8高中物理奥赛必看讲义牛顿运动定律.docx
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8高中物理奥赛必看讲义牛顿运动定律
牛顿运动定律
第一讲牛顿三定律
一、牛顿第一定律
1、定律。
惯性的量度
2、观念意义，突破“初态困惑”
二、牛顿第二定律
1、定律
2、理解要点
a、矢量性
b、独立作用性：
ΣF→a，ΣFx→ax…
c、瞬时性。
合力可突变，故加速度可突变（与之对比：
速度和位移不可突变）；牛顿第二定律展示了加速度的决定式（加速度的定义式仅仅展示了加速度的“测量手段”）。
3、适用条件
a、宏观、低速
b、惯性系
对于非惯性系的定律修正——引入惯性力、参与受力分析
三、牛顿第三定律
1、定律
2、理解要点
a、同性质（但不同物体）
b、等时效（同增同减）
c、无条件（与运动状态、空间选择无关）
第二讲牛顿定律的应用
一、牛顿第一、第二定律的应用
单独应用牛顿第一定律的物理问题比较少，一般是需要用其解决物理问题中的某一个环节。
应用要点：
合力为零时，物体靠惯性维持原有运动状态；只有物体有加速度时才需要合力。
有质量的物体才有惯性。
a可以突变而v、s不可突变。
1、如图1所示，在马达的驱动下，皮带运输机上方的皮带以恒定的速度向右运动。
现将一工件（大小不计）在皮带左端A点轻轻放下，则在此后的过程中（）
A、一段时间内，工件将在滑动摩擦力作用下，对地做加速运动
B、当工件的速度等于v时，它与皮带之间的摩擦力变为静摩擦力
C、当工件相对皮带静止时，它位于皮带上A点右侧的某一点
D、工件在皮带上有可能不存在与皮带相对静止的状态
解说：
B选项需要用到牛顿第一定律，A、C、D选项用到牛顿第二定律。
较难突破的是A选项，在为什么不会“立即跟上皮带”的问题上，建议使用反证法（t→0，a→∞，则ΣFx→∞，必然会出现“供不应求”的局面）和比较法（为什么人跳上速度不大的物体可以不发生相对滑动？
因为人是可以形变、重心可以调节的特殊“物体”）
此外，本题的D选项还要用到匀变速运动规律。
用匀变速运动规律和牛顿第二定律不难得出
只有当L＞
时（其中μ为工件与皮带之间的动摩擦因素），才有相对静止的过程，否则没有。
答案：
A、D
思考：
令L=10m，v=2m/s，μ=0.2，g取10m/s2，试求工件到达皮带右端的时间t（过程略，答案为5.5s）
进阶练习：
在上面“思考”题中，将工件给予一水平向右的初速v0，其它条件不变，再求t（学生分以下三组进行）——
①v0=1m/s（答：
0.5+37/8=5.13s）
②v0=4m/s（答：
1.0+3.5=4.5s）
③v0=1m/s（答：
1.55s）
2、质量均为m的两只钩码A和B，用轻弹簧和轻绳连接，然后挂在天花板上，如图2所示。
试问：
①如果在P处剪断细绳，在剪断瞬时，B的加速度是多少？
②如果在Q处剪断弹簧，在剪断瞬时，B的加速度又是多少？
解说：
第①问是常规处理。
由于“弹簧不会立即发生形变”，故剪断瞬间弹簧弹力维持原值，所以此时B钩码的加速度为零（A的加速度则为2g）。
第②问需要我们反省这样一个问题：
“弹簧不会立即发生形变”的原因是什么？
是A、B两物的惯性，且速度v和位移s不能突变。
但在Q点剪断弹簧时，弹簧却是没有惯性的（没有质量），遵从理想模型的条件，弹簧应在一瞬间恢复原长！
即弹簧弹力突变为零。
答案：
0；g。
二、牛顿第二定律的应用
应用要点：
受力较少时，直接应用牛顿第二定律的“矢量性”解题。
受力比较多时，结合正交分解与“独立作用性”解题。
在难度方面，“瞬时性”问题相对较大。
1、滑块在固定、光滑、倾角为θ的斜面上下滑，试求其加速度。
解说：
受力分析→根据“矢量性”定合力方向→牛顿第二定律应用
答案：
gsinθ。
思考：
如果斜面解除固定，上表仍光滑，倾角仍为θ，要求滑块与斜面相对静止，斜面应具备一个多大的水平加速度？
