自习室开放优化模型.docx
《自习室开放优化模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自习室开放优化模型.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
自习室开放优化模型
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2011年07月22日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
教室开放管理问题
摘要
大学浪费用电的情况越来越严重，主要体现在晚自习，在满足学生的要求下，我们需设计出一种最节约、最合理的管理方法。
我们以线性规划为基础，对自习教室开放管理优化问题，在合理的假设条件下建立数学优化模型。
对于问题一，我们建立了整型规划模型，以总用电功率最小为目标函数，及开放教室的满座率的限制为约束条件，用LINGO软件求得最优解为：
除第1,2,15,16，18,25,41,44,45个教室不开放外，其余的36个教室全开放，使得教室在每天晚上的总用电量最小为：
218046W。
对于问题二，我们定义了学生的满意程度是随宿舍区到自习区距离的一次线性函数，建立了多目标规划模型，即目标函数为总用电功率最小和学生满意程度最大的双目标函数，用LINGO软件编程求解，最优解是：
除第1,2,9,11,15,16,21,25,33,44,45个教室不开放外，其余的全开放，共计开放34个教室，使得每天晚上所有教室的总用电量最小，最小量为：
225072W。
对于问题三，现有的教室不能满足学生的要求，必须再搭建教室，我们认为现有的教室全部已用，故把教室安排完，还剩下299名学生不能找到教室上自习，所以将这299人按照问题二的模型来安排，再利用LINGO软件可求解，得：
需另建两个教室，分别为：
在B2区建立和第9个教室规格相同的教室；在B3区建立和第12个教室规格相同的教室。
关键词：
整型规划LINGO软件多目标规划模型
一、问题重述
近年来，大学生用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但教室内的灯全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求我们提供一种最节约、最合理的管理方法。
管理员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习，每天晚上从7:
00—10:
00开放（如果那个教室被开放，则假设此教室的所有灯管全部打开）。
对应表1、表2的部分数据，完成以下问题。
1，假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7。
要是需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%。
问该安排那些教室开放，能达到节约用电的目的。
2，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为一个区，即1区，2区，3区，4区，5区为第1区，……，41,42,43,44,45为第9区.这10个宿舍区到9个自习区的距离如表。
学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度低。
假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，即达到节约用电的目的，又能提高学生的满意程度。
另外尽量安排开放同区的教室。
3，假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增加到0.85，要是需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。
这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。
假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9各区。
搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同，学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。
问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，即达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。
二、问题分析
问题一需要合理的开放教室，使得达到节约用电的目的，由学校的总人数和每个学生上自习的可能性可解出上自习的人数，对于此问题，应该属于线性规划问题，可建立优化模型来求解，对于每个教室是否开放建立0-1规划模型，以总用电量最小为目标函数来求最优解。
