（4）x1=6。
x2=4。
（5）最优解为x1=8，x2=0。
≤
（6）不变化。
因为当斜率-1≤-c1
c2
-1，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解3
不变。
7.解：
设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：
⎪
⎧6x+12y≤120
⎪8x+4y≤64
⎨即
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎧x+2y≤20
⎪
⎪2x+y≤16
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
作出可行域．
解
⎧x+2y=20
⎨
⎩2x+y=16
得Q（4,8）
z最大=200⨯4+240⨯8=2720
答：
该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．
8．解：
设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．目标函数z=x＋2y，线性约束条件：
⎧x+y≥12
⎪2x+y≥15
⎪
⎨x+3y≥27
⎪x≥0
⎪
⎪⎩y≥0
⎧x+3y=27
作出可行域，并做一组一组平行直线x＋2y=t．解⎨
⎩x+y=12
得E（9/2,15/2）
．但E不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点（4,8）使z取得最小值。
答：
应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢
板的面积最小．
9．解：
设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=
⎧x+2y≥2
3x＋2y，线性约束条件2x+y≥3
⎪
⎪
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．解
⎧x+2y=2
⎨
⎩2x+y=3
得C（4/3,1/3）
C不是整点，C不是最优解．在可行域内的整点中，点B（1，1）使z取得最小值．
z最小=3×1＋2×1=5，
答：
用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．
10．解：
设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．目标函数为z=960x＋360y．
⎧0≤x≤10
⎨0
线性约束条件是⎪
⎪
≤y≤20
作出可行域，并作直线960x＋360y=0．
⎩8x+2.5y≥100
即8x＋3y=0，向上平移
⎧x=10
由⎨
⎩8x+2.5y=100
得最佳点为（8,10）
作直线960x＋360y=0．
即8x＋3y=0，向上平移至过点B（10，8）时，z=960x＋360y取到最小值．
z最小=960×10＋360×8=12480
答：
大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．
11．解：
设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．
⎧0.18x+0.09y≤72
⎪
⎧2x+y≤800
⎪
⎪0.08x+0.28y≤56即⎪2x+7y≤1400
作出可行域．平移6x＋10y=0，如图
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎨
⎪x≥0
⎪⎩y≥0
⎧2x+y=800
⎨
⎩2x+7y=1400
⎧x=350
得⎨
⎩y=100
即C（350，100）．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到
经过点C（350，100）时，z=6x＋10y最大
12．解：
模型maxz=500x1+400x2
2x1≤300
3x2≤540
2x1+2x1≤440
1.2x1+1.5x2≤300
x1,x2≥0
（1）x1=150，x2=70，即目标函数最优值是103000。
（2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。
（3）50，0，200，0。
（4）在[0,500]变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。
（5）因为-c1=-450≤-1，所以原来的最优产品组合不变。
c2430
13．解：
（1）模型minf=8xA+3xB
50xA+100xB≤1200000
5xA+4xB≥60000
100xB≥300000
xA,xB≥0
基金A，B分别为4000元，10000元，回报额为62000元。
（2）模型变为maxz=5xA+4xB
50xA+100xB≤1200000
100xB≥300000
xA,xB≥0
推导出x1=18000，x2=3000，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。
第3章线性规划问题的计算机求解
1．解：
⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720
⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元
⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的对偶价格不变。
比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格不变仍为13.333
⑷不变，因为还在120和480之间。
2．解：
⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解⑵最优解为
（4，8）
3．解：
⑴农用车有12辆剩余
⑵大于300
⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元
4．解：
计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为（10，8）
5．解：
圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元
相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品。
最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10-3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-
9）/7〈100%，所以最优解不变。
6．解：
（1）x1=150，x2=70；目标函数最优值103000。
（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加
工工时数为2车间330小时，4车间15小时。
（3）50，0，200，0。
含义：
1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200
元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。
（4）3车间，因为增加的利润最大。
（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。
（6）不变，因为在[0,500]的范围内。
（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件
1的右边值在[200,440]变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。
（8）总利润增加了100×50=5000，最优产品组合不变。
（9）不能，因为对偶价格发生变化。
（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
25+50≤100%
100100
（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和
50+60≤100%，其最大利润为103000+50×50−60×200=93500元。
140140
7．解：
（1）4000，10000，62000。
（2）约束条件1：
总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；约束条件2：
年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；约束条件3：
基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。
量是0，表示投资回报额正好是60000；约束条件3的松弛变量为700000，表示投
资B基金的投资额为370000。
（4）当c2不变时，c1在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；
当c1不变时，c2在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。
（5）约束条件1的右边值在[780000,1500000]变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）
。
（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
4+2
>100%，理由
见百分之一百法则。
4.253.6
8．解：
（1）18000，3000，102000，153000。
（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1200000；基金B的投资额的剩余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300000；
（3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。
（4）c1不变时，c2在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；
c2不变时，c1在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。
（5）约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；