（解题思路完全相同，研究对象仍为滑块。
但在第二环节上应注意区别。
答：
gtgθ。
）
进阶练习1：
在一向右运动的车厢中，用细绳悬挂的小球呈现如图3所示的稳定状态，试求车厢的加速度。
（和“思考”题同理，答：
gtgθ。
）
进阶练习2、如图4所示，小车在倾角为α的斜面上匀加速运动，车厢顶用细绳悬挂一小球，发现悬绳与竖直方向形成一个稳定的夹角β。
试求小车的加速度。
解：
继续贯彻“矢量性”的应用，但数学处理复杂了一些（正弦定理解三角形）。
分析小球受力后，根据“矢量性”我们可以做如图5所示的平行四边形，并找到相应的夹角。
设张力T与斜面方向的夹角为θ，则
θ=（90°+α）-β=90°-（β-α）
（1）
对灰色三角形用正弦定理，有
=
（2）
解
（1）
（2）两式得：
ΣF=
最后运用牛顿第二定律即可求小球加速度（即小车加速度）
答：
。
2、如图6所示，光滑斜面倾角为θ，在水平地面上加速运动。
斜面上用一条与斜面平行的细绳系一质量为m的小球，当斜面加速度为a时（a＜ctgθ），小球能够保持相对斜面静止。
试求此时绳子的张力T。
解说：
当力的个数较多，不能直接用平行四边形寻求合力时，宜用正交分解处理受力，在对应牛顿第二定律的“独立作用性”列方程。
正交坐标的选择，视解题方便程度而定。
解法一：
先介绍一般的思路。
沿加速度a方向建x轴，与a垂直的方向上建y轴，如图7所示（N为斜面支持力）。
于是可得两方程
ΣFx=ma，即Tx－Nx=ma
ΣFy=0，即Ty+Ny=mg
代入方位角θ，以上两式成为
Tcosθ－Nsinθ=ma
（1）
Tsinθ+Ncosθ=mg
（2）
这是一个关于T和N的方程组，解
（1）
（2）两式得：
T=mgsinθ+macosθ
解法二：
下面尝试一下能否独立地解张力T。
将正交分解的坐标选择为：
x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。
这时，在分解受力时，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一个坐标轴上，是需要分解的。
矢量分解后，如图8所示。
根据独立作用性原理，ΣFx=max
即：
T－Gx=max
即：
T－mgsinθ=macosθ
显然，独立解T值是成功的。
结果与解法一相同。
答案：
mgsinθ+macosθ
思考：
当a＞ctgθ时，张力T的结果会变化吗？
（从支持力的结果N=mgcosθ－masinθ看小球脱离斜面的条件，求脱离斜面后，θ条件已没有意义。
答：
T=m
。
）
学生活动：
用正交分解法解本节第2题“进阶练习2”
进阶练习：
如图9所示，自动扶梯与地面的夹角为30°，但扶梯的台阶是水平的。
当扶梯以a=4m/s2的加速度向上运动时，站在扶梯上质量为60kg的人相对扶梯静止。
重力加速度g=10m/s2，试求扶梯对人的静摩擦力f。
解：
这是一个展示独立作用性原理的经典例题，建议学生选择两种坐标（一种是沿a方向和垂直a方向，另一种是水平和竖直方向），对比解题过程，进而充分领会用牛顿第二定律解题的灵活性。
答：
208N。
3、如图10所示，甲图系着小球的是两根轻绳，乙图系着小球的是一根轻弹簧和轻绳，方位角θ已知。
现将它们的水平绳剪断，试求：
在剪断瞬间，两种情形下小球的瞬时加速度。
解说：
第一步，阐明绳子弹力和弹簧弹力的区别。
（学生活动）思考：
用竖直的绳和弹簧悬吊小球，并用竖直向下的力拉住小球静止，然后同时释放，会有什么现象？
原因是什么？
结论——绳子的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变（胡克定律）。
第二步，在本例中，突破“绳子的拉力如何瞬时调节”这一难点（从即将开始的运动来反推）。
知识点，牛顿第二定律的瞬时性。
答案：
a甲=gsinθ；a乙=gtgθ。
应用：