问题二是将学校的同学分布在10个宿舍区，故可将上自习的人数在各个宿舍区平均分配，也将45个教室划分为9个自习区，因学生到各个教室上自习的满意程度与宿舍到教室的距离有关系，即距离近则满意程度高，反之则低，故将学生的满意程度与距离之间建立线性关系，即问题要求如何开放教室可达到节约用电的目的的同时，可以提高学生的满意程度，并且尽可能的开放同一个区的教室开放，这属于多目标的规划问题，可建立两个目标函数，在利用线性加权求和法将目标函数合二为一，加上约束条件，可解出开放那个区的那个教室最为合理。
问题三是在问题二的基础上，相当于增加了上自习的人数，故使得教室不够用，需再临时搭建教室。
因问题二结果已达到节约用电的目的和使得学生的满意程度提高，因此，现有的教室必须全部开放，按照满座率全部安排学生，对于剩下没有安排的学生再利用问题二的模型来安排，可解得搭建的教室的数量和搭建教室的规格。
三、模型假设
实际的学校教室开放问题与很多方面的因素有关，为了使得建立模型简化，可忽略一些次要的因素，对各自模型做出以下假设。
3.1问题一的模型假设
（1）假设学生的满足程度只与是否有座位有关；
（2）假设所有的灯管无损坏；
（3）假设所有上自习的学生都是从7点上到10点，中途不离开；
（4）假设学校的总人数不变。
3.2问题二的模型假设
（1）假设学生的满意程度只与宿舍区到自习区的距离有关，且成一次线性关系；
（2）假设将所有的学生平均分布在10个宿舍区；
（3）假设学生从宿舍区到自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
3.3问题三的模型假设
（1）假设搭建的教室与附近区的某个教室规格相同，且与各宿舍区的距离也相同；
（2）假设现有的教室全部达到满座率，将剩下的人分布在新搭建的教室。
四、变量及其符号说明
变量及其符号
解释说明
表示第i个教室是否开放的0-1变量（i=1,2，…,45）
表示第i个教室的座位数
（i=1,2，…,45）
表示第i个教室的灯管数（i=1,2，…,45）
表示第i个教室的每只灯管的功率（i=1,2，…,45）
表示开放教室的满座率
总功率
表示第j个宿舍区到第i个自习区的距离（i=1,…,9；j=1，…，10）
第j个宿舍区的学生是否到第i个自习区上自习的0-1变量
（i=1,…,9；j=1，…10）
第i个教室每个座位的用电功率
（i=1,2，…,45）
归一化后第i个教室每个座位的用电功率（i=1,2，…,45）
第j个宿舍区学生对第i个自习区的满意程度（i=1,…,9；j=1，…10）
平均的满意程度
第j个宿舍区的满意程度曲线的纵截距（j=1，…10）
第j个宿舍区的满意程度曲线的斜率（j=1，…10）
补充说明：
（1）教室是否开放的0-1变量：
（i=1,2，……,45）
（2）第j个宿舍区的学生是否到第i个自习区上自习的0-1变量：
（i=1,…,9；j=1，…10）
五、模型建立与求解
5.1问题一模型建立与求解
根据学校的总学生数8000名，每个同学是否上自习相互独立且每位学生上自习的可能性为0.7，可计算出上自习的人数为：
名学生。
认为是否开放教室为0-1规划变量，建立线性规划模型，用LINGO软件求得最优解。
5.1.1模型的建立
（1）决策变量：
用
（i=1,2，……,45）表示是否开放第i个教室，若开放则为1，不开放则为0。
（2）决策目标：
使得每个晚上总的用电功率最小，即：
（3）约束条件：
①所有开放教室的总座位数乘以教室的满座率应小于上自习的总学生数量，即：
②所有开放教室的总座位数乘以开放教室的满座率应大于教室座位能满足的学生上自习的总数量，即：
③开放教室的满座率不低于4/5，即：
④同时开放教室的满座率不超过90%，即：
综合得数学规划模型为：
5.1.2模型的求解
利用LINGO软件编程求解，编程的命令如附录表一，则解得的结果为：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
72768.0
Extendedsolversteps:
964
Totalsolveriterations:
15193
VariableValueReducedCost
X10.0000005040.000
X20.0000005040.000
X31.0000007200.000
X41.0000007200.000
X51.0000004860.000
X61.0000004860.000
X71.0000005184.000
X81.0000004860.000
X91.0000004320.000
X101.0000004860.000
X111.0000003240.000
X121.00000010125.00
X131.0000006102.000
X141.0000007500.000
X150.0000005040.000
X160.0000005040.000
X171.0000007200.000
X180.00000014700.00
X191.0000004860.000
X201.0000004860.000
X211.0000005184.000
X221.0000004860.000
X231.0000004320.000
X241.0000004860.000
X250.0000003888.000
X261.00000011250.00
X271.0000006912.000
X291.0000006912.000
X301.0000007500.000
