
50.在斜三棱柱中，，，则在底面上的射影必在 ．
51.已知点，，，在同一个球面上，平面，，若，，，则，两点间的球面距离是 ．
52.设函数对任意都有，且，则 ．
三、解答题（共48小题）
53.如图，在多面体中，底面是边长为的正方形，四边形是矩形，平面，，和分别是和的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）求多面体的体积．
54.如图，四边形为正方形，，，，，．
（1）求证：
；
（2）若点在线段上，且满足，求证：
；
（3）试判断直线与平面是否垂直？
若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
55.如图，已知四边形是正方形，，，，，，分别为，，的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
平面；
（3）在线段上是否存在一点，使？
若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．
56.已知是实数，函数．如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
57.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：
用个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；
（3）设，现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？
说明理由．
58.在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，点在上，且．
（1）求证：
平面；
（2）求证：
平面；
（3）若，求三棱锥的体积．
59.已知集合，，如果，求实数的取值范围．
60.如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点．
（1）求证：
平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
61.如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．
（1）证明：
平面；
（2）若二面角的大小为，求的大小．
62.如图，四面体中，两两垂直，，，为的中点．
（1）求与平面所成的角；
（2）求证：
平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值．
63.如图，在三棱锥中，，为的中点，，垂足落在线段上．
（1）证明：
；
（2）已知，，，．求二面角的大小．
64.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且和、的夹角都等于，是的中点．
（1）以，，为基向量表示出向量，并求的长；
（2）求异面直线和所成角的余弦值．
65.已知正三棱锥的正视图和俯视图如图所示．
（1）画出该三棱锥的侧视图和直观图．
（2）求出侧视图的面积．
66.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．已知年利润（出厂价投入成本）年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？
67.设函数，是方程的实根，且．
（1）证明：
，且；
（2）判断的符号，并加以证明．
68.如图所示，平行六面体的底面是菱形，且．
（1）求证：
；
（2）当时，求证：
．
69.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．年全球太阳电池的年生产量达到兆瓦，年生产量的增长率为．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增（如，年的年生产量的增长率为）．
（1）求年全球太阳电池的年生产量（结果精确到兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，年的实际安装量为兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在，到年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到）？
70.一片森林的面积为，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是年．为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为．
（1）问到今年为止，该片森林已砍伐了多少年？
（2）问今后最多还能砍伐多少年？
71.已知函数的定义域为，值域为，且在上为减函数．
（1）求证：
；
（2）求的取值范围．
72.某水库水位已超过警戒水位（设超过的水量为），由于上游仍在降暴雨，每小时将流入水库相同的水量，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄洪闸（每孔泄洪闸泄洪量都相同）．要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需小时；打开孔泄洪闸，需小时．现要求在小时内使水位下降到警戒水位以下，问：
至少需打开几孔泄洪闸？
73.对于正整数和非零实数，，，，若，，求，，的值．
74.如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于，的动点．点在边上，且．现沿将折起到的位置，使．记，表示四棱锥的体积．
（1）求的表达式；
（2）当为何值时，取得最大值？
（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．
75.如图，在平行四边形中，，，为线段的中点，将沿直线翻折成，使，为线段的中点．
（1）求证：
；
（2）设为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值．
76.设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称．对任意都有．
（1）设，求及；
（2）证明是周期函数．
77.分别求和的最小值．
78.已知定义在上的偶函数的一个递增区间为，试判断是的递增区间还是递减区间？
79.四棱锥的底面是边长为的正方形，．
（1）若面与面所成的二面角为，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面与面所成的二面角恒大于．
80.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又，，．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的大小；
（3）设点在棱上，且，问为何值时，．
81.在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置．生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差．
①求出利润函数及其边际利润函数；
②求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；
③你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义．
82.已知是所在平面的一条斜线，点是在平面上的射影，且在的高上．，与之间的距离为，．
（1）证明是二面角的平面角；
（2）当时，证明平面；
（3）若，求四面体的体积．
83.设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．
（1）求的值；
（2）求证：
对任意，恒有；
（3）求证：
在上是减函数．
84.若，求．
85.如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，．已知，．
（1）证明：
；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积．
86.已知定义域为的函数满足．
（1）若，求；又若，求；
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式．
87.如图，已知正方形与矩形所在平面互相垂直，，，是线段上的动点．
（1）若点为正方形的中心，求直线与平面所成角的最大值；
（2）当点为的中点时，求直线与所成角的正弦值；
（3）求二面角的大小．
88.某企业年底共有员工人，当年的生产总值为亿元．该企业规划从年起的年内每年的总产值比上一年增加万元；同时为扩大企业规模，该企业平均每年将录用（，）位新员工；经测算这年内平均每年退休的员工为人．设从年起的第年（年为第年）该企业的人均产值为万元．
（1）写出与之间的函数关系式，并注明定义域；
（2）要使该企业的人均产值在年内每年都有增长，则每年录用新员工至多为多少人？
89.如图，是边长为的正方形，直线与平面平行，和是上的两个不同点，且，．和是平面内的两点，和都与平面垂直．
（1）证明：
直线垂直且平分线段；
（2）若，，求多面体的体积．
90.如图，已知在菱形中，，，且，，分别是与的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）求二面角的正切值．
91.如图，在三棱锥中，是等边三角形，．
（1）证明：
；
（2）若，且平面，求三棱锥的体积．
92.某企业接到生产台某产品的，，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为，，（单位：
件）．已知每个工人每天可生产部件件，或部件件，或部件件，该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为（为正整数）．
（1）设生产部件的人数为，分别写出完成，，三种部件生产需要的时间；
（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．
93.如图，三棱锥中，，，，，分别为，，的中点，
（1）求证：
；
（2）求证：
．
94.函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的左侧，求实数的取值范围．
95.如图，四边形为正方形，，，．
（1）证明：
平面；
（2）求二面角的余弦值．
96.已知函数，（，且）．
（1）求的单调区间；
（2）若函数与函数在时有相同的值域，求的值；
（3）设，函数，，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围
97.已知函数，记是在区间上的最大值．
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