约束条件2的右边值在0到1200000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。
（6）600000+300000=100%故对偶价格不变。
900000900000
9．解：
（1）x1=8.5，x2=1.5，x3=0，x4=0，最优目标函数18.5。
函数分别提高2和3.5。
（3）第3个，此时最优目标函数值为22。
（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。
（5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。
10．解：
（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。
（2）x2目标函数系数提高到0.703，最优解中x2的取值可以大于零。
（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和
1
14.583
+2≤100%，所以最优解不变。
∞
（4）因为15+65
>100%，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶
30-9.189111.25-15
价格是否有变化。
第4章线性规划在工商管理中的应用
1．解：
为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x1
1，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1各种下料方式
下料方式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2640mm
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1770mm
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
1650mm
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
1440mm
0
0
0
1
0
0
1
0
1
2
0
1
2
3
minf=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14
s.t.2x1＋x2＋x3＋x4≥80
x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350
x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420
x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：
x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333
最优值为300。
2．解：
（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
minf=16（x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11）s.t．x1＋1≥9
x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0
通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：
x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。
（2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。
约束松弛/剩余变量对偶价格
------------------------------10−4
200
320
490
50−4
650
700
800
90−4
1000
1100
根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的
1个人工作3小时，可使得总成本更小。
（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数。
minf=16（x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8）＋12（y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9）s.t．x1＋y1＋1≥9
x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9
x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9
x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3
x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3
x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7
x8＋y9＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：
x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。
最优值为264。
具体安排如下。
在11：
00－12：
00安排8个3小时的班，在13：
00－14：
00安排1个3小时的班，在
15：
00－16：
00安排1个3小时的班，在17：
00－18：
00安排4个3小时的班，在18：
00
－19：
00安排6个4小时的班。
总成本最小为264元，能比第一问节省320−264=56元。
3．解：
设xij，xij’分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量；yij为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以建立如下模型：
5656
∑∑iijiijiij
∑∑iij
maxz=
i=1
j=1
[Sy
–
Cx
-C'x']-
i=1
Hw
j=1
⎧
5
⎪∑aixij≤rj（j=1,L
⎪i=1
⎪5
6）⎫
⎪
⎪
⎪
⎪∑iijj⎪
⎪i=1
ax'
≤r'
（j=1,L
6）
⎪
s.t.⎨y
≤d（i=1,L
5;j=1,L
6）⎬
⎪
ijij
⎪
⎪w=w
+x+x'
–
y（i=1,L
5;j=1,L
6,其中，w，=0
w=k）⎪
iji,j-1
⎪
ijijiji0i6i
⎪
x≥0,x'
≥0,y
≥0（i=1,L
5;j=1,L
6）
⎪ijijij⎪
⎪⎪
⎩wij≥0（i=1,L
5;j=1,L
6）⎭
4.解：
（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。
maxz＝10x1＋12x2＋14x3
s.t.x1＋1.5x2＋4x3≤2000
2x1＋1.2x2＋x3≤1000
x1≤200
x2≤250
x3≤100
x1，x2，x3≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：
x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6400。
即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A200件，B250件，C100件，可使生产获利最多。
（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。
材料、台时的对偶价格均为0。
说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。
但增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加。
如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。
5．解：
（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x12，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22，则可建立下面的数学模型。
minf=25x11＋20x12＋30x21＋24x22s.t．x11＋x12＋x21＋x22≥2000
x11＋x12=x21＋x22x11＋x21≥700x12＋x22≥450
x11,x12,x21,x22≥0
用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1000，最优值为47500。
白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为30
0户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为10
00户，可使总调查费用最小。
（2）白天调查的有孩子的家庭的费用在20～26元之间，总调查方案不会变化；白天调查的无孩子的家庭的费用在19～25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在-20～25元之间，总调查方案不会变化。
（3）发调查的总户数在1400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查数在0到1000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1300之间，对偶价格不会变化。
管理运筹学软件求解结果如下：
6．解：
设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束
条件如下：
30x+20y≤300;
5x+10y≤110;
x≥0
y≥0
x,y均为整数。
使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；
7.解：
1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：
0.5x1+0.2x2+0.25x3
决策的限制条件：
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