X311.0000004320.000
X321.0000004860.000
X331.0000003240.000
X341.00000010125.00
X351.0000006912.000
X361.0000007500.000
X371.0000006912.000
X381.0000006912.000
X391.0000007500.000
X401.0000006912.000
X410.0000007500.000
X421.0000006912.000
X431.0000006912.000
X440.0000003750.000
X450.0000006480.000
X281.0000000.000000
X0.90000000.000000
最终除第1,2,15,16,18,25,41,44,45个教室不开放外，其余的36个教室全开放，使得每天晚上的总用电量最小，为218046W。
5.2问题二模型建立与求解
各宿舍区学生的满意程度与到自习区的距离呈线性关系，
即记为：
根据宿舍区到自习区的距离的表2数据，取每一个宿舍区到9个自习区的距离的最大值和最小值，当
取最小值时认为学生的满意度为最大，记为100%，当
取最大值时认为学生的满意程度为最小，考虑到实际情况，学生虽然很不满意，但可能还会去上自习，所以认为最小的满意程度为5%。
故可解二元二次方程组，求出一组
值，就可得到每一个宿舍区的学生到每一个自习区上自习的满意程度。
下表为解出的
值：
1
1.8208
-0.0027
2
2.2148
-0.0031
3
2.5590
-0.0041
4
1.7610
-0.0025
5
2.1829
-0.0031
6
2.1829
-0.0033
7
2.2259
-0.0039
8
2.0812
-0.0035
9
2.0416
-0.0034
10
2.4911
-0.0041
则各个宿舍区的学生到每个自习区上自习的满意程度如下表：
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.8623
1.0000
0.0500
0.7948
0.6895
0.2953
0.7030
0.5032
0.9406
A2
0.0500
0.5625
0.7609
0.6462
0.8694
0.7485
1.0000
0.5656
0.3424
A3
0.4598
0.2794
1.0000
0.7058
0.0500
0.2138
0.5746
0.3983
0.0500
A4
0.9510
0.4085
0.9610
0.5960
0.7060
0.1360
1.0000
0.2435
0.0500
A5
0.0500
0.2733
0.7104
0.6360
1.0000
0.4562
0.8561
0.0625
0.3508
A6
0.7355
0.2966
0.9269
0.6992
0.0500
0.3791
1.0000
0.1712
0.4484
A7
0.8453
0.7322
0.1082
0.0500
0.4787
0.1589
0.3500
0.9857
1.0000
A8
0.5937
1.0000
0.4922
0.0500
0.9017
0.9822
0.1737
0.1807
1.0000
A9
1.0000
0.7632
0.2226
0.9434
0.5218
0.1614
0.0500
0.0798
0.9060
A10
0.5149
0.5354
0.6830
1.0000
0.1541
0.1131
0.0500
0.4780
0.3509
因为影响每个教室用电多少的因素有每个教室的灯管数和座位数，为了用一个统一的量来衡量开放那个教室更为合理，可将每个教室用电总功率平均到每个座位上，即有：
最后，我们用数据归一化方法对每个座位用电功率数据归一化，即为：
（i=1,2，…,45）
则得出的结构如下表所示：
每只灯管的功率（w）
总功率（w）
功率/每座（w）
归一化后的功率（w）
1
40
1680
26.25
1
2
40
1680
19.09091
0.727273
3
50
2400
12.43523
0.473723
4
48
2400
12.43523
0.473723
5
45
1620
12.65625
0.482143
6
45
1620
13.5
0.514286
7
48
1728
14.4
0.548571
8
45
1620
13.5
0.514286
9
40
1440
13.09091
0.498701
10
45
1620
13.5
0.514286
11
40
1080
16.875
0.642857
12
45
3375
13.66397
0.520532
13
48
2304
12.12632
0.461955
14
50
2500
11.90476
0.453515
15
40
1680
24
0.914286
16
40
1680
19.76471
0.752941
17
50
2400
12.5
0.47619
18
48
2400
12.30769
0.468864
19
45
1620
12.65625
0.482143
20
45
1620
13.5
0.514286
21
48
1728
14.4