如图11所示，吊篮P挂在天花板上，与吊篮质量相等的物体Q被固定在吊篮中的轻弹簧托住，当悬挂吊篮的细绳被烧断瞬间，P、Q的加速度分别是多少？
解：
略。
答：
2g；0。
三、牛顿第二、第三定律的应用
要点：
在动力学问题中，如果遇到几个研究对象时，就会面临如何处理对象之间的力和对象与外界之间的力问题，这时有必要引进“系统”、“内力”和“外力”等概念，并适时地运用牛顿第三定律。
在方法的选择方面，则有“隔离法”和“整体法”。
前者是根本，后者有局限，也有难度，但常常使解题过程简化，使过程的物理意义更加明晰。
对N个对象，有N个隔离方程和一个（可能的）整体方程，这（N+1）个方程中必有一个是通解方程，如何取舍，视解题方便程度而定。
补充：
当多个对象不具有共同的加速度时，一般来讲，整体法不可用，但也有一种特殊的“整体方程”，可以不受这个局限（可以介绍推导过程）——
Σ
=m1
+m2
+m3
+…+mn
其中Σ
只能是系统外力的矢量和，等式右边也是矢量相加。
1、如图12所示，光滑水平面上放着一个长为L的均质直棒，现给棒一个沿棒方向的、大小为F的水平恒力作用，则棒中各部位的张力T随图中x的关系怎样？
解说：
截取隔离对象，列整体方程和隔离方程（隔离右段较好）。
答案：
N=
x。
思考：
如果水平面粗糙，结论又如何？
解：
分两种情况，
（1）能拉动；
（2）不能拉动。
第
（1）情况的计算和原题基本相同，只是多了一个摩擦力的处理，结论的化简也麻烦一些。
第
（2）情况可设棒的总质量为M，和水平面的摩擦因素为μ，而F=μ
Mg，其中l＜L，则x＜（L-l）的右段没有张力，x＞（L-l）的左端才有张力。
答：
若棒仍能被拉动，结论不变。
若棒不能被拉动，且F=μ
Mg时（μ为棒与平面的摩擦因素，l为小于L的某一值，M为棒的总质量），当x＜（L-l），N≡0；当x＞（L-l），N=
〔x-〈L-l〉〕。
应用：
如图13所示，在倾角为θ的固定斜面上，叠放着两个长方体滑块，它们的质量分别为m1和m2，它们之间的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分别为μ1和μ2，系统释放后能够一起加速下滑，则它们之间的摩擦力大小为：
A、μ1m1gcosθ；B、μ2m1gcosθ；
C、μ1m2gcosθ；D、μ1m2gcosθ；
解：
略。
答：
B。
（方向沿斜面向上。
）
思考：
（1）如果两滑块不是下滑，而是以初速度v0一起上冲，以上结论会变吗？
（2）如果斜面光滑，两滑块之间有没有摩擦力？
（3）如果将下面的滑块换成如图14所示的盒子，上面的滑块换成小球，它们以初速度v0一起上冲，球应对盒子的哪一侧内壁有压力？
解：
略。
答：
（1）不会；
（2）没有；（3）若斜面光滑，对两内壁均无压力，若斜面粗糙，对斜面上方的内壁有压力。
2、如图15所示，三个物体质量分别为m1、m2和m3，带滑轮的物体放在光滑水平面上，滑轮和所有接触面的摩擦均不计，绳子的质量也不计，为使三个物体无相对滑动，水平推力F应为多少？
解说：
此题对象虽然有三个，但难度不大。
隔离m2，竖直方向有一个平衡方程；隔离m1，水平方向有一个动力学方程；整体有一个动力学方程。
就足以解题了。
答案：
F=
。
思考：
若将质量为m3物体右边挖成凹形，让m2可以自由摆动（而不与m3相碰），如图16所示，其它条件不变。
是否可以选择一个恰当的F′，使三者无相对运动？
如果没有，说明理由；如果有，求出这个F′的值。
解：
此时，m2的隔离方程将较为复杂。
设绳子张力为T，m2的受力情况如图，隔离方程为：
=m2a
隔离m1，仍有：
T=m1a
解以上两式，可得：
a=
g
最后用整体法解F即可。
答：
当m1≤m2时，没有适应题意的F′；当m1＞m2时，适应题意的F′=
。
3、一根质量为M的木棒，上端用细绳系在天花板上，棒上有一质量为m的猫，如图17所示。