0.548571
22
45
1620
13.5
0.514286
23
40
1440
13.09091
0.498701
24
45
1620
10.125
0.385714
25
48
1296
18.51429
0.705306
26
50
3750
14.64844
0.558036
27
48
2304
12.12632
0.461955
28
50
2500
11.90476
0.453515
29
48
2304
12.12632
0.461955
30
50
2500
12.19512
0.464576
31
40
1440
13.09091
0.498701
32
45
1620
10.125
0.385714
33
40
1080
15.42857
0.587755
34
45
3375
13.18359
0.502232
35
48
2304
12.12632
0.461955
36
50
2500
11.90476
0.453515
37
48
2304
12.12632
0.461955
38
48
2304
12.12632
0.461955
39
50
2500
11.90476
0.453515
40
48
2304
11.52
0.438857
41
50
2500
16.66667
0.634921
42
48
2304
15.36
0.585143
43
48
2304
12.8
0.487619
44
50
1250
17.85714
0.680272
45
48
2160
18
0.685714
5.2.1模型的建立
求解此问题，我们建立了多目标规划模型，不仅满足达到节约用电的目的，还使得学生的满意程度得到提高，下面为建立的模型。
（1）目标函数：
①在不影响学生上自习的情况下，使得平均满意程度达到最大，即：
②考虑开放那些教室更节省用电，即：
（2）约束条件：
①所有开放教室的总座位数乘以教室的满座率应小于上自习的总学生数量，即：
②所有开放教室的总座位数乘以开放教室的满座率应大于教室座位能满足的学生上自习的总数量，即：
③开放教室的满座率不低于4/5，即：
④同时开放教室的满座率不超过90%，即：
⑤经分析，把每个宿舍区的学生最多分布在2个宿舍区，可使得满意程度得到提高，即：
（j=1，…10）
为了计算方便，我们将对目标规划模型转化为单一目标规划模型。
因为学生的满意程度和总的用电功率是相互制约的，所以我们使用线性加权求和法将目标规划模型转化为单一目标规划模型，考虑到实际情况学生的满意程度权重稍微偏重，故模型为：
5.2.2模型的求解
利用LINGO软件编程求解，编程的命令与运行结果如附录。
分析运行结果可得：
除第1,2,9,11,15,16,21,25,33,44,45个教室不开外，其余的34个教室全开放，可使得每天晚上所有教室的总用电量最小，为：
225072W。
5.3问题三模型建立与求解
临近期末，上自习的学生数量增加到6800人，超过了现有教室的总座位数，所以需临时搭建教室来满足学生上自习的需求，因现有的总座位数为6844个，最多可利用的座位数是6844
0.95=6501个，所以还得搭建的教室至少有6800-6501=299个座位。
故将299名学生按照问题二的模型来处理。
5.3.1模型的建立
建立多目标规划模型，并转化为单一目标规划模型，如下建立模型：
5.3.2模型的求解
模型的求解与问题二的求解方法类似，利用LINGO软件编程求解，编程的命令与运行结果如附录。
分析运行结果：
需在B2和B3区各建立一个教室，在B2区建立和第9个教室的规格相同的教室，共有110个座位；在B3区建立和第12个教室的规格相同的教室，共有247个座位。
六、模型结果分析
问题一建立的是线性规划模型，求解结果是除第1,2,15,16,18,25,41,44，45个教室不开放外，其余的教室全开放，共开放36个教室，使得教室在每天晚上3个小时的总用电功率最小为：
218046W；而问题二建立的是多目标规划模型，并将其转化为单一目标规划模型来求解，解得是除第1,2,9,11,15,16,21,25,33,44,45个教室不开外，其余的全开放，共计开放34个教室，使得每天晚上所有教室的总用电功率为：
25072W；问题三是将所有的教室一使用，再将剩余的学生分配教室问题建立类似问题二的模型，结果是需在B2和B3区各建立一个教室，在B2区建立和第9个教室的规格相同的教室，共有110个座位；在B3区建立和第12个教室的规格相同的教室，共有247个座位。
七、模型评价与推广
7.1模型的评价
7.1.1模型的优点
（1）这三个模型都对所有的数据进行了大量的分析和处理；
（2）针对模型二和模型三，引入了每个座位的用电功率来代替用电功率和座位数，减少了指标，便于建模；
（3）模型的建立简单，并用LINGO软件求解方便，节省人力和时间。
7.1.2模型的缺点
（1）在赋权重时参杂了认为因素，使得结果有点偏差；
（2）对学生的满意程度的曲线拟合太过简单，不是很符合实际，即实际上的满意程度不可能长距离内按照线性增长。
7.2模型的推广
（1）该模型还可以推广到求解其他优化问题，比如说，工厂的分布问题，投资的选场问题等等；
（2）在考虑学生的满意程度时，此题中只考虑与宿舍区到自习区的距离有关，但实际上还与教室的拥挤程度，
升级会员 