现将系木棒的绳子剪断，同时猫相对棒往上爬，但要求猫对地的高度不变，则棒的加速度将是多少？
解说：
法一，隔离法。
需要设出猫爪抓棒的力f，然后列猫的平衡方程和棒的动力学方程，解方程组即可。
法二，“新整体法”。
据Σ
=m1
+m2
+m3
+…+mn
，猫和棒的系统外力只有两者的重力，竖直向下，而猫的加速度a1=0，所以：
（M+m）g=m·0+Ma1
解棒的加速度a1十分容易。
答案：
g。
四、特殊的连接体
当系统中各个体的加速度不相等时，经典的整体法不可用。
如果各个体的加速度不在一条直线上，“新整体法”也将有一定的困难（矢量求和不易）。
此时，我们回到隔离法，且要更加注意找各参量之间的联系。
解题思想：
抓某个方向上加速度关系。
方法：
“微元法”先看位移关系，再推加速度关系。
、
1、如图18所示，一质量为M、倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一个质量为m的滑块从斜面顶端释放，试求斜面的加速度。
解说：
本题涉及两个物体，它们的加速度关系复杂，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。
对两者列隔离方程时，务必在这个方向上进行突破。
（学生活动）定型判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。
位移矢量示意图如图19所示。
根据运动学规律，加速度矢量a1和a2也具有这样的关系。
（学生活动）这两个加速度矢量有什么关系？
沿斜面方向、垂直斜面方向建x、y坐标，可得：
a1y=a2y①
且：
a1y=a2sinθ②
隔离滑块和斜面，受力图如图20所示。
对滑块，列y方向隔离方程，有：
mgcosθ-N=ma1y③
对斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：
Nsinθ=Ma2④
解①②③④式即可得a2。
答案：
a2=
。
（学生活动）思考：
如何求a1的值？
解：
a1y已可以通过解上面的方程组求出；a1x只要看滑块的受力图，列x方向的隔离方程即可，显然有mgsinθ=ma1x，得:
a1x=gsinθ。
最后据a1=
求a1。
答：
a1=
。
2、如图21所示，与水平面成θ角的AB棒上有一滑套C，可以无摩擦地在棒上滑动，开始时与棒的A端相距b，相对棒静止。
当棒保持倾角θ不变地沿水平面匀加速运动，加速度为a（且a＞gtgθ）时，求滑套C从棒的A端滑出所经历的时间。
解说：
这是一个比较特殊的“连接体问题”，寻求运动学参量的关系似乎比动力学分析更加重要。
动力学方面，只需要隔离滑套C就行了。
（学生活动）思考：
为什么题意要求a＞gtgθ？
（联系本讲第二节第1题之“思考题”）
定性绘出符合题意的运动过程图，如图22所示：
S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。
沿棒与垂直棒建直角坐标后，S1x表示S1在x方向上的分量。
不难看出：
S1x+b=Scosθ①
设全程时间为t，则有：
S=
at2②
S1x=
a1xt2③
而隔离滑套，受力图如图23所示，显然：
mgsinθ=ma1x④
解①②③④式即可。
答案：
t=
另解：
如果引进动力学在非惯性系中的修正式Σ
+
*=m
（注：
*为惯性力），此题极简单。
过程如下——
以棒为参照，隔离滑套，分析受力，如图24所示。
注意，滑套相对棒的加速度a相是沿棒向上的，故动力学方程为：
F*cosθ-mgsinθ=ma相
（1）
其中F*=ma
（2）
而且，以棒为参照，滑套的相对位移S相就是b，即：
b=S相=
a相t2（3）
解
（1）
（2）（3）式就可以了